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2024-2025 学年山东省青岛市第三十九中高一下学期 5 月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 2,5)， = (4, )，若 // ，则 =( )
A. 52 B.
8
5 C. 10 D. 10
2.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ， // ，则 //
B.若 // ， // ， ∩ = ，则 //
C.若 // ， // ，则 //
D.若 // ， ，则 //
3.如图，四棱锥 ， ∩ = ， 是 的中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的
是
A. , , , 四点不共面 B. , , , 四点共面
C. , , 三点共线 D. , , 三点共线
4.如图，一个大风车的半径长为 8m，每 12min 旋转一周，最低点离地面为 2m，若风车翼片从如图所示的
点 0处按逆时针方向开始旋转，已知点 0离地面 6m，则该翼片的端点离地面的距离 (m)与时间 (min)之
间的函数关系是( )
A. = 8cos 6 + 3 + 10 B. = 8cos 6

3 + 10
C. = 8sin 3

6 + 10 D. = 8sin

6 3 + 10
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5.已知圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A. 6 3π B. 9 3π C. 12 3π D. 27 3π
6.记函数 ( ) = sin( + )( > 0, π2 < <
π 3
2 )的最小正周期为 ，且 ( ) = 2 .将 = ( )的图象向右平
π
移6个单位，所的图象关于 轴对称，则 的最小值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度 ，选取了在同一水平面上的 ， ， 三处，如图.已知在 ， ，
处测得该建筑顶部 的仰角分别为30 ，45 ，60 ， = 2 ， = 10 米，则该建筑的高度 =( )
A. 10 2米 B. 5 6米 C. 5 3米 D. 5 2米
8.如图所示，边长为 1 的正方形 的顶点 ， 分别在边长为 2 的正方形 ′ ′ ′ ′的边 ′ ′和 ′ ′
上移动，则 ′ ′ 的最大值是( )
A. 4 B. 1 + 2 C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量 = (2, 3)， = (2,1)，则( )
A. 2 ⊥
B. 与 可作为一组基底向量
C. 与 65夹角的余弦值为 65
D. 2 1在 方向上的投影向量的坐标为 3 , 3
10 .已知函数 ( ) = sin(2 4 ), ( ) = sin ，要得到函数 ( )的图象可由函数 ( )的图象( )
A. 先将横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移8个单位长度
B. 1 先将横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变，再向右平移8个单位长度
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C. 1先向右平移4个单位长度，再将横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变
D. 1先向右平移8个单位长度，再将横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变
11.在复平面内，下列说法正确的是( )
A.复数 = 1 2i，则 在复平面内对应的点位于第一象限
B. i + i2 + i3 + + i2024 = 0
C.若复数 1, 2满足 1 + 2 = 1 2 ，则 1 2 = 0
D.若| | = 1，则 + 1 + i 的最大值为 2 + 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，在 中， = 1 2 , 是线段 上的一点，若
= + 1 5
，则实数 = ．
13 3.将一个半径为2 cm 的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为 1cm 和
2cm，则它的高为 cm．
14.在边长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 是该正方体表面上一个动点，且 //平面 1 ，则动
点 的轨迹的长度是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知( + ) sin sin = ( )sin ．
(1)求 ；
(2) 3 3若 的面积为 2 , = 7，求 + ．
16.(本小题 15 分)
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如图所示，已知 是平行四边形 所在平面外一点， , 分别是 , 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)设平面 ∩平面 = ，求证： // ．
17.(本小题 15 分)
已知复数 满足 | | = 1 3i．
(1)求 ；
(2)若 是实系数一元二次方程 2 + + = 0 的一个根，求方程的另一个根和 的值．
18.(本小题 17 分)
在 中，设 , , 2 所对的边分别为 , , ，已知cos = cos ．
(1)求角 的值；
(2)若 : = tan : tan ，判断 的形状；
