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2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高二下学期期中考试
数学试卷(A卷)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2 + 2 3 < 0 ， = 1 ≤ < 4 ，则 ∪ =( )
A. ( 3,4) B. [ 1,1) C. ( 3, 1] ∪ (1,4)D. ( 3,1) ∪ (1,4)
2.已知复数 满足 (1 + ) = 2，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 D. 1 +
3.已知单位向量 ， 满足| + | = 2，则 与 的夹角为( )
A. π8 B.
π C. π D. 3π4 2 4

4.已知 2 + 1 的展开式中的所有二项式系数之和为 32，则展开式中
4的系数为( )．
A. 10 B. 20 C. 15 D. 25
5.光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班
各派 3 名学生分别参加这三个主题的竞答.某班准备从甲、乙、丙、丁 4 位同学中选派 3 位，已知甲不参加
“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有( )
A. 9 种 B. 12 种 C. 15 种 D. 18 种
6.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 = 2 cos ，则 为( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
7 3.某次调研测试中，考生成绩 服从正态分布 75, 2 .若 (60 ≤ ≤ 90) = 5，则从参加这次考试的考生中
任意选取 1 名考生，该考生的成绩高于 90 的概率为( )
A. 1 B. 13 4 C.
1 1
5 D. 6
8
2 2 4 +
.已知椭圆 : 16 + 12 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，点 是椭圆 上的动点， = 1 ， = 2 ，则
的最小值为( )
A. 9 58 B. 4 C.
20 3 7 D. 20+3 79 9
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 π.已知函数 ( ) = sin 2 + 3 ，则下列结论正确的是( )
A. ( )的最小正周期为π
B. ( )是偶函数
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C.将 ( ) π的图象向右平移6个单位后，得到的图象关于原点对称
D. ∈ 0, π2 时， ( )的值域为
3
2 , 1
10.已知直线 : = 2 1，则下列说法错误的是( )
A.直线 的纵截距是 1 B.点 (5, )在直线 上，则 = 9
C.直线 与圆 2 + 2 = 1 相切 D.直线 与直线 = 2 + 4 间的距离为 5
11.假设某市场供应的 95 口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率50％30％20％
优质率 80％90％70％
在该市场中任意买一 95 口罩，用 1, 2, 3分别表示买到的口罩为甲品牌 乙品牌 其他品牌， 表示买到的
是优质品，用 ( )表示事件 发生的概率，则下列结论正确的是( )
A. 1 = 40
1
％ B. 2 = 27％ C. ( ) = 81％ D. 2∣ = 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2 3.离心率为 3 ，一个焦点坐标为(2,0)的双曲线的标准方程为 ．
13.若 2 +6 +2 2 20 = 20 ( ∈ )，记(2 ) = 0 + 1 + 2 + ，则 0 1 + 2 + ( 1) = ．
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外
两个人中的任何一人，记 次传球后球在甲手中的概率为 ，则 1 = ； = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 1 = 16， 6 = 51．
(1)求数列 的通项公式；
(2) 1求数列 的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
如图，已知四棱锥 中，底面 是直角梯形， // ，∠ = 45 ， = 1， = 2， ⊥
平面 ， = 1．
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(1)求证： //平面 ；
(2)若 是 的中点，求 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入 3 个红球和 3 个白球(球的形状和大
小都相同)，抽奖规则如下：从袋中一次性摸出 3 个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球
个数为 ，则每位员工颁发奖金 万元．
(1)求 的分布列与数学期望；
(2)若企业有 1000 名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布 ( , 2)， 为各位员工贡献利润数额
的均值，计算结果为 100 万元， 2为数据的方差，计算结果为 225 万元，为激励为企业做出突出贡献的员
工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于 115 万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖
金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值(保留到整数)．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ +
2 ) ≈ 0.9545．
18.(本小题 17 分)
( ) = ln 1已知函数 ( ∈ R)．
(1)若 = 0，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 = 2，求函数 ( )的极值；
(3)若 < 1，求函数 ( )的单调区间．
19.(本小题 17 分)
过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ， ，我们称 为抛物线的阿基米德三角形，弦
与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面
积的三分之二．如图，点 是圆 : 2 + ( + 5)2 = 4 上的动点， 是抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的阿基米
德三角形， 是抛物线 的焦点，且| |min = 6．
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(1)求抛物线 的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；

(3)设 是“圆边形”的抛物线弧 上的任意一动点(异于 ， 两点)，过 作抛物线的切线 交阿基米德三角
形的两切线边 ， 于 ， ，证明：| | | | = | | | |．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
212. 23 = 1
13.81
14.0 1
1
； 3 1
1
2
15.解：(1)因为 6 = 6 +
6×5
1 2 = 51， 1 = 16，所以 = 3，
所以 = 1 + ( 1) = 16 3( 1) = 3 + 19；
(2)因为 = 3 + 19，
1 = 1 1 1 1所以 +1 ( 3 +19)( 3 +16)
= 3 3 +16 3 +19 ，
= 1 1 1所以 3 13 16 +
1 1 1 + 1 1 13 10 13 3 7 10 + +
1 1 1
3 3 +16 3 +19
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 3 13 16 + 10 13 + 7 10 + + 3 +16 3 +19
= 1 1 + 1 = 1 13 16 3 +16 48+ 48 9 ．
16.解：(1)因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)
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以 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
因为底面 是直角梯形，∠ = 45 ， = 1， = 2，
所以 = 1，
(0,0,0)， (1,0,0)， (0,0,1)， (1,1,0)， 1 , 1 12 2 , 2 ，
= (1,0,0)， = 1 , 1 , 1 ， 2 2 2
= (1,1, 1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
所以 = 0
= 0
，所以 1 1 1 ，令 = 1，则 = (0,1, 1)，
= 0 2 + 2 + 2 = 0
设 与平面 所成角为 ，
|1+1| 6
所以 sin = cos , =

= 2 3 = 3 ，
6
所以 与平面 所成角的正弦值为 3 ．
17.解：(1)依题意可得 的可能取值为 3，4，5，6，
3 1 2
则 ( = 3) = C3 = 1 C C 93 20， ( = 4) =
3 3
C C3
=
6 6 20
，
1 2 3
( = 5) = C3C3 = 9， ( = 6) = C3 1
C36 20
3 =C6 20
，
∴ 的分布列为：

3 4 5 6
1 9 9 1
20 20 20 20
∴ ( ) = 3 × 120 + 4 ×
9 9 1 9
20 + 5 × 20+ 6 × 20 = 2．
(2)由(1)可知给员工颁发奖金的总数为 4.5 × 1000 = 4500(万元)，
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设每位职工为企业的贡献利润数额为 ，则 (100,225)，
所以获得奖金的职工数约为 1000 ( > 115) = 1000 ( > + )
1000 1 ( < ≤ + )
= 2
≈ 1000(1 0.6826)2 = 158.7 ≈ 159(人)，
4500
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为 159 ≈ 28(万元)．
18. ln 1解：(1)当 = 0 时， ( ) = ，
(1) = ln1 1 = 1 ′( ) = 2 ln 所以 1 ， 2 ，
2 ln1
所以曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线斜率为 = ′(1) = 12 = 2，
所以曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 + 1 = 2( 1)，即 2 3 = 0；
(2) = 2 ( ) = ln 1 2 ′( ) = 2 ln 2 ln 2
2
时， ， 2 2 = 2 ，
令 ( ) = 2 ln 2 2 1，则 ′( ) = 4 < 0 对 > 0 恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，又 (1) = 0，
所以 0 < < 1 时， ( ) > 0，则 ′( ) > 0， ( )在(0,1)上单调递增；
> 1 时， ( ) < 0，则 ′( ) < 0， ( )在(1, + ∞)上单调递减；
故 = 1 时 ( )取得极大值 (1) = 3， ( )无极小值；
2
(3) 2 ln 由题意可知，函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，所以 ′( ) = 2 ，
( ) = 2 2 ln 2
2 1
设 ，则 ′( ) = ，
2
令 ′( ) = 0 2 1 1，则 = 0，解得 = 2 或 =
1
2 (舍)，
1
当 > ′2 时， ( ) > 0，当 0 < <
1
2 时，
′( ) < 0，
所以 ( ) 1 1在区间 0, 2 上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增，
所以 ( ) 1 5min = 2 = 2 ln
1
2 ，
因为 < 1 1，所以 0 < 2 <
1 1
2，所以 ln 2 < 0，
所以 ( ) > 0，即 ( ) > 0，
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所以函数 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)．
19.解：(1)由题意得， (0, 5), = 2, 0, 2 ，
由| |min = | | =

2 + 3 = 6 = 6，
所以 : 2 = 12
2 2
(2)设 : = + , 1,
1 , 212 2, 12 ，
2 = 12
联立 2 = + 12 12 = 0, = 48 3
2 + > 0,
设方程的两根为 1, 2，则 1 + 2 = 12 , 1 2 = 12 ，
2 2
由 2 = 12 ′ = 6，所以 :
1
12 =
1
6 1 : =
1
6
1
12，
2 2
联立直线 , 可得 1 1 2 26 12 = 6 12 =
1+ 2
2 = 6 ，
2
代入 + 方程中，得 = 1 1 2 1 1 2 6 2 12 = 12 = ，即 (6 , )，
2 3
故 的面积 1 1 = 2 | | = 2 1 +
2 4 3 3 2 + |6 +2 | = 4 3 3 2 + 2．
1+ 2
2
因为 (6 , )在圆 上，所以 36 2 + (5 )2 = 4 2 = 4 (5 )36 且 ∈ [3,7]，
2 2
于是 3 2 + = 4 ( 5) +22 2112 + = 12 ，
2 2
∈ [3,7] 3 2 + ∈ 3 +22×3 21 , 7 +22×7 21显然此式在 上单调递增，故 12 12 ，
3
也即 3 2 + ∈ [3,7]，因此 2 = 4 3 3 + 2 ∈ 36,28 21 ，
2 56
由题干知“囧边形”面积= 3 ，所以“囧边形”面积的取值范围为 24, 3 21 ．
(3) + 由(2)知， = 1 22 ，
2
设 3, 3 ，过 的切线
1 3 3
3 = 6 3 3 ，即 = 6 12，
2
过 + + 点切线交 : = 1 16 12得 =
1 3，同理 = 2 3 2 2 ，
+
| | 1 3
因为 1
1 2 1 3
| | =
= 1+ = ， 2 1+ 3 2 2 2 3
+ +
| | 1 2 2 3
| | =

=
2 2
=
1 3 ．
2 2+ 32 2 2 3
| | = | |所以| | | |，即| | | | = | | | |．
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