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湖南省郴州市 2025 年高中学业水平合格性考试第二次监测
数学试卷
一、单选题：本题共 18 小题，每小题 5 分，共 90 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∣ 1 ≤ < 3}, = {0,1,2}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,2}
2.命题“ ∈ R, 2 + 1 > 0”的否定是( )
A. ∈ R, 2 + 1 ≤ 0 B. ∈ R, 2 + 1 ≤ 0
C. ∈ R, 2 + 1 < 0 D. ∈ R, 2 + 1 ≠ 0
3.下列函数中，是奇函数的是( )
A. = 2 + 1 B. = 1 C. = + 1 D. =
4.从 1，2，3，4 这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是( )
A. 13 B.
1 2 3
2 C. 3 D. 4
5.已知 i 为虚数单位，则复数 = 3 + i 对应的复平面上的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.函数 ( ) = log2( + 1)的图象经过的定点是( )
A. (0,1) B. (1,0) C. (0,0) D. (1,1)
7.函数 ( ) = log3 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知 ， 是实数，则“ > 1”是“ < ”是的( )
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9 1 4.已知正实数 ， 满足 = 100，则 + 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 15 5 2 D.
3
5
10.函数 ( ) = 1 2 + ln(3 )的定义域为( )
A. (2,3) B. ( ∞,