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2024-2025 学年四川省成都市田家炳中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列 1，1，2，3，5，8，13， 则这个数列第九项是( )
A. 33 B. 34 C. 35 D. 36
(π+△ ) (π)
2.已知函数 ( ) = sin ，则 lim 6 6
→0
= ( )．
A. 1 B. 3 32 2 C. 2 D.
1
2
3
2 2
.双曲线 : 12 3 = 1 的渐近线方程为( )
A. =± 14 B. =±
1
2 C. =± 2 D. =± 4
4.从 0,1,2,3,4 这五个数字中选出 3 个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为( )
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
5.若函数 ( ) = + cos 在( ∞, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. [1, + ∞) B. (1, + ∞) C. [ 1, + ∞) D. ( 1, + ∞)
6.在等比数列 中， 4 = 1， 1 3 + 2 3 5 + 5 7 = 12，则 2 + 6 =( )
A. 2 3 B. 2 3 C. ±2 3 D. 12
7.已知 ( )为定义在( ∞,0) ∪ (0, + ∞)上的奇函数， (1) = 0，且当 > 0 时，有 ( ) + ′( ) > 0，则
使 ( ) > 0 成立的 的取值范围为( )
A. ( ∞, 1) ∪ (0,1) B. ( 1,0) ∪ (1, + ∞)
C. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) D. ( 1,0) ∪ (0,1)
8.若[ )表示大于的 的最小整数，如[2) = 3, [ 2.1) = 2.数列{ }满足 1 = 1, 2 = 3， +2 + = 2 +1 +
1 ( +1)
2
，记 = 2 ，则数列{ }的前 100 项和为( )
A. 100 B. 101 C. 200 D. 201
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1

.已知二项式 2 的展开式中各二项式系数和为 64，则下列说法正确的是( )
A.展开式共有 6 项 B.二项式系数最大的项是第 4 项
C.展开式的常数项为 120 D.展开式中各项的系数和为 1
10.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的 , , , 四个区参加规培工作，下列选项正确的是( )
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A.若四个区都有人去，则共有 24 种不同的安排方法．
B.若恰有一个区无人去，则共有 144 种不同的安排方法．
C.若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有 18 种不同的安排方法．
D.若这 4 名医生只能去 , 两个区参加工作，且这两个区都必须有人去，则共有 14 种不同的安排方法．
11 π.已知平行六面体 1 1 1 1中，各棱长均为 6，∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 3，则以下说法正确
的是( )
A. 1 = 6 3
B.异面直线 1和
6
1 1所成角的余弦值为 6
C.四棱锥 1 1 1的体积为 36 2
D.与三棱锥 1 各棱均相切的球的体积为 9 2π
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 ( ) = ln 在 = 1 处的切线方程为 ．
13 1 .已知数列 中， 1 = 2，且满足

+1 = 2 +1，则 = ．
14 1.已知函数 ( ) = ln , ( ) = 2 + 1，若 1 = 2 ，则 1 2的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知 ( ) = 3 23 + 2 + 3 ( ∈ R)在 = 1 处取得极值．
(1)求实数 的值：
(2)求 ( )在区间[ 2,2]上的值域．
16.(本小题 15 分)
在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是边长为 4 的正方形， 1 = 2 7, = 2， ⊥ ．
(1)求证：平面 1 1 ⊥平面 ；
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(2)求二面角 1 的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 2 = 3 2 1 ∈ ．
(1)证明： + 1 是等比数列；
(2)设 =
+1
4 ，求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
2 : +
2
已知 1， 2分别为椭圆 2 2 = 1( > > 0)的左，右焦点， 为短轴的一个端点， 1 2 是直角三角
形．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若直线 = 3 恰好与椭圆 相切，求椭圆 的方程；

