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2024-2025学年安徽省阜南实验中学(阜南县教师进修学校)高二下学期
5月期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = 1,2,3,4,5,6 ， = 1,2,5 ， = 2,4,6 ，则 ( ∪ ) =( )
A. 3 B. 5 C. 3,5 D. 1,4
2.命题“ 0 ∈ , 0 ≤ 0”的否定是( )
A. ∈ , ≤ 0 B. ∈ , > 0 C. 0 ∈ , 0 < 0 D. 0 ∈ , 0 > 0
+ 3, 为奇数3 .已知数列 满足： 1 = 1， +1 = ，则 3 =( )
2 + 1, 为偶数
A. 16 B. 12 C. 9 D. 4
4.下列求导运算结果错误的是( )
′
A. 1 1 ′ 1 = 2 B. ln = C. e
′ = e D. sin ′ = cos
5.在等差数列{ }中，若 4 = 6， 9 = 1，则 1 =( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6.函数 = 2在点(1,1)处切线的斜率为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
7.设 是等比数列，且 1 + 2 + 3 = 1， 2 + 3 + 4 = 3，则 6 + 7 + 8 =( )
A. 27 B. 81 C. 243 D. 729
8 1.已知函数 ( ) = + (其中 是自然对数的底数)，若 = (21. 5)， = (40.8)， = log2 5 ，则 , ,
的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 为等差数列， 2 = 11, 5 = 5，则下列说法正确的是( )
A. = 15 2 B. 20 是数列 中的项
C.数列 单调递减 D.数列 前 7 项和最大
10.(多选)下列函数在(0, + ∞)上单调递增的是( )
A. = 1 B. = |
2 2 | C. = 2 + 2cos D. = lg( + 1)
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域为 R，若 ( + 1)与 ′( )均为偶函数，且 ( 1) + (1) = 2，
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则下列结论正确的是( )
A. ′(1) = 0 B. 4 是 ′( )的一个周期
C. (1012) = 0 D. ( )的图象关于点(6,1)对称
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设命题 ： > 4；命题 ： 2 5 + 4 ≥ 0，那么 是 的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”、“既不充分也不必要”)．
13.曲线 = 2e 1 1 在点(1,0)处的切线方程为 ．
14.数列 中， 1 = 1, 1 = 2 3 + 1( ≥ 2)，则 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设全集 = ，集合 = 1 ≤ < 5 ，非空集合 = 2 ≤ ≤ 1 + 2 ，其中 ∈ R.若“ ∈ ”是“ ∈ ”
的必要条件，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ， 3 = 6，且 3 = 12．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 = 1 ，求数列{ }的前 项和 ． +1
17.(本小题 15 分)
( ) = 1已知函数 2
3 + 在 = 1 处取得极值．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的极值．
18.(本小题 17 分)
已知数列 的前 项和为 ，且满足 = 2 + 2 1．
(1)求数列 的通项公式；
(2) = 2 已知 3 ，求数列 的前 项和．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + ( > 0)．
(1)当 = 2 时，求 ( )的单调区间；
(2)设函数 ( )的最大值为 ，证明： ≥ 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
13. = 3 3
14.3 2
15.若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，则 ，
1 + 2 ≥ 2, 1 1
又集合 为非空集合，故有 1 + 2 < 5,解得2 ≤ < 2，所以 的取值范围 2 , 2 ．
16.(1)因为 3 = 12，
3
所以 = 1+ 33 2 = 3 2 = 12, ∴ 2 = 4，
又 3 = 6，则等差数列{ }的公差 = 6 4 = 2
又 1 = 4 2 = 2，
所以数列{ }的通项公式 = 2 + ( 1) × 2 = 2 ．
(2) = 1 1 1 1因为 2 (2 +2) = 4 ( +1 )，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = 1 + 2 + + = 4 (1 2 + 2 3 + + +1 ) = 4 (1 +1 ) = 4 +4．
17.(1) ( ) = 12
3 + ，所以 ′( ) = 3 22 + ，
由 ′(1) = 0 = 32．
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′( ) = 3此时 22 1 ，由
′( ) > 0 < 1 或 > 1；
由 ′( ) < 0 1 < < 1，
所以 ( )在( ∞, 1)和(1, + ∞)上单调递增，在( 1,1)上单调递减．
所以 = 1 是函数的极小值点．
故 = 32符合题意．
所以 ( ) = 1 3 32 2 ．
(2)由(1)知： = 1 1 3为函数的极大值点，且极大值为 ( 1) = 2 + 2 = 1；
= 1 1 3当 为函数的极小值点，且极小值为 (1) = 2 2 = 1．
18.(1)解：当 = 1 时，2 1 = 1 1，解得 1 = 1，
当 ≥ 2 时，由 = 2 + 2 1，可得 1 = 2 1 + 2 3，
两式相减得 = 2 2 1 + 2，所以 2 = 2
2
1 2 ，即 2 = 2， 1
又因为 1 2 = 3，所以 2 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，
所以 2 = 3 2 1，所以数列 的通项公式为 = 2 3 2 1．
(2)解：由(1) 2 知， 1 = 3 = 2 ，
所以数列 的前 项和为 = 1 × 20 + 2 × 21 + 3 × 22 + + 2 1，
可得 2 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + ( 1) 2 1 + 2 ，
= 20 + 21 + 22 + + 2 1 2 = 1× 1 2

所以 1 2 2
= (1 ) 2 1，
所以 = ( 1) 2 + 1．
19.(1)当 = 2 时， ( ) = ln 2 + 2．
∴ ′( ) = 1 1 2 ′ 2 = ，令 ( ) = 0 =
1
，得 2．
∴当 0 < < 12时，
′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
> 1当 2时，
′( ) < 0，函数 ( )单调递减．
1 1
故函数 ( )的减区间为( 2 , + ∞)，增区间为(0, 2 )；
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(2) ′( ) = 1 1由 ，令
′( ) = 0，得 = ．
∴当 0 < < 1 ′ 时， ( ) > 0，函数 ( )单调递增；
> 1当 时，
′( ) < 0，函数 ( )单调递减．
∴ = ( ) = ( 1max ) = ln 1．
令 ( ) = ln 1，则 ′( ) = 1 1 = 1 ．
∴当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增．
∴ ( ) ≥ (1) = 0，即 ≥ 0．
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