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2024-2025 学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各角中，与 2025°角终边相同的角为( )
A. 45° B. 135° C. 45° D. 135°
2.已知某扇形的周长为 4，则该扇形的面积的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.下列关于向量说法正确的是( )
A.零向量没有方向 B.所有单位向量都相等
C.向量的模是一个正实数 D.相反向量的模一定相等
4.在 中， ， 分别是边 和 的中点，若 = ， = ，则 =( )
A. 2 B. 2 2 C. 2 + D. 2
5 π.在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ( 3,4)，则 tan( 2 ) =( )
A. 3 B. 35 4 C.
3 4
4 D. 3
6.已知函数 ( ) = sin( + π3 )cos ，则( )
A. ( ) = 1 π2 sin(2 + 6 ) B. ( )的最大值为 2
C. = ( ) π π的图象关于直线 = 12对称 D. ( )在区间 0, 12 上单调递增
7.若非零向量 ， 满足 = + ，则 2 在 方向上的投影向量为( )
A. 2 B. C. D. 2
8.已知函数 ( ) = sin + cos( + )的最大值为 3，则 cos2 =( )
A. 32 B.
1
2 C.
1
2 D.
3
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平面直角坐标系中， 为坐标原点， (1,2), (4,0), (6,3)，则( )
A. = ( 3,2) B. = 13 C. ⊥ D. = 13
10.下列各式正确的是( )
A. sin15°sin75° = 1 B. 5 sin80°3 cos25° = 2
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C. tan22° + tan23° + tan22°tan23° = 1 D. tan15° 31+tan215° = 6
11 .已知函数 ( ) = 2sin2( + 3 ) 1( > 0)，则下列说法正确的是( )
A.若 = ( ) 1的图象上最高点和最低点间距离的最小值为 π2 + 4，则 = 2
B. π π 3若 = ( )的图象在[ 6 , 4 ]上单调递增，则 的取值范围是(0, 2 ]
C.若 = ( ) π的图象上所有的点向右平移6个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则 的最小值为 2
D.存在 ，对 ∈ R ， ( 12 ) + ( 12 ) = 0 恒成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 2sin 2的定义域为 ．
13.已知正 边长为 2，则 = ．
14.不等式 tan (1 tan2 ) ≤ 2 (1 + tan2 )2对于任意 ∈ { | ≠ 2 + , ∈ }恒成立，则实数 的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图所示，在边长为 1 π的菱形 中，∠ = ， = 1 3 2 ，设
= ， = ．
(1)用 ， 表示 ；
(2)求| |；
(3)若 = ， ⊥ ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
sin( 5 )cos( + )tan2( )
已知 ( ) = 2 2cos( ．2 )sin( + )
(1)化简 ( )；
(2)若 ， 为锐角， ( ) = 2， ( ) = 3．
①求角 + ；
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2sin2 sin4
②求2sin2 +sin4 的值．
17.(本小题 15 分)

已知平面向量 = ( 2,4)，| | = 5，< , > = 3．
(1)求 在 方向上的投影向量的数量；
(2)求|2 + |；
(3)求 与 2 + 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = sin( + ) + ( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式及对称中心；
(2) π 13 9若 0 < < < 2，cos( ) = 14， ( 2 + 12 ) = 7，求 sin ；
(3) ( ) = 1设 2 cos2 + 2 sin 1
π π
，若对任意的 1 ∈ [ 2 , 2 ]， 2 ∈ [ 6 , 12 ]，都有 ( 1) < ( 2)，求实
数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin ， ( ) = cos ( , ∈ N+).
(1)若 1( 0) + 1( 0) =
2
3，求 3( 0) + 3( 0)的值；
(2)若函数 ( ) = 2( ) + 4( )，求 = ( )的最小正周期与对称轴方程；
(3)若存在 ∈ N +，使得sin + cos + 2 sin cos ≥ 0
π
对任意的 ∈ [0, 2 ]恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ | 3 4 + 2 ≤ ≤ 4 + 2 , ∈ }
13. 2
14. ≥ 18
15.【详解】(1) = + = 23 =
2
3 ；
2
(2)由| | = | | = 1， = 1，则| 2
|2 = ( 23 )
2 = 4 + 4 2 7 73 9 = 9，所以| | = 3 ．
(3)由 = = ， = + = + ，
2
因为 ⊥ ，所以 = 0，所以( + ) ( 3 + ) = 0，
2 2
即 3
2 23
+ + = 0 = 1，解得 4．
2
16. ( cos )sin tan 【详解】(1) ( ) = sin ( sin ) = tan
(2)①由题意可得 tan = 2，tan = 3，
由 ， 为锐角，可得 0 < + < ，
由 tan( + ) = tan +tan 1 tan tan = 1，所以 + =
3
4．
= 2sin2 2sin2 cos2 1 cos2 2sin
2
②原式 22sin2 +2sin2 cos2 = 1+cos2 = 2cos2 = tan = 4
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17.【详解】(1)| | = 4 + 16 = 2 5，
所以投影向量的数量为| |cos < , > = 2 5 × cos 3 = 5．
(2) = 2 5 × 5 × cos 3 = 5，
2 2 2 2|2 + | = (2 + ) = 4 + 4 + = 105，
所以|2 + | = 105．
2
(3) (2 + ) = 2 + = 15，

