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2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高二下学期期中考试
数学试卷(B卷)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∣ 2 3 ≤ 0 , = 2, 1,0,1,2 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1,0 B. 1,0,1,2 C. 0,1,2 D. 0,1
2.复数i3 1 + i 2 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3.设 ， ∈ ，向量 = ( , 2, 1)， = (2, , 2)，且 // ，则 + 的值为( )
A. 5 B. 2 C. 3 D. 5
4 1.曲线 = 22 2 在点 = 1 处的切线的倾斜角为( )
A. 6 B.

4 C.
3 5
4 D. 6
5.正八边形的对角线的条数为( )
A. 20 B. 28 C. 40 D. 56
6.已知命题 : > ，命题 : 2 > 2，则命题 是命题 的( )条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在某市 2019 年 1 月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布 (98,100).已知参加本次
考试的全市理科生约有 9450 人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是 108 分，那么他的数学成绩大约
排在全市第( )(参考数值： ( < ≤ + ) = 0.683； ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.954， ( 3 <
≤ + 3 ) = 0.997)
A. 1498 名 B. 1700 名 C. 4500 名 D. 8000 名
8.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷 10 次，则正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率是( )
A. 11 B. 17 C. 21 2332 32 32 D. 32
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A.若 2 117 = 17 ，则正整数 的值是 1
B. 3 × 4 × 5 × 6 = 46
C. 2 + 3 36 6 = 7
D. 1 2 38 + 8 + 8 + 4 + 56 8 + 68 + 78 = 256
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10.若 1, , , , 16 成等比数列，则( )
A. = 2 B. = 4 C. = 8 D. = 16
11.假设某市场供应的 95 口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率50％30％20％
优质率 80％90％70％
在该市场中任意买一 95 口罩，用 1, 2, 3分别表示买到的口罩为甲品牌 乙品牌 其他品牌， 表示买到的
是优质品，用 ( )表示事件 发生的概率，则下列结论正确的是( )
A. 1 = 40％ B. 2 = 27
1
％ C. ( ) = 81％ D. 2∣ = 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.(2 1)5的二项展开式中 4的系数为 ．
13 1.若随机变量 服从二项分布 6, 6 ， = 3 + 1，则 ( ) = ．
2 214.已知双曲线 2 2 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线与圆 + 4 + 3 = 0 相切，则双曲线的离心率
为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = 3 + 23 + 3 + 1．
(1)求 ( )的单调区间及极值；
(2)求 ( )在区间[0,6]上的最值．
16.(本小题 15 分)
3
甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是5，乙能答对其中 5 道
题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试，答对一题加 10 分，答错一题(不答视为
答错)减 5 分，至少得 15 分才能入选．
(1)求乙得分的分布列和数学期望；
(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 1: 4 + 2 = 1(0 < < 2)
3
的离心率为 ，抛物线 : 22 2 = 2 ( > 0)的焦点是椭圆的顶点．
(1)求抛物线的方程；
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(2)过点 ( 1,0)作抛物线的切线 ，求切线 的方程．
18.(本小题 17 分)
如图，在多面体 中，平面 ⊥平面 .四边形 为正方形，四边形 为梯形，且 // ，
∠ = 90°， = = 1， = 3.点 2满足 = 3 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( 2) ln ( ∈ R)；
(1)若直线 3 + = 0 ∈ R 是曲线 ( )在点 1, (1) 处的切线，求 ( )的最值；
(2)若 ( )没有零点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 80
13.4
14.2
15.(1)解：函数 ( )的定义域为 ， ′( ) = 2 + 2 + 3 = ( 3)( + 1)．
