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2024-2025 学年天津市滨海新区田家炳中学高一下学期 5 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1 5+10i. 3+4i =( )
A. 1 + 2i B. 1 2i C. 1 + 2i D. 1 2i
2.已知向量 = (1,2), = ( 2, )，且 // ，则 的值为( )
A. 4 B. 4 C. 0.25 D. 0.25
3.三角形 中， = 3, = 37, = 4,则 =( )
A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°
4.在 中， = 2, = 3, = 45 ，则 =( )
A. 60° B. 120° C. 60°或 120° D.以上都不对
5.如图，在平行四边形 中， = , = ，则 =( )
A. 1 + B. 1 + C. 1 2 2 2
D. 12

6.下列命题正确的是( )
A.如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直．
B.如果一个平面内的两条直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行；
C.在空间垂直于同一条直线的两条直线平行；
D.垂直于同一平面的两条直线平行．
7.已知三棱锥的所有棱长都是 1，则这个三棱锥的表面积是( )
A. 2 B. 4 C. 3 D. 2 3
8.已知向量 = 1,2 ， = 2,2 ， = , 1 且 + ⊥ 则 的值为( )
A. 4 B. 4 C. 0.25 D. 0.25
9.棱长为 2 3的正方体的外接球的表面积为( )
A. 144π B. 36π C. 12π D. 24π
10.已知 , , 表示不同的直线， , 表示不同的平面，给出下面四个命题：
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(1)若 // , ，则 // (2)若 ∩ = , , , // ，则 // ;
(3)若 // , ，则 // ; (4) ⊥ , ，则 ⊥ ．
上面四个命题正确的有( )
A. (1)，(3) B. (2)，(4)
C. (1)，(2)，(4) D. (1)，(3)，(4)．
11. ， 是非零向量，则 在 上的投影向量是( )

A. ∣ ∣ B.
C. D. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣
12.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知
正方体边长为 2 ，则该石凳的体积为( )
A. 10 3 B. 20 3 C. 5 3 5 33 3 3 D. 6
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13.向量 = 1, = 1, = 1 则 , 的夹角的大小是 ；
14.在三角形 中，若 = 2， = 2 3， = 60 ，则角 的大小是 ；
15.三角形 中， = 60 ， = 13， = 4， =
16.已知复数 = 1 i 2 + i ∈ R 为纯虚数，则 = ；
17.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 ，正四棱锥
的高为 1， = 2, = 1，则该组合体的体积为 ；
18.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为 ．
19.已知一个圆锥的底面半径为 1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是 ；
20.在平行四边形 中，点 是 中点， = 1 ， = 1 ， = ， = 3 3 ．
(1)用 ， 表示向量， = ；
(2)若 ⊥ ， : = ；
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三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 12 分)
已知三角形 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 2， = 7， = 3．
(1)求角 的大小；
(2)求 sin 的值；
(3)求 sin(2 + )的值．
22.(本小题 12 分)
在三角形 1中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 6 ， = 2，cos = 4．
(1)求 的值；
(2)求 sin 的值；
(3)求 cos(2 )的值．
23.(本小题 13 分)
如图，在正方体 1 1 1 1 中， 是 1的中点．
(1)求异面直线 1 1和 1 所成角的大小；
(2)求证： 1 //平面 ；
(3)求 和平面 所成角的正弦值．
24.(本小题 13 分)
如图，已知 是平面 外一点， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)过 点作 垂直 于 ，证明： ⊥ ；
(3)若 = 1， = 3，求点 到平面 的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.0/0
14.30 /π6
15.1 或 3
16. 2
17.163
18.2: 3
19.4π
20.1 + 1 2 3 ； 3: 2
2 2 2
21.解：(1)由余弦定理 cos = + = 4+9 7 12 12 = 2，
又 ∈ 0, π π，所以 = 3；
(2)由(1)知 sin = 3 2 ，由正弦定理sin = sin ，
3
sin = sin
2×
= 2 = 21则 7 7 ．
(3)由 < ，所以 < ，所以 为锐角，故 cos = 1 sin2 = 1 37 =
2
7，
所以 sin2 = 2sin cos = 2 × 3 2 4 37 × 7 = 7 ，
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所以 cos2 = 2cos2 1 = 2 × 47 1 =
1
7，
所以 sin(2 + ) = sin 2 + π3 = sin2 cos
π
3 + cos2 sin
π
3
= 4 3 1 1 3 5 37 × 2+ 7 × 2 = 14 ．
22.解：(1)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 6 2 = 4 + 2 4 × 1 44 ，解得 = 1 或 = 5 (舍去)．
(2)由(1)可得 = 6 = 6，
1 π
因为 cos = 4，则 ∈ 2 , π ，所以 sin = 1 cos
2 = 154 ，
6 2
由正弦定理sin = sin ，即 = sin ，解得 sin =
10
4 ；15
4
(3) 1由(2)可得 sin2 = 2sin cos = 2 × 4 ×
15
4 =
15
8 ，
2
cos2 = 2cos2 1 = 2 × 14 1 =
7
8，
π
显然 ∈ 0, 2 ，则 cos = 1 sin
2 = 64 ，
所以 cos(2 ) = cos2 cos + sin2 sin
= 7 × 6 158 4 8 ×
10
4 =
3 6
8 ．
23.解：(1)连接 1，在正方体 1 1 1 1 中， 1// 1且 1 = 1，所以四边形 1 1 为平行四
边形，
所以 // 1 1，所以∠ 1即为异面直线 1 1和 1 所成角，
π π
又 1 为等边三角形，所以∠ 1 = 3，所以异面直线 1 1和 1 所成角为3；
(2)连接 ，设直线 交直线 于点 ，连接 ，
因为在正方体 1 1 1 1中，底面 是正方形，所以 为 中点，
又因为 为 1的中点，所以 1 // ，
又因为 平面 ， 1 平面 ，
所以直线 1 //平面 ．
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(3)设正方体的棱长为 2 1 1 2，则 = 3 × 2 × 2 × 2 × 1 = 3，
又 = 22 + 22 = 2 2， = = 12 + 22 = 5，
1 2 2
所以 = 2 × 2 2 × 5 2 = 6，
设点 1 2 1到平面 的距离为 ，则 = = 3 = 3，即3 × 6 =
2 6
3，解得 = 3 ，
6
设 和平面 6所成角为 ，则 sin = 3 = 2 = 6 ，
6
所以 和平面 所成角的正弦值为 6 ．
24.解：(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ；
(3)在平面 内过点 作 ⊥ 交 于点 ，
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2
因为 = 1， = 3， ⊥ ，所以 = 12 + 3 = 2，
所以 = =
3
2 ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
3
所以点 到平面 的距离为 = 2 ．
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