(3)在(2) (2,1) = 0 | || |的条件下，设直线 不过点 且与 交于两点 ， ，若 ，求
|
的最大值．
|
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 = 1 时
(Ⅰ)函数 ( ) = ( ) ( + 1) + 存在两个极值点 1， 2，求 的取值范围；
(Ⅱ) 1当 ∈ 2 , 1 时，均有 ( ) < 2 ( 2)e
+ 恒成立，求整数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 = 0
13. 12
14.4 2ln2
15.【详解】(1)由 ( ) = 1 33 + 2
2 + 3 ，则 ′( ) = 2 + 4 + 3，因为 ( )在 = 1 处取得极值，所
以 ′( 1) = 1 4 + 3 = 0，解得 = 1，
此时 ( ) = 1 3 + 2 23 + 3 ，则 ′( ) =
2 + 4 + 3 = ( + 1)( + 3)，
令 ′( ) > 0，得 < 3 或 > 1；令 ′( ) < 0，得 3 < < 1，
所以函数 ( )在( ∞, 3)和( 1, + ∞)上单调递增，在( 3, 1)上单调递减，
则 = 1 时，函数 ( )取得极小值，符合题意，则 = 1．
(2)由(1) 1知， ( ) = 33 + 2
2 + 3 ，且函数 ( )在[ 2, 1]上单调递减，在[ 1,2]上单调递增，又 ( 2) =
2 4 503， ( 1) = 3， (2) = 3，
所以 ( )在区间[ 2,2] 50 4上的最大值为 3，最小值为 3，值域为
4 , 503 3 ．
16.【详解】(1)因为侧面 1 1是边长为 4 的正方形，
所以 1 ⊥ , 1 = = 4，
因为 = 2, ⊥ ，
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则 = 2 2 = 2 3，因为 1 = 2 7, 1 = 4，
所以 21 + 2 = 21，即 1 ⊥ ，
因为 ∩ = , 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，又 1 平面 1 1，
所以平面 1 1 ⊥平面 ；
(2)
以 , 1为 , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
π
因为 = 4, = 2, = 2 3，所以∠ = 3，
所以 (0,0,0), 3, 1,0 , 1(0,4,4)，
则 = 3, 1,0 , 1 = (0,4,4)，
设平面 1的法向量为 1 = ( , , )，
= 0 3 + = 0
由 ，可得 ，令 = 1，则 1 = 1, 3, 3 ， 1 = 0 4 + 4 = 0
平面 1的法向量为 2 = (1,0,0)，
所以 cos 1, =
1 2 7
2 1 2
= 7 ，
又二面角 1
7
为锐角，所以其余弦值为 7 ．
17.【详解】(1)证明：因为 2 = 3 2 1 ∈ ，
所以当 = 1 时，2 1 = 3 1 2 1，解得 1 = 3；
当 ≥ 2 时，2 1 = 3 1 2 + 1，
所以 2 1 = 3 1 2，即 = 3 1 + 2，
所以 + 1 = 3 1 + 1 ( ≥ 2)，又 1 + 1 = 4．
所以数列 + 1 是以 4 为首项，3 为公比的等比数列．
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(2)由(1)知， + 1 = 4 × 3 1. =
+1所以 4 = × 3
1，
则 = 1 + 2 × 3 + 3 × 32 + + × 3 1，①
3 = 1 × 3 + 2 × 32 + 3 × 33 + + ( 1) × 3 1 + × 3 ，②

