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2024-2025 学年广东省东莞市光明中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 1 + 2i 在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
2.在 中，角 , , 的对边为 , , ，已知 sin = 3 cos ，则 =( )
A. π3 B.
π
2 C.
π 5π
6 D. 6
3.如图， ′ ′ ′是水平放置的 的直观图， ′ ′ = ′ ′ = 2，∠ ′ ′ ′ = 45°，则 的
面积是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.在 中，角 , , 所对三条边为 , , ，已知 = 3, = 5, = 7，则角 =( )
A. 135° B. 120° C. 60° D. 30°
5.已知向量 = (2, 3)， = (3, )，若 // ，则 等于( )
A. 23 B. 2 C.
9
2 D.
2
3
6.已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ // ”是“ // ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图，在 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，则 =( )
A. 1 + 2 B. 2 + 1 3 3 3 3
C. 1 3
+ 4 D. 1 4 3 3 3
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8.如图，在⊙ 中，弦 的长度为 2，则 的值为( )．
A.与半径有关 B. 1 C. 2 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A.任意单位向量的模都相等.
B.若 ， 是平面内的两个不同的点，则 =
C.若向量 // ， // ，则 //
D.零向量与任意向量平行
10.在 中，下列命题正确的( )
A.若 > ，则 sin > sin
B.若 sin2 = sin2 ，则 为等腰三角形
C.若 tan + tan + tan < 0，则 为钝角三角形
D.若 = 2 cos ，则 是等腰三角形
11.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，则下列四个结论正确的是( )
A. 1 1 ⊥ 1 B. 1 1//平面 1
C. 8正方体的外接球的表面积为 12π D.三棱锥 1 的体积为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆台的上，下底面半径分别为 2 和 6，母线长为 8.则该圆台的表面积为 ．
13.已知平面向量 = (1, 1), = ( , 2)，若 + ⊥ ，则 = ．
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14.在锐角 中，角 , , 的对边为 , , ， 为 的面积，且 2 = 2 ( )2 5 + ，则 的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = + ， 2 = 1 ， ∈ ．
(Ⅰ)当 = 1 时，求 1 2的值；
(Ⅱ)若 1 2是纯虚数，求 的值；
(Ⅲ) 若 1 在复平面上对应的点在第二象限，求 的取值范围．2
16.(本小题 15 分)
已知平面向量 , π，满足 = 3, = 2，且 与 的夹角为3．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 与 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 = 2 + ．
(1)求角 的大小；
(2)若 sin = 2sin cos ，试判断 的形状并给出证明．
18.(本小题 17 分)
如图所示，底面为正方形的四棱锥 中， = 2， = 4， = = 2 5， 与 相交于点 ，
为 中点．
(1)求证： /\ !/平面 ；
(2) 上是否存在点 ，使平面 /\ !/平面 .若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
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已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = sin + cos ，称向量 = ( , )为 ( )的相伴向量，同时称 ( )为向
量 的相伴函数．
(1)记 = (1,1)的相伴函数为 ( ) π π 4 2，当 0 ∈ [ 4 , 6 ]时，若 0 = 5 ，求 sin 0的值；
(2)已知动点 (1, ) 3满足 ∈ (0, 3 ]，且 的相伴函数 ( )在 =
1
0时取得最大值，求tan2 + tan 0的最小0
值；
(3)已知 = (0,1)为函数 ( ) π的相伴向量，在 中， = 2，cos = ( 4 )，且点 为 的外心，求
+ 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.104
13.0
14. 5,5 2
15.(Ⅰ)由题意 1 2 = (1 + )(1 + ) = 1 + 2 + 2 = 2 ；
(Ⅱ)由题意 1 2 = ( 1) + 2 为纯虚数，则 1 = 0，所以 = 1；
1
(Ⅲ) 1 = + = ( + )(1+ ) = + + +
2
= 1 + +1 1 +1
< 0
1 (1 )(1+ ) 2 2 2 ，对应点( 2 , 2 )，它是第二象限点，则
2
2 +1
，解
2 > 0
得 1 < < 1.故 的范围是( 1,1)．
16.(1)由 = 3, = 2 可得 = cos π 13 = 3 × 2 × 2 = 3；
2 2
(2) = = + 2 2 = 4+ 9 2 × 3 = 7
2
(3)cos , = = 3 9 2 2 7

=
3× 7
= 7 = 7 ．
即可得 与 2 7夹角的余弦值为 7 ．
2+ 2 217.(1) 1根据题意，由 2 + 2 = 2 + 可知， 2 = 2
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根据余弦定理可知，cos = 12，

又角 为 的内角，所以 = 3；
(2) 为等边三角形.
由三角形内角和公式得， = ( + )，
故 sin = sin( + ).
根据已知条件，可得 sin( + ) = 2sin cos ，
整理得 sin cos cos sin = 0
所以 sin( ) = 0，
又 ∈ ( , )，
所以 = ，

又由(1)知 = 3，
所以 为等边三角形.
18.(1)因为 , 分别是 , 的中点，
所以 // ，且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)存在，点 是 的中点，此时，连结 ,
因为 , 分别是 , 的中点，
所以 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
由(1)可知， //平面 ，且 ∩ = ，且 , 平面 ，
所以平面 //平面 ，
所以 上存在中点 ，使平面 //平面 ．
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19.(1)依题意， ( ) = sin + cos = 2sin( + π4 )，
由 π 4 2 π 40 = 2sin( 0 + 4 ) = 5 ，可得 sin( 0 + 4 ) = 5，
因 0 ∈ [
π π π 5π π 3
4 , 6 ]，则( 0 + 4 ) ∈ [0, 12 ]，故 cos( 0 + 4 ) = 5，
π
于是 sin 0 = sin[( 0 + 4 )
π
4 ] =
2
2 [sin( +
π π 2 4 3 2
0 4 ) cos( 0 + 4 )] = 2 ( 5 5 ) = 10；
(2)依题意， ( ) = sin + cos = 2 + 1sin( + ) 3，其中 ∈ (0, 3 ], tan = ,
因函数 ( )在 = 0时取得最大值，则 sin( 0 + ) = 1，解得 0 + =
π
2 + 2 π, ∈ Z，
即 π0 = 2 + 2 π, ∈ Z，则 sin 0 = cos ，cos 0 = sin ，
1 2 2 2 2
由tan2 + tan =
1 tan 0 1+tan 0 sin 0+cos 0
0 2tan + tan 0 = =0 0 2tan 0 2sin 0cos 0
= 1 = 1 = sin
2 +cos2 1+tan2 1 1
2sin 0cos 0 2sin cos 2sin cos
= 2tan = 2 ( + )，
因 ∈ (0, 33 ]
1 3
，函数 = + 在 ∈ (0, 3 ]上单调递减，
故当 = 33 时， = +
1 4 3 1 2 3
取得最小值 3 ，此时tan2 + tan 0取得最小值为 3 ；0
(3)依题 ( ) = cos ，则 cos = ( π ) = 24 2 ，因 0 < < π =
π
，则 4．
如图作 ⊥ 于点 ，因点 为 1的外心，则 = 2 ，
如图， = ( + ) = + = | | | |cos∠ + ( )
= 1 | |2 + + | |2 = | 2
|2 2 ，
则 + = | |2 2，
2
由正弦定理，sinπ = sin = 2 2，则 = 2 2sin ，则
+ = 8sin2 2，
4
因 0 < < 3π π 4 ，则当 = 2时，
+ 取得最大值为 8 × 1 2 = 6．
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