所以 cos < , (2 + ) > = (2 + ) = 15 = 21
|
．
||2 + | 5 105 7
所以 与 2 + 21夹角的余弦值为 7 ．
18. 3 ( 1) 3+( 1) 7π π π【详解】(1)依题意知 = 2 = 2， = 2 = 1，2 = 12 12 = 2，
所以 = π 2π ，又 = ，可得 = 2，故函数 ( ) = 2sin(2 + ) + 1(| | < 2 )，
π
由图象经过点( 12 , 3)，所以 3 = 2sin(2 ×

12 + ) + 1，
π π π
可得 sin( 6 + ) = 1，所以6 + = 2 + 2 π， ∈ Z，
所以 = π3 + 2 π， ∈ Z
π
，又因为| | < 2，所以 = 3，
π
所以 ( ) = 2sin(2 + 3 ) + 1，
令 2 + π3 = π ∈ Z ,
π π
解得 = 6 + 2，

故对称中心为( 6 + 2 , 1) ∈ Z．
(2) π π因为 0 < < < 2，所以 0 < < 2，
sin( ) = 1 ( 13所以 )2 3 314 = 14 ，

由 ( 2 + 12 ) = 2sin[2( 2 + 12 ) + 3 ] + 1 =
9
7，

可得 2sin( + 2 ) + 1 =
9
7，即 cos =
1 4 3
7，可得 sin = 7 ，
所以 sin = sin[ ( )] = sin cos( ) cos sin( ) = 4 37 ×
13
14
1
7 ×
3 3 3
14 = 2 ；
(3) π π因为对任意的 1 ∈ [ 2 , 2 ]， 2 ∈ [

6 ,

12 ]，都有 ( 1) < ( 2)，
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所以 ( )max < ( )min，
因为 2 ∈ [ 6 , 12 ]，所以 2 2 +

3 ∈ [0, 6 ]，
所以 ( 2) ∈ [1,2]，所以 ( )min = 1，
( ) = 12 cos2 + 2 sin 1 = sin
2 + 2 sin 12，
令 = sin ，则 = 2 + 2 12， ∈ [ 1,1]，
≤ 1 5
对称轴为 = ，所以① max = 1 2
1
2 < 1
，可得 4 < ≤ 1，
≥ 1 5
② = 1+ 2 1 < 1，可得 1 ≤ < ，max 42
1 < < 1
③ max = 2 + 2 2
1 < 1，可得 1 < < 1，2
∈ ( 5 , 5综上 4 4 )．
19.【详解】(1)由题意得 sin 0 + cos
2
0 = 3，平方可得 1 + 2sin 0cos 0 =
4
9，
5
所以 sin 0cos 0 = 18
所以sin3 0 + cos3 0 = (sin 0 + cos 0)(sin2 0 sin 0cos 20 + cos 0)
= 2 (1 ( 5 )) = 233 18 27；
(2) ( ) = sin2 + cos4 = sin2 + (1 sin2 )2，
= sin2 + 1 2sin2 + sin4 = sin4 sin2 + 1
1
= sin2 (sin2 1) + 1 = sin2 cos2 + 1 = sin24 2 + 1
= 1 1 cos4 cos4 74 × 2 + 1 = 8 + 8，
π π
所以最小正周期为2，对称轴方程为 = 4， ∈ Z；
(3)存在 ∈ N+，使得sin + cos + 2 sin cos ≥ 0
π
对任意的 ∈ [0, 2 ]恒成立，
因为当 ∈ [0, π2 ]时，有 sin ∈ [0,1], cos ∈ [0,1]，所以sin
+ cos ≤ sin + cos ，
所以 sin + cos + 2 sin cos ≥ 0 对任意的 ∈ [0, π2 ]恒成立，
令 = sin + cos = 2sin( + 4 )，则 ∈ [1, 2]，2sin cos =
2 1，
则 + ( 2 1) ≥ 0 恒成立，
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即 ( 2 2) ≥ 对 ∈ [1, 2]恒成立，
因为 = 2
2
在 ∈ [1, 2]上单调递减，即 ∈ [0,1]，
所以 ( 2 ) ≤ 1
2
对 ∈ [0,1]恒成立，
0 ≤ 1
所以 1 ≤ 1，可得 ≤ 1，所以 的取值范围为( ∞,1]．
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