令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = 3．
当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如表所示．
( ∞, 1 ( 1,3) (3, + ∞)
1) 3
′( ) +
0 0
( ) 2 10
单调递减 3 单调递增 单调递减
故 ( )的单调增区间为[ 1,3]，单调减区间为( ∞, 1)和(3, + ∞)．
当 = 1 时， ( ) 2有极小值 ( 1) = 3；当 = 3 时， ( )有极大值 (3) = 10．
(2)解：由(1)可知， ( )在[0,3]上单调递增，在[3,6]上单调递减，所以 ( )在[0,6]上的最大值为 (3) = 10．
又 (0) = 1， (6) = 17， (6) < (0)，所以 ( )在区间[0,6]上的最小值为 (6) = 17．
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16.解：(1)设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 15，0，15，30，
3 2 1
( = 15) = 5 13 = 12； ( = 0) =
5 5 5
3
= ；
10 10 12
( = 15) =
1 2 3
5 5 5
3 = 12； ( = 30) =
5 = 1
10
3
10 12
乙得分的分布列如下：
15 0 15 30
1 5 5 1
12 12 12 12
1 5 5 1 15
= 12 × ( 15) + 12 × 0 + 12 × 15 + 12 × 30 = 2
(2)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 ．
则 ( ) = 23(
3 )2( 2 ) + ( 3 )3 = 815 5 5 125，
( ) = 5 1 112+ 12 = 2，
44 1 103
故甲乙两人至少有一人入选的概率 = 1 ( ) = 1 125 × 2 = 125．
2 2 2 2
17.解：(1) : 椭圆 1 4 + 2 = 1(0 < < 2)
3 3 3
的离心率为 2 ，可得： 2 = 4，即 1 2 = 4，
2
由 = 2，可得 = 1，则椭圆 1: 4 +
2 = 1，它的上顶点坐标(0,1)，
抛物线 2: 2 = 2 ( > 0)的焦点是椭圆的顶点，得 = 2，抛物线 2: 2 = 4 ；
(2)
= ( + 1)
设过点 ( 1,0)作抛物线的切线 : = ( + 1)，则 2 = 4 ,
整理得 2 4 4 = 0， = 16 2 + 16 = 0，解得 = 0 或 = 1，
所求是切线方程为： = 0 或 + + 1 = 0．
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18.解：(1)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又∠ = 90°，故 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
因为 // 2，∠ = 90°， = = 1， = 3， = 3 ，
所以 (1,0,0)， (0,0,1) (1,3,0) (0,1,0) (0,1,1) 1 2， ， ， ， 3 , 3 , 0 ，
则 = (0,0,1)， = 13 ,
2 , 0 ， 3
= ( 1, 2,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0
= 0
，即 1
= 0 3 +
2
3 + 0 = 0
,
令 = 2，故 = (2, 1,0)，
因为 = 1 × 2 + ( 2) × ( 1) + 1 × 0 = 0，
即 ⊥ ，而 平面 ，
故 //平面 ；
(2)设平面 的法向量为 = ( , , )，
= ( , , ) ( 1, 2,0) = 2 = 0
则 ,
= ( , , ) (0,0, 1) = = 0
解得 = 0，令 = 1，则 = 2，
则 = ( 2,1,0)， = ( 1,0,1)，
= 2 × ( 1) + 1 × 0 + 0 × 1 = 2， = ( 2)2 + 12 + 02 = 5， = ( 1)2 + 02 + 12 =
2，
cos < > =
2 10
所以 ，
| |
= 5× 2 = 5 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
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则 sin = |cos , | = 105 ，
10
即直线 与平面 所成角的正弦值为 5 ．
19. 1解：(1) ′( ) = 2 + 2 ，由题意可得
′(1) = 3 3 = 3，∴ = 2．
∴ ′( ) = 4 1 (2 1)(2 +1) ′ 1 = ( > 0)，令 ( ) = 0，解得 = 2，
当 0 < < 1 12时，
′( ) < 0，当2 < 时，
′( ) > 0，
∴ ( ) 1 1在 0, 2 上递减，在 2 , + ∞ 上递增，
∴ ( ) 1 1min = 2 = 2 + ln2，无最大值．
(2) ′( ) = (2 +1)( 1) ( > 0)，
①当 ≤ 0 时， ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)上递减，
当 趋近于 0 时， ( ) →+∞，且 (1) = 2 2 < 0，
所以 ( )在(0,1)上有 1 个零点，不合题意，舍去；
②当 > 0 时，由(1)易知 ( )在 0, 1 1 上递减，在 , + ∞ 上递增，
∴ ( ) 1min = =
1
+ 1 + ln ，
1
由题意可得 > 0，设 ( ) =
1
+ 1 + ln ( > 0)，
∵ ( )在(0, + ∞)上递增，且 (1) = 0，∴当 > 1 时， ( ) > 0，
所以 > 1，满足题意.
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