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2024-2025 学年天津市滨海新区汉沽第六中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.化简： + =( )
A. B. C. D.
2 π. 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 = 3, = 2, = 3，则 =( )
A. π 3π π π 3π4 B. 4 C. 6 D. 4或 4
3 π.已知 = 1， = 2，且 与 的夹角为6，则 3
=( )
A. 7 B. 2 2 C. 10 D. 19
4 5.复数4+3i的虚部为( )
A. 3 3 3 35 i B. 5 i C. 5 D. 5
5.已知向量 = ( 1,1)， = (2, )，若 // ，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 4 D. 4
6.在 中，若 sin : sin : sin = 2: 3: 4，则 cos =( )
A. 14 B.
1 11 7
4 C. 16 D. 8
7.在复平面内，复数 满足 1 i = 2i，则复数 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8 1.设 = 1+ + ，则| | =( )
A. 12 B.
2 3
2 C. 2 D. 2
9.在 中，角 , 所对的边长分别为 , .若 = 3, = 1, = π6，则 =( )
A. π3 B.
2π
3 C.
π 5π
6或 6 D.
π 2π
3或 3
10 5π.已知向量 与 的夹角为 ，且 = 2， 6 = 3，则 在
方向上的投影向量是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 3 3 3 3
11.下列四式不能化简为 的是( )
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A. + B. + +
C. + + D. +
12.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 4π，则此圆锥的体积为( )
A. 8 3π B. 8 33 π C. 16π D.
16
3 π
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13.已知| | = 2，| | = 4， = 4，则向量 与 的夹角为 ．
14.已知 = (3, 4)，则与 垂直的单位向量的坐标为 ．
15.已知复数 = 1 2i 1，那么复数 的共轭复数是 ．
16.已知直线 , 和平面 ，若 // ，且直线 在平面 内，则直线 与平面 的位置关系是
17.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形 的直观图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 2，则三角形
的面积为
18.已知向量 = ( 2,3), = (1,1)，则 2 + 3 = ，( + )2 =
19.已知一个正方体的棱长为 2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为
20.若圆锥的轴截面是一个边长为 4 的等边三角形，则它的体积为
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 2 2， = 5， = 13．
(1)求角 的大小；
(2)求 sin 的值．
22.如图，已知 , , , 分别是空间四边形 的边 , , , 的中点， = .求证：
(1)四边形 是菱形；
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(2) //平面 ．
23.已知复数 = 2 + 6 + 2 + 5 + 6 i( 为虚数单位)，求适合下列条件的实数 的值．
(1) 为实数;
(2) 为纯虚数．
(3)若 在复平面内对应的点在第二象限，求 的取值范围．
24.已知向量 和 ，且 = 2, = 2，< , > = 60 求：
(1) 的值
(2) 2 + 的值
(3)2 + 与 的夹角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.120
14. 4 , 35 5 或
4
5 ,
3
5
15.1 25 5 i
16. // 或 ．
17.4 3
18.( 1,9)；17
19.4π3 /
4
3π
20.8 3π3
21.【详解】(1) △ 中， = 2 2， = 5， = 13．
2+ 2 2 2 2
2+52 2 13 2
则有 cos = 2 = 2×2 2×5 = 2
又 0 < < π π，则 = 4
(2)由(1) π可知 = 4，又△ 中， = 2 2， = 13，.
sin = sin = 2 2 π 2 13则 13 sin 4 = 13
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22.【详解】(1)由题意得 , , , 分别是空间四边形 的边 , , , 的中点，
则 是 的中位线， 是 的中位线，
由中位线定理得 // // = = 1， 且 2 ，
1
同理可得 = 2 ， // ，因为 = ，所以 = ，
因为 // ， // ，所以 // ，故四边形 为平行四边形，
因为 = ，所以四边形 是菱形．
(2)由上问得 // ，而 平面 ，且 平面 ，
得到 //平面 ，故 //平面 ．
23.【详解】(1)由题意可得 2 + 5 + 6 = 0，解得 = 2 或 3．
2
(2)由题意可得 + 6 = 02 ，解得 = 2． + 5 + 6 ≠ 0
2
(3)由题意可得 + 6 < 0
2
，解得 2 < < 2．
+ 5 + 6 > 0
24.【详解】(1) ∵ = 2, = 2, < , > = 60 ．
∴ = 2 × 2 × cos60° = 2;
2
(2) ∵ (2 + )2 = 4 2 + 4 + = 16 + 8 + 4 = 28，
∴ 2 + = 2 7;
2
(3) ∵ 2 + = 2 + = 4 + 4 = 8，
→ → →
2 + 8 2 7
∴ cos = → → → = = .
2 + 2 7× 2 7
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