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2024-2025 学年四川省眉山市彭山区第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 , ∈ R，复数 + = 2 1+ ，则 + =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
2 = 3 7.已知在 中， 5， = 1， = 5，则 cos =( )
A. 1 B. 1 C. 13 D. 112 2 14 14
3.如图，已知等腰直角三角形 ′ ′ ′是一个平面图形的直观图， ′ ′ = ′ ′，斜边 ′ ′ = 2，则这
个平面图形的面积是( )
A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 22
4.已知点 (1,3), (4, 1),则与 同方向的单位向量为( )
A. 3 , 4 B. 4 , 3 C. 3 4 45 5 5 5 5 , 5 D. 5 ,
3
5
5.下列说法错误的是( )
A.棱台侧棱的延长线必相交于一点 B.正四棱锥的侧面可以是等边三角形
C.棱柱的侧面都是平行四边形 D.矩形旋转一周一定能形成一个圆柱
6 tan , tan 3 2 + 5 7 = 0 cos( ).若 是方程 的两个根，则sin( + ) =( )
A. 5 B. 44 5 C.
5 4
4 D. 5
7.某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，
π π π
为了测量董子雕像高度，在 处测得雕像最高点的仰角分别为4和6，且 = 2， = 2.92m，则该雕像的
高度 约为( )(参考数据： 3 ≈ 1.73)
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A. 4.0m B. 4.6m C. 5.2m D. 6.2m
8.如图，正方形 的边长为 2, , 分别为 , 边上的动点，若 为 的中点，且满足 = 1，则
的最小值为( )
A. 8 4 2 B. 4 C. 16 8 2 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 + i，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部是 i B. 的共轭复数是 1 i
C. = i D. =
2
10.在 中，内角 , , 所对的边分别是 , , ，则下列说法正确的是( )
A.若 = 2, = 30 ，则 的外接圆的面积是 4π
B.若 cos = cos ，则 是等腰三角形
C.若 = 7, = 60 ，则 + 可能等于 10
D.若 = 3, = 1, = 30 3 3，则 的面积为 4 或 2
11.设函数 ( ) = sin5 sin cos ，则( )
A. ( )的图象有对称轴 B. ( )是周期函数
C. ( )在区间 0, π π2 上单调递增 D. ( )的图象关于点 2 , 0 中心对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 = 2 3 4 + ( + 1)i ∈ R 是纯虚数，则 = ．
13.定义向量 , 的一种新运算： × = sin ，其中 是向量 , 的夹角.已知 = 3, = 2, × =
3 2
2 ，则 cos2 = ．
14 1 2.在 中，已知 = + 3 3 ，则 tan 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 π中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 6， = 3．
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(1)若 = 2，求 sin 的值；
(2) 的面积等于 3，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,2), = ( 3, )．
→ →
(1)若 /\ !/ ，求 的值；
(2)若 ⊥ + 2 ，求实数 的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 的对边分别为 , , cos 1，且2 + = 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2, = 5，点 在边 上，且 是∠ 的平分线，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
已知向量 = 2 3, sin ， = cos2 , 2cos ，函数 ( ) = 3( > 0)， ( )相邻对称轴之间
π
的距离为2．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )单调递增区间和对称轴方程；
(3) 1 π将函数 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，再向左平移12个单位得 ( )的图象，若关于 的方程
( ) = 在 π12 ,
π
6 上只有一个解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
π
如图，在平面四边形 中，∠ = 2，若 是 上一点， = ，记∠ = ，∠ = ．
(1)证明：cos2 + sin = 0；
(2)若 = 3 ， = 3， = 1．
( )求 的值；
( )求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.14
14. 14 12 或2 14
3
15. 2×解：(1)在 sin 2中，由正弦定理 2sin = sin ，得 sin = = 6 = 2 ，
所以 sin 2的值是 2 ．
(2)由 1 3的面积等于 3，得 = 2 sin = 4 = 3，解得 = 4，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，得 2 + 2 = 6，即 2 + 2 = 10，
解得 = 2 2, = 2或 = 2, = 2 2，
所以 = 2或 = 2 2．
→
16. →解：(1)因为向量 = (1,2), = ( 3, )，且 /\ !/ ，
所以 1 × 2 × ( 3) = 0，解得 = 6，
所以 = ( 3)2 + ( 6)2 = 3 5．
(2)因为 + 2 = ( 5,2 + 2 )，且 ⊥ + 2 ，
所以 1 × ( 5) + 2 × (2 + 2 ) = 0 1，解得 = 4．
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(3)因为 与 的夹角是钝角，
则 < 0 且 与 不共线，
即 1 × ( 3) + 2 × < 0 且 ≠ 6，
< 3所以 2且 ≠ 6．
17.解：(1) cos 1由2 + = 2 ，得 2 cos = 2 + ，
解法一：由正弦定理得 2sin cos = 2sin + sin ，
又 中， + + = π，所以 = π ( + )，
所以 2sin cos = 2sin( + ) + sin ，
于是 2cos sin + sin = 0，
又 sin ≠ 0 1，所以 cos = 2，
2π
又 0 < < π，所以 = 3．
2+ 2 2
解法二：由余弦定理得 2 2 = 2 + ，
化简得 2 + 2 2 = ，
2 2 2
由余弦定理得 cos = + 2 =
1
2 = 2，
又 ∈ 0, π ，
2π
所以 = 3．
(2)由 是∠ 的平分线，得∠ = ∠ = π3，
1
sin∠ 5
解法一： = 2 1 = = = ， 2 sin∠ 2
又 = + ，
5 5 1
所以 = 7 = 7 × 2 sin∠
= 57 ×
1
2 × 2 × 5 ×
3 = 25 32 14 ．
解法二：由 = + 得
1
2 sin∠ =
1
2 sin∠ +
1
2 sin∠ ．
1 × 5 × 2 × 3 = 1即2 2 2 × 5 × ×
3
2 +
1
2 × 2 × ×
3
2 ，
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解得 = 107，
1
所以 = 2 sin∠ =
1
2 × 5 ×
10 × 3 = 25 37 2 14 ．
18.解：(1) ( ) = 3 = 2 3cos2 + 2sin cos 3，
= 3 1 + cos2 + sin2 3，
= 2sin 2 + π3 , > 0，
因为 ( ) π相邻的对称轴之间的距离为2，所以 ( )的最小正周期为π，
2π
所以2 = π，得 = 1，所以 ( ) = 2sin 2 +
π
3 ．
(2) π令 2 + 2 π ≤ 2 +
π ≤ π3 2 + 2 π, ∈ Z，
则 5π π12 + π ≤ ≤ 12 + π, ∈ Z，
所以 ( ) 5π π的单调递增区间为 12 + π, 12 + π , ∈ Z;
令 2 + π3 = π +
π π π
2 , ∈ Z，解得 = 2 + 12 , ∈ Z，
即 ( ) π π的对称轴方程为 = 2 + 12 , ∈ Z．
(3)由(1)知 ( ) = 2sin 2 + π 1 π3 ，将 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，得到函数 = 2sin 4 + 3 ，
π π π 2π
再向左平移12个单位得 ( ) = 2sin 4 + 12 + 3 = 2sin 4 + 3 ，
= 4 + 2π令 3 , ∈
π π π 4π
12 , 6 ，则 ∈ 3 , 3 ，
所以 2sin ∈ 3, 2 ，
因为 2sin = 在 ∈ π , 4π3 3 上只有一个解，
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由 = 2sin 的图象可得， 3 ≤ < 3或 = 2，
所以 的取值范围是 3, 3 ∪ 2
19.解：(1)因为 = ，所以∠ = ∠ = ，
在 中， + + 2 = ，可得 2 =

