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2024-2025 学年新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.复数4+3i的虚部为( )
A. 3 i B. 35 5 i C.
3
5 D.
3
5
2.已知 的边 上有一点 ，且满足 = 3 ，则 =( )
A. 2 + 3 B. 3 + 1 C. 1 + 3 D. 2 + 1 4 4 4 4 3 3

3.设 ， 是空间中不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 //
B.若 ， ， // ，则 //
C.若 ， ， // ， // ，则 //
D.若 // ， ∩ = ， ∩ = ，则 //
4.已知向量 = (6, 2), = (2,4)，若向量 与 2 + 平行，则实数 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 12 D. 2
5.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百
姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台 1 1 1 1， = 2，
1 1 = 4，侧面面积为 12 3，则该正四棱台的体积为( )
A. 28 23 B. 28 2 C.
28 3
3 D. 28 3
6.如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′.已知 ′ ′ = 4， ′ ′ = 2，则下列说
法正确的是( )
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A. = 2
B. ′ ′ = 2 2
C.四边形 的周长为 4 + 2 2 + 2 3
D.四边形 的面积为 6 2
7.为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，
设 ， 分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线 ，使得 ， ， 三点在同一直线上，在 ，
两点用测角仪测得 的仰角分别是 和 ， = ，测角仪器的高度是 .由此可计算出建筑物的高度 ，若
= 75°, = 45°，则此建筑物的高度是( )
A. 3+1 3+1 3+1 3+12 + B. 4 + C. 2 D. 4
8.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A. = 2， = 3， = π6 B. = 2 3
π
， = 6， = 6
C. = 2， = 2， = 5 D. = 2， = 3 π， = 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1, 2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是( )
A.若| 1| 1，则 1 1 1 B.若 1 + 2 = 0，则 1 = 2 = 0
C. 1 2 = 1 2 D.若 1 > 2，则 1 2 > 0
10.已知向量 = (3, 1), = (1,2)，则下列选项正确的是( )
A. ⊥ B. + = 17
→ →
C.已知 = ( , 1)，若 // ，则 = 3 D. 2与 夹角的余弦值为 5
11.如图，点 , , , , 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足 //平面 的是( )
A. B. C. D.
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 1, 3 ， = 5，则 在 方向上的投影为 ．
13.已知球 的表面积与圆锥 ′的侧面积相等，且球 的直径为 2，圆锥 ′的母线长为 4，则圆锥 ′的
底面半径为 ．
14.在 中， , , 分别是角 , , 的对边， 3 + 的面积为 2 , = 1, = 60°，则sin +sin 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 1 2 ．
(1)求| |；
(2)若 1 =

3+4 ，求 1；
(3)若| 2| = 5，且 2是纯虚数，求 2．
16.(本小题 15 分)
在 中， , , 分别是角 , , 所对的边，且满足 2 + 2 2 = ．
(1)求角 的大小；
(2)设向量 = 3sin , 32 ，向量
= 1, 2cos ，且 ⊥ ，判断 的形状．
17.(本小题 15 分)
如图，在直角梯形 中，| | = 2，∠ = π， = 2 3 ，∠ 为直角， 为 的中点，
= ( ∈
R, 0 1).
(1) = 1当 时，用向量 ， 表示向量 3 ；
(2)求| |的最小值，并指出相应的实数 的值．
18.(本小题 17 分)
某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上 , 两点之间建一条观光通道，如图所
示．在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面)内距离点 50 米的点
10
处建一凉亭，距离点 70 米的点 处再建一凉亭，测得∠ = ∠ ，cos∠ = 5 ．
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(1)求 sin∠ 的值；
(2)测得 = ，观光通道每米的造价为 2000 元，若景区准备预算资金 8 万元建观光通道，问：预算资
金够用吗？
19.(本小题 12 分)
如图，在棱长为 的正方体 1 1 1 1中， 、 、 、 分别是 、 1 1、 1、 的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求 的长；
(3)求证： //平面 1 1 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 52
13.1
14.2
15.解：(1)| | = 12 + ( 2)2 = 5；
(2) = = 1 2 = (1 2 )(3 4 ) 3 4 6 +8
2 5 10 1 2
1 3+4 3+4 (3+4 )(3 4 ) = 32 (4 )2 = 25 = 5 5 ；
(3)设 2 = + i，
则| 2| = 2 + 2 = 5，所以 2 + 2 = 5①
2 = (1 2 )( + ) = ( + 2 ) + ( 2 ) ，
因为 2是纯虚数，所以 + 2 = 0, 2 ≠ 0②
= 2 = 2
由①②联立，解得 = 1或 = 1.