—②有 2 = 1+ 3 + 32 + + 3 1 × 3 =
1 3
1 3 × 3
= 1 2 × 3 2
1
2．
所以 2 1 1 = 4 × 3 + 4
18.【详解】(1)设短轴的端点为 (0, )，左右焦点为 1( , 0), 2 , 0 ，
由于 1 2 是直角三角形，所以 = ，结合 2 2 = 2，
解得 = 2 = 2 ，故 = 2 = 2 ，
2 2
(2)由 = 2 = 2 可得椭圆方程为2 2 + 2 = 1，
与直线 = 3 联立可得 3 2 12 + 18 2 2 = 0，
由于直线 = 3 恰好与椭圆 相切，故 = 122 4 × 3 18 2 2 = 0，解得 2 = 3，
2 2
所以椭圆方程为 6 + 3 = 1
2 2
(3)由于 (2,1) 在椭圆 6 + 3 = 1 上，设 1, 1 , 2, 2 ，
由 = 0 可得 1 2 2 2 + 1 1 2 1 = 0，
当直线 斜率存在时，设直线方程为 = + ，
代入椭圆方程中，消去 可得 1 + 2 2 2 + 4 + 2 2 6 = 0，
2
则 1 + 2 =
4 2 6
1+2 2 , 1 2 = 1+2 2，
由 1 = 1 + , 2 = 2 + 可得
1 2 2 2 + 1 1 2 1 = 1 2 2 1 + 2 + 4 + 1 + 1 2 + 1
= 2 + 1 21 2 + ( 2) 1 + 2 + ( 1) + 4 = 0
2
即 2 + 1 2 61+2 2 + ( 2)
4
1+2 2 + ( 1)
2 + 4 = 0，
化简得(2 + 3 + 1)(2 + 1) = 0，
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由于 (2,1)不在直线 上，所以 2 + 1 ≠ 0，故 2 + 3 + 1 = 0， ≠ 1，
2 1 2 1
故直线 的方程为 = 3 3，故 过定点 3 , 3 ，
当直线 的斜率不存在时，可得 1, 1 ，
代入 2 2 21 2 2 + 1 1 2 1 = 0 可得 1 2 + 1 1 = 0，
21
2 2
结合 16 + 3 = 1 可得 1 = 3或 1 = 2(舍去)，
2 1
此时直线 也经过 3 , 3 ，
综上可得直线 恒经过 2 , 13 3 ．
| || | = | || |因为 ，结合 ⊥ |
|| |
| | |
，故 为直角三角形 斜边上的高的长，
| | |

又直线 2 1 | || |恒经过 3 , 3 ，所以| ≤ | | =
4 2
| | 3
，
19.【详解】(1) ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
②当 > 0 时，由 ′( ) = 0 得 = ，
当 0 < < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
故 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增.
综上，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 0 时， ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2)(Ⅰ) ∵ ( ) = ( ) ( + 1) + = ln + ，
2 2
∴ ′( ) = 1

2 =
+
2 = 2 ，
令 ( ) = 2 + ，要使 ( )存在两个极值点 1， 2，
则方程 2 + = 0 有两个不相等的正数根 1， 2，
(0) = > 0
1
所以 2 > 0 ,
2
1 1 12 = 2 2 + < 0
解得 0 < < 1 12，所以 的取值范围为 0 < < 2 .
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(Ⅱ)由于 ( ) < 2 ( 2)e + 在 ∈ 12 , 1 上恒成立，
∴ ln + ( 2)e < 1在 ∈ 2 , 1 上恒成立，
令 ( ) = ln + ( 2)e ，则 ( ) < 1在 ∈ 2 , 1 上恒成立，
1
则 ′( ) = + ( 2)e
+ e 1 = ( 1) e 1 ，
1
当2 ≤ < 1 时， 1 < 0，
令 ( ) = e 1 ′ 1 1 ，则 ( ) = e + 2 > 0，∴ ( )在 2 , 1 上单调递增，
又 12 = e 2 < 0， (1) = e 1 > 0，
∴ 1 1存在 0 ∈ 2 , 1 使得 0 = 0，即e
0 = ，∴ ln 0 = 0，0
故当 ∈ 12 , 0 时， ( ) < 0，此时
′( ) > 0，
当时 ∈ ′0, 1 ， ( ) > 0，此时 ( ) < 0，
1
故函数 ( )在 2 , 0 上单调递增，在 0, 1 上单调递减，
( ) 1 2从而 max = 0 = ln 0 + 0 2 e 0 0 = 0 + 0 2 0 = 1 0
2 0，
0
2
令 ( ) = 1 2 2 ， ∈
1
2 , 1
2 2 1
，则 ′( ) = 2 2 = 2 > 0，
∴ ( )在上 ∈ 1 12 , 1 单调递增， 4 = 2 < ( ) < (1) = 3，
又 为整数，故 ≥ 3，即整数 的最小值为 3．
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