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2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高一下学期期中考试
数学试卷(B卷)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 1 + i，则 =( )
A. 1+ i B. 1 i C. 1 + i D. 1 i
2.已知 = (3, 1)， = (1,2)，则 2 的坐标是( )
A. (2, 3) B. (4,1) C. (1, 5) D. (5,3)
3.圆柱的轴截面是一个边长为 2 的正方形，则此圆柱的侧面积为( )
A. 4 B. 6 C. 6 D. 4
→ → → →
4.已知向量 = (1,1)， = (2,0)，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D. 3 6 4 3 4
5.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中 = = 2，则该平面图形的面
积为( )
A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4
6.已知向量 = ( 1,1), = (2, )，若 // ，则 =( )
A. 3 2 B. 3 C. 2 2 D. 2
7.已知 ，内角 、 、 的对边分别是 , , , = 2, = 3, = 60°，则 等于( )
A. 45° B. 30° C. 45°或 135° D. 30°或 150°
8.下列正确的是( )
A.过球面上两点与球心有且只有一个平面
B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于复数的说法，正确的是( )
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A. 1 i 的虚部为 1 B. 1 i = 2
C. 1 i 2是纯虚数 D. 1 i 在复平面内对应的点位于第四象限
10.下列四个命题中，真命题是( )
A.四边形可以确定一个平面
B.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
C. 若直线 ， 相交，且 /平面 ，则直线 不在平面 内
D.若直线 1

平面 ，直线 2/平面 ，则 1// 2
11.在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，下列说法正确的是( )
A.若 为锐角，则 2 + 2 > 2
B.若 为锐角，则 2 + 2 < 2
C.若 sin > sin ，则 >
D.若 为锐角三角形，则 sin > cos
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若 1 + 2 是关于 的实系数方程 2 + + = 0 的一个复数根，则 = ．
13.已知 = (0,4)， = 3, 1 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 ．
14.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 ，
高为 2 ，内孔半径为 0.5 ，则此六角螺帽毛坯的体积是 3．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为 1中点，
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(1)证明： 1//平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
16.(本小题 15 分)
已知复数 = 1 + i(i 是虚数单位， ∈ R)，且 3 + i 为纯虚数( 是 的共轭复数)．
(1)求实数 及| |；
(2)设复数 2 =
i
，且复数 2所对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知| | = 1，| | = 2， 与 的夹角是 60°，计算
(1)计算 ，| + |；
(2)求 + 和 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
在 中， , , 分别是内角 , , 的对边，且sin2 = sin2 + sin2 + sin sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 3， = 2，求 的面积．
19.(本小题 17 分)
已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 2 3．
(1)求圆锥的底面积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 3, 1
14.12 3 2
15.【详解】(1)在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中，设 ， 交于点 ，连结 ，
是 中点，而 为 1中点，则 // 1，
又 平面 ， 1 平面 ，所以 1//平面 ．
(2)在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ⊥平面 ，
1
所以三棱锥 的体积为 = 3 × × =
1 × 1 23 2 × 2 × 2 × 1 = 3．
16.【详解】(1)由 = 1 + i，得 = 1 i，
(3 + i) = (1 i)(3 + i) = (3 + ) + (1 3 )i，
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又 (3 + i) 3 + = 0为纯虚数，则 1 3 ≠ 0，解得 = 3， = 1 3i，
所以| | = 10．
(2) (1) = 1 3i = i = ( i)(1+3i) = ( +3)+(3 1)i +3 3 1由 知 ， 2 1 3i (1 3i)(1+3i) 10 = 10 + 10 i．
又复数 2(
+3 3 1 + 3 > 0 1
10 , 10 )所对应的点在第一象限， 3 1 > 0，解得 > 3，
1
所以实数 的取值范围是 > 3．
17.【详解】(1)由题可得 = cos60° = 1 × 2 × 12 = 1，
2
| + |2 = 2 + 2 + = 1 + 2 × 1 + 4 = 7，所以| + | = 7；
(2) ∵ + = 2 + = 1 + 1 = 2，
设 + 和 的夹角为 ，
+
cos = = 2 = 2 7所以 ．
+ 7×1 7
18.【详解】(1)因为sin2 = sin2 + sin2 + sin sin ，
由正弦定理得 2 = 2 + 2 + ．
cos =
2+ 2 2 = 1再由余弦定理得 2 2，
又因为 ∈ (0, π) 2π，所以 = 3．
(2) 2π因为 = 3， = 2， = 3
代入 2 = 2 + 2 + 得 2 + 2 5 = 0，
解得 = 6 1．
故△ 的面积 = 1 3 2 32 sin = 2 ．
19.【详解】(1)沿母线 剪开，侧展图如图所示：
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设 = ，在半圆⊙ 中， = 2 3，弧长 ’ = 2 3 ，这是圆锥的底面周长，
所以 2 = 2 3 ，
所以 = 3，故圆锥的底面积为 1 = 2 = 3 ；
(2)设圆柱的高 1 = ， = ，
在 中， = 2 2 = 3，
∵ 1 1∽
3
，所以 1 1 1 = ，即 3 = 3， = 3 3 ，
2
圆柱侧面积为： 2 = 2 = 2 3 3 = 2 3 2 3 = 2 3
3 + 3 32 2 ，
所以，当 = 3 = 32 ， 2时，圆柱的侧面积最大．
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