所以 2 = 2 i 或 2 = 2+ i．
16.(1)解：因为 2 + 2 2 = ，
cos =
2+ 2 2 = 1所以 2 2，
因为 ∈ 0, π ，
π
所以 = 3；
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(2)解：因为 = 3sin , 32 ，
= 1, 2cos ，且 ⊥ ，
3
所以 3sin 2 × 2cos = 0，
所以 sin = cos = 12，
π 5π
所以 = 6或 = 6 (舍)，
当 = π6时， =
π
2，
所以 为直角三角形．
17.(1) 1 1解：因为当 = 3时， = 3 ，
1
所以 = ( + 2 )
1
= 2 [(
) + ( + )]
1
= (
1 2 + 1 2 3 3 + 2 )
1
=
3
+ 6 4
(2)因为 = 12 (
+ )
1
= [( ) + ( + 2 )]
1
= [
1
+ (1 ) + 2 2 ]
1 3
= 2 [
2 + (1 2 )
]
= 3 + 1 2 4 2 ，
由于| | = 2 π，∠ = ， = 2 ，知| 3 | = |
| = 2，
9 2 (1 2 )2 2 3
∴ | |2 = + + (1 2 ) 16 4 4
2
= 4 2 7 + 194 = 4
7 + 278 16，
因为 0 ≤ ≤ 1 7，所以当 = 时，| 8
|2 27有最小值16，
3 3
即| |有最小值 4 ．
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18.(1)解：由∠ = ∠ , cos∠ = 105 ，
得 cos∠ = 2cos2∠ 1 = 2 × 10 125 1 = 5，
则 sin∠ = 1 cos2∠ = 2 65 ，
在 中，由正弦定理得sin∠ =
70 50
sin∠ ，即 2 6 = sin∠ ，
5
所以 sin∠ = 2 67 ．
(2)在 1中，由余弦定理得702 = 2 + 502 2 × 50 × 5 ，
整理得 2 + 20 2400 = 0，
解得 = 40( = 60 舍去)．
在 中， = ，
所以 cos∠ = cos∠ = cos∠ = 105 ，
10 = 20又 5 ，
解得 = = 10 10．
在 中， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1000 + 502 2 × 10 10 × 50 × 105 = 1500，
所以 = 10 15 < 40．
由于观光通道每米的造价为 2000 元，所以总造价低于 40 × 2000 = 80000 元，故预算资金够用．
19.解：
(1)证明：法一如图，连接 、 ．
∵ 、 分别是 1、 的中点，
∴ // 1．
又 平面 1 1，
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1 平面 1 1，
∴ //平面 1 1．
法二取 的中点 ，连接 、 ，
则有 // 1, // ，且 ∩ = ，
∴ 平面 //平面 1 1．
又 平面 ，∴ //平面 1 1．
(2)由(1)易知 = 12 1 =
2
2 ．
(3)证明：法一取 1 1的中点 1，
1
连接 1, 1，则有 1 = 2 1 1．
1
又 = 2 1 1，
∴ = 1．
∴四边形 1为平行四边形，∴ // 1，
又 平面 1 1 , 1 平面 1 1 ，
∴ //平面 1 1 ．
法二取 1 1的中点 1，连接 1、 1，
则有 1// 1 1, 1// 1，且 1 ∩ 1 = 1，
∴ 平面 1 //平面 1 1 ．
又 平面 1 ，∴ //平面 1 1 ．
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