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2024-2025 学年山东省青岛市第六十六中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 满足 + 2 = 6 + ( 是虚数单位)，则复数 在复平面内所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 3， = 6， = 60°，则 =( )
A. 45° B. 75° C. 105° D. 135°
3.如图所示，正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长
为( )
A. 6cm B. 8cm C. 1 + 2 cm D. 2 1 + 3 cm
4.在 中， ， 分别是边 ， 的中点，点 满足 = 2 ，则 =( )
A. 1 + 1 3 6 B.
1
3
1 1 6 C. 6
+ 1 D. 1 1 3 6 3
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 在西偏北 30°
的方向上(即∠ = 30°).行驶 300 后到达 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山
顶 相对公路所在平面的高度 = ( )．
A. 100 3m B. 100 C. 50 6m D. 50 2m
6.已知向量 、 满足 2 = 0，则 在 上的投影向量为( )
A. 2 B. 2 C. 12 D. 2 2
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7.将一个半径为 2cm 的金属球熔化后，先浇铸成 6 个半径为 1cm 的小球，再把剩余材料铸成 1 个正方体，
则该正方体的棱长大约为( )
A. 1.5cm B. 2cm C. 2.5cm D. 3cm
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是棱 ， 1的中点，动点 在正方形 1 1(包括
边界)内运动，若 平面 ，则线段 1的长度的最小值是( )
A. 3 22 B. 2 C. 5 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( , 3)， = (5,2)，则下列结论正确的是( )
A. 15若 ，则 = B.若 ⊥ 2 ，则 =
6
5
C.若 = 5，则 = 4 D.若 = 3，则 = 21
10.若复数 = 3 5i1 i，则( )
A. = 4 i
B. | | = 17
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D.复数 满足| | = 1，则| |的最大值为 17 + 1
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
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A.存在点 ，使得 //平面 1 1
B.过 , , 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C.三棱锥 1 1 1 的体积为定值
D.三棱锥 的外接球表面积为 9π
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (3, 2), 3 + = ( 1,4)，则 = ．
13.已知一个圆台的上下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为 ．
14.在圆内接四边形 中，已知 = 2， = 3， 平分∠ .则 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( 1,3), = ( , 2)，且 2 ⊥ ．
(1)求 + ；
(2)求 与 的夹角．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， 是 上的点．
(1)若 、 分别是 和 中点，求证： //平面 ；
(2)若 //平面 ，求证： 是 中点．
17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 sin = cos + π6 ．
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(1)求角 ；
(2)若 = 3 ，且 = 2，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中，已知 = 2, 1 = 3, 是棱 的中点．
(1)若平面 1 ∩平面 1 1 1 = ，求证： ；
(2)求 1与 所成角的余弦值；
(3)该正三棱柱被平面 1截去一个棱锥 1 ，求剩余部分的体积．
19.(本小题 17 分)
为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地 分隔成三部分建成花卉观赏区，
2π
分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为 70 米，圆心角为 3 ，点 在扇形的弧上，点 在 上，
且 // ．
(1)当 = 50 米时，求 的长；
(2)综合考虑到成本与美观原因，要使郁金香种植区 的面积尽可能的大，设∠ = ，求 面积
的最大值与面积最大值时的角 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10 2
13.7 2 /7 2
14.52
15.(1)因为向量 = ( 1,3), = ( , 2)，所以 2 = ( 1 2 , 1)，
由 2 ⊥ 得 1 + 2 3 = 0，解得 = 1，所以 = (1,2)．
又 + = (0,5)，所以 + = 02 + 52 = 5．
(2)设向量 与向量 的夹角为 ，

因为 = ( 1,3), = ( 2,1)，则 cos = = 5 2
10× 5
= 2 ，
又 0° ≤ ≤ 180°，所以 = 45°，
即向量 与向量 的夹角是 45°．
16.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
在 1中，因为 ， 分别为所在边的中点，所以 // ，且 = 2 ，
又因为底面 为平行四边形， 为 的中点，
1
所以 // ，且 = 2 ，
所以 // ，且 = ，
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所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)连接 ，交 于 ，连接 ，
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，在 中， 为 中点，
所以 为 中点．
17.(1)因为 sin = cos + π π π6 ，所以 sin = cos cos 6 sin sin 6 ，
sin = 3所以 2 cos
1 3 1
2 sin ，由正弦定理可得 sin sin = 2 sin cos 2 sin sin ，
因为 0 < < π，所以 sin ≠ 0，所以 sin = 32 cos
1
2 sin ，
3 3 3
所以2 sin = 2 cos ，所以 tan = 3 ，
又因为 0 < < π，所以 = π6；
(2)因为 = 3 ，且 = 2，所以由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
可得 4 = 2 + 2 3 = 3 2 + 2 3 2 = 2，所以 = 2， = 2 3，
1 1 1
所以 的面积为2 sin = 2 × 2 3 × 2 × 2 = 3．
18.(1)证明：在正三棱柱 1 1 1中，平面 //平面 1 1 1， 平面 ，
∴ //平面 1 1 1，
∵ 平面 1，平面 1 ∩平面 1 1 1 = ，
∴ // ．
(2)
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设 1 1中点为 1，连接 1， 1，
∵ 是棱 的中点，∴ 1// 1且 1 = 1，
即四边形 1 1 为平行四边形，∴ // 1 1，
在正三棱柱 1 1 1中， = 2, 1 = 3，
1 1 = 3， 1 = 13， 1 = 10，
3+ 13 10 39
cos∠ 1 1 = =2 3 × 13 13
39故 1与 所成角的余弦值 13 ．
(3)在正三棱柱 1 1 1中，底面 为等边三角形，
= 2 = 1， 2 × 2 × 2 ×
3
2 = 3，
1 1 1 = 1 = 3 3，
1 1 1 3 1 = 3 × 2 1 = 6 × 3 × 3 = 2 ，
所以剩余部分的体积 = 1 1 1
5 3
1 = 2 ．
19.(1) // ∠ = π ∠ = π由 ，得 3，
在 中， = 50， = 70，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 4900 = 2500 + 2 50 ，而 > 0，解得 = 80．
(2)由 // 2π 2π，得∠ = ∠ = ，∠ = 3 ， ∈ (0, 3 )，
在 70sin 140中，由正弦定理得sinπ = sin ，则 = 3 = 3 sin ，3 2
1 4900 2π因此 = 2 sin∠ = 3 sin sin( 3 )
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4900 3 1 4900 3 1 1 cos2
= sin ( 2 cos + 2 sin ) = ( 4 sin2 + 2 × 2 )3 3
= 24503 [sin(2
π
6 ) +
1
2 ]，
2π π π 7π
因为 ∈ (0, 3 )，所以 2 6 ∈ 6 , 6 ，
所以当 2 π π π π6 = 2，即 = 3时，sin(2 6 ) = 1，
的面积取得最大值 1225 3，
所以 π面积的最大值为 1225 3平方米，此时 = 3．
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