(3)若 为锐角三角形，且 = 2，求 的面积 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，我们把由平面内夹角成 60°的两条数轴 ， 构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设 1， 2分别为 ，
正方向上的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把实数对[ , ]叫做向量 的“完美坐标”．
(1)若向量 的“完美坐标”为[3,4]，求 ；
(2)已知 1, 1 ， 2,
1
2 分别为向量 ， 的“完美坐标”，证明： = 1 2 + 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ；
(3)若向量 ， 的“完美坐标”分别为[sin , 1]，[cos , 1]，设函数 ( ) = ， ∈ ，求 ( )的值域．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25/0.4
13.27π14
14.3 2
15.【详解】(1)由正弦定理得， 2 2 = 2，即 2 + 2 2 = ，
2
cos = +
2 2 = 1由余弦定理得， 2 2 = 2，
又 ∈ 0, π ，所以 = π3．
(2) 3 3 1 1 3 3 3因为 的面积为 2 ，所以2 sin = 2 2 = 2 ，即 = 6，
2 2 2 2 2
由 = 7 + + 7 1，则 cos = 2 22 = 12 = 2，即 + = 13，
所以 2 + 2 + 2 = ( + )2 = 13 + 2 = 13 + 12 = 25，即 + = 5．
16.【详解】(1)取 的中点 ，连接 , ，如图所示，
// = 1由 ，且 2 ，
// ，且 = 12 ，
所以 // ，且 = ，
所以四边形 是平行四边形，
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所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
17.【详解】(1)设 = + i , ∈ R ，
因为 | | = 1 3i，则 + i 2 + 2 = 1 3i，
2 2 = 4
故 + = 1，解得
= 3 = 3,
,
故 = 4 3i；
(2)因为 是实系数一元二次方程 2 + + = 0 的一个根，
则 = 4 + 3i 也为实系数一元二次方程 2 + + = 0 的一个根，
4 + 3i + 4 3i =
故 (4 + 3i)(4 3i) = ，解得 = 8, = 25，
故 = 200．
18.【详解】(1)在 2 sin 2sin sin 中，由cos = cos 及正弦定理，得cos = cos ，
整理得 2sin cos = sin cos + cos sin = sin( + ) = sin ，
因 0 < < 1，则 sin > 0，则得 cos = 2，
而 0 < < π = π，所以 3．
(2)在 中，由 : = tan : tan sin sin cos 及正弦定理，得sin = cos sin ，
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故得 cos = cos ，因 0 < , < π，故得 = ，
即 为等边三角形．
(3)由(1)知， + = 2π3，
因 π π 3为锐角三角形，得6 < < 2，则 tan > 3 ，
sin 2sin( + ) 3cos +sin 3
由正弦定理，得 = sin = sin = sin = tan + 1，
= 1所以 2 sin =
3
2 =
3 3
2 ( tan + 1) ∈ (
3
2 , 2 3)．
19.【详解】(1)因为 的“完美坐标”为[3,4]，则 = 3 1 + 4 2，
又因为 1， 2分别为 ， 正方向上的单位向量，且夹角为 60°，
所以| 1| = | 2| = 1， 1 2 = 1 2 cos60° =
1
2，
所以 = 3 1+ 4 22 = 9
2
1 + 24 1
2
2 + 16 2 = 9+ 24 ×
1
2 + 16 = 37．
(2)由(1)知 1 =
1
2 2，
→ 2→
所以 = 1 1+ 1 2 2 1+ 2 2
2
= 1 2 1 + 1 2 1 2+ 2 1 1 2+ 1 2 2
= 1 +
1
2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ，
即 = 1 2 +
1
1 2 + 2 1 2 + 2 1 ．
(3)因为向量 ， 的“完美坐标”分别为[sin , 1]，[cos , 1]，
由(2)得 ( ) = = sin cos + 1 + 12 (sin + cos )．
π
令 = sin + cos = 2sin( + 4 )，则 sin cos =
1 2
2 ( 1)，
因为 ∈ ，所以 2 ≤ 2sin( + π4 ) ≤ 2，即 2 ≤ ≤ 2，
令 ( ) = 12
2 1 + 1 + 1 1 2 1 1 2 32 = 2 ( + + 1) = 2 ( + 2 ) + 8 , ( 2 ≤ ≤ 2)，
因为 ( ) 1的图象是对称轴为 = 2，开口向上的抛物线的一部分，
所以当 = 12 ∈ [ 2, 2]时， ( )
1 3
取得最小值 ( 2 ) = 8，
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= 2 1当 时， ( )取得最大值 ( 2) = 2 × (2 + 2 + 1) =
3+ 2
2 ，
3 3+ 2
所以 ( )的值域为[ 8 , 2 ]．
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