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2024-2025学年天津市滨海新区塘沽紫云中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数的求导正确的是( )
A. B.
C. D.
2.下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是( )
A. B. C. D.
3.下面是列联表：
合计
合计
则表中，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D.
4.某班有名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 当时，取极小值 D. 当时，取极大值
6.设随机变量服从正态分布，记，则( )
A. B. C. D.
7.某项羽毛球单打比赛规则是局胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
8.二项式的展开式中，常数项等于( )
A. B. C. D.
9.为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了人，得到如下结果单位：人
不患肺癌 患肺癌 合计
不吸烟
吸烟
合计
根据表中数据，以下叙述正确的是：( )
A. 可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
B. 可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
C. 可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
D. 可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
10.设随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
11.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前位数字，，，，，进行某种排列得到密码如果排列时要求数字不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有 个．
A. B. C. D.
12.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.下列结论正确的是 ．
变量间的线性相关系数的取值范围为；
变量间的线性相关系数的绝对值越接近于，则变量间的线性相关程度越弱：
变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱．
14.已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则 ．
15.函数的单调递增区间为 ．
16.某化工厂实验生产中需依次投入种化工原料，现已知有种原料可用，但甲乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，因此不同的实验方案种数共有 ．
17.某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为，，，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ．
18.已知函数，给出下列结论：
是的单调递减区间；
函数有极大值点是；
当时，直线与的图象有两个不同交点．
其中正确的序号是 ．
19.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则 ；并且所有项的系数之和为，则含的项的系数为 用数字作答．
20.石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”处景点追忆石室读书时光若每人只去一处景点，设事件为“个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.高二某班计划从名男生、名女生中选拔人负责本周校会．
若要求选出的人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？写出必要的数学式，结果用数字作答
已经按照中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的人中安排人担任校会主持，人进行国旗下的讲话，人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？写出必要的数学式，结果用数字作答
在完成的职务分配后，校会结束后这位同学和班主任共人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？写出必要的数学式，结果用数字作答
22.某市共有所重点大学可供考生选择，其中所为高校，所为高校，另外所为特色专业高校．一位考生准备从这所高校中随机选择所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
求该考生恰好选到所高校的概率；
若该考生选到高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
23.已知函数
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的单调区间、最值．
设在上有两个零点，求的范围．
24.已知函数．
讨论函数的单调性；
设，当时，对任意的，总存在，使，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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3.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.解：如果选出的人中同时包含男生和女生，先从所有人中选人，去掉只有男生的情况，故有种组合方式．
先选出的人中安排人担任校会主持，再从剩余人中安排人进行国旗下的讲话，
最后让剩余人负责升旗仪式，共有种职务分配方案
将两位升旗手看成一个整体，与其它的人排列有种情况，
再排两位升旗手有种情况，共有种排法．
22.解：从所高校中，任取所，共有种取法，
恰有所高校的取法为：，
该考生恰好选到所高校的概率为；
设为该考生选到高校的个数，则的取值为，，，．
，
，
，
，
则
．
23.解：由题设，则，又，
所以曲线在点处的切线方程，
所求切线方程为；
由，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
由，，，
所以在上的增区间为，减区间为
且最大值、最小值分别为，．
由知，在上值域为，在上值域为
所以，要使在上有两个零点，只需．

24.解：由题意得．
当时，由，得，
所以当时，；
当时，，
因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，由，得，
所以当时，；
当时，，
因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，由知，函数在上单调递减，
所以当时，．
对任意的，总存在，使等价于，恒成立，
则，恒成立，
即，恒成立．
令，
则．
令，得，
所以当时，；
当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
因此．
故实数的取值范围是．
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