2 + ，

所以 cos2 = cos( 2 + ) = sin ，即 cos2 + sin = 0．
(2)( ) 在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
3
可得sin( ) = sin ，即 sin = 3sin ( )，
由(1)已证：cos2 + sin = 0，即 1 2sin2 + sin = 0，
将( )代入得，1 6sin2 + sin = 0，即 6sin2 sin 1 = 0，
1
解得 sin = 2或 sin =
1
3 (舍去)，
π
因为 ∈ (0, 2 )，所以 =

6．
( )在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
即 sin∠ = sin∠ ①，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 10 6cos∠ ②，
因为∠ = π2， =

6， = ，所以∠ =
π
3，所以 = 3 ③，
在 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
2
将①，②，③式依次代入即得： 2 = 3 + 9 2 3 cos(

2 + ∠ )
10
= 3 2cos∠ + 9 + 2 3 sin∠
37
= 3 + 2 3sin∠ 2cos∠
= 4sin(∠ ) + 376 3，
因为∠ ∈ (0, π) ∠ ∈ ( 5 ，所以 6 6 , 6 )，
结合正弦函数的图象可得，sin(∠ 6 ) ∈ (
1
2 , 1],
所以 2 ∈ ( 31 , 493 3 ]，即
93 7 3
的取值范围为( 3 , 3 ]．
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