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2024-2025 学年广东省东莞市光明中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 2的导数 ′( )等于( )
A. 2 B. 1 C. 1 12 D. 2
2.已知函数 ( )的导函数为 ′( ), 1( ), 2( ), 3( )的图象如图所示，则( )
A. ′1( ) >
′ ′ ′
2( ) > 3( ) B. 1( ) >
′
3( ) >
′
2( )
C. ′2( ) >
′
1( ) >
′
3( ) D.
′
3( ) >
′
1( ) >
′
2( )
3.在(1 + )4的展开式中，含 2项的系数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 24
4.曲线 ( ) = e 在点(0,1)处的切线方程为( )
A. = 2 + 1 B. = + 1 C. = e + 1 D. = e + 1 + 1
5.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A. 48 B. 60 C. 96 D. 120
6.函数 ( ) = ln 的单调递增区间是( )
A. (0, 1 ) B. (
1
, + ∞) C. (0, ) D. ( , + ∞)
7 1.设随机变量 服从二项分布 9, 3 ，则 ( ) =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.若函数 ( ) = 2 + 在[2, + ∞)上单调递增，则 的最大值为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于二项式(2 1)8，下列说法正确的是( )
A.其展开式一共有 8 项 B.其展开式的二项式系数和为 256
C.其展开式的所有项的系数和为 1 D.其展开式的第三项为C3 5 38(2 ) ( 1)
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10.已知 , 分别为随机事件 , 的对立事件，则下列结论正确的是( )
A. ( ) + = 1
B.若 ( ) = ( ) ( )，则 , 独立
C.若 , 独立，则 ( ∣ ) = ( )
D. ( ∣ ) + ∣ = 1
11.已知函数 ( ) = 3 + 1，则( )
A. ′( ) = 3 2 1 B. ( )有两个极值点
C.点(0,1)是曲线 = ( )的对称中心 D. ( )有两个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知变量 服从 0 1 分布，且 ( = 0) = 0.7，则 ( = 1) =
13 1
4
.
3 的展开式中常数项是 . (用数字作答)
14.已知函数 ( ) = 3 + 2 1 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设(1 )4 = 2 3 40 + 1 + 2 + 3 + 4 ．
(1)求 0的值；
(2)求 1 + 2 + 3 + 4的值．
16.(本小题 15 分)
若 ( ) = 1 33 , ∈ ，求：
(1) ( )的单调递减区间；
(2) ( )在[0,2]上的最小值和最大值．
17.(本小题 15 分)
某篮球运动员投篮的命中率为 0.2，现投了 3 次球．
(1)求恰有 2 次命中的概率；
(2)设命中的次数为 ，求 ( )．
18.(本小题 17 分)
1+ln
已知函数 ( ) = ( ∈ )．
(1)若 = 0，求 ( )的单调区间；
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(2)若 ( ) ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)若 ( )有两个零点 1, 2，且 2 > 1，求 的取值范围；
(2) (1) 2( 1)在 的条件下，求证： 1 + 2 > ln ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.3/ 310
13. 4
14.[ 3, 3]
15.【详解】(1)在(1 )4 = + 2 3 40 1 + 2 + 3 + 4 中令 = 0，则 0 = 1．
(2)在(1 )4 = + + 2 3 40 1 2 + 3 + 4 中令 = 1，
则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 0，故 1 + 2 + 3 + 4 = 1．
16.【详解】(1) ′( ) = 2 1 = ( 1)( + 1)，
当 < 1 或 > 1 时， ′( ) > 0；当 1 < < 1 时， ′( ) < 0，
故 ( )的增区间为( ∞, 1), (1, + ∞)，减区间为( 1,1)．
(2)由(1)可得 ( )在[0,1]为减函数，在[1,2]上为增函数，
故 ( )min = (1) =
2
3， ( )max = max (0), (2) = max 0,
2 = 23 3．
17.【详解】(1)设 为：“投了 3 次球，恰有 2 次命中”，故 ( ) = C2 230.2 × 0.8 = 0.096．
(2)由题设可得 (3,0.2)，
故 ( = 0) = C030.83 = 0.512， ( = 1) = C130.82 × 0.2 = 0.384，
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( = 2) = C230.81 × 0.22 = 0.096， ( = 3) = C330.23 = 0.008，
故 ( ) = 1 × 0.384 + 2 × 0.096 + 3 × 0.008 = 3 × 0.2 = 0.6．
18. (1) = 0 ( ) = 1+ln , ′( ) = ln 【详解】 时， 2 ．
∈ (0,1)时， ′( ) > 0, ( )单调递增，
∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0, ( )单调递减，
∴ ( )的增区间为(0,1)，减区间为(1, + ∞)；
(2)由 ( ) ≤ 0 (0, + ∞) 1+ln 在 上恒成立，故 ≤ ，
设 ( ) = 1+ln ln ，则
′( ) = 2 ．
当 ∈ (0,1)时， ( )单调递增；当 ∈ (1, + ∞)时， ( )单调递减，
故 ( )max = (1) = 1，故 ≥ 1．
19. 1【详解】(1) ′( ) = ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
故 ( )在(0,1)上为单调递减，在(1, + ∞)上为单调递增，
因为 ( )有两个零点 1, 2，故 ( )min = (1) = 1 < 0，故 > 1．
当 > 1 时， e = e > 0，而 e = e 2 ，
设 ( ) = e 2 , > 1，则 ′( ) = e 2 > 0，故 ( )在(1, + ∞)上为增函数，
故 ( ) > (1) = e 2 > 0，故 e > 0，
而e < 1 < e ，故当 > 1 时， ( )确有两个实数根，
综上， > 1．
(2)由(1)可得 0 < 1 < 1 < 2，
先证明： 1 + 2 > + 1，即证 2 > + 1 1，
而 2 > + 1 1 > 1，故即证 2 > + 1 1 ，
而 1 = 2 = 0，故即证 + 1 1 ln + 1 1 < 0，
即证 1 1 ln + 1 1 < 0，而 1 ln 1 = ，
故即证：1 1 ln 1 ln 1 < 0，
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1+ln 1
设 ( ) = 1 ln(1 ln ), 0 < < 1，则 ′( ) = 1 ln ，
设 ( ) = 1 + ln 1,0 < < 1
1
，则 ′( ) = 2 < 0，
故 ( )在(0,1)上为减函数，故 ( ) > (1) = 0，
故 ( )在(0,1)上为增函数，故 ( ) < (1) = 0 即 1 1 ln 1 ln 1 < 0 成立，
故 1 + 2 > + 1．
2
设 ( ) = ln 2( 1) +1 , > 1，则
′( ) = ( 1) ( +1)2 > 0，
故 ( )在(1, + ∞)上为增函数，故 ( ) > (1) = 0，
故 ln > 2( 1) 2( 1) +1 ( > 1)，故 + 1 > ln ( > 1)，
故 1 + >
2( 1)
2 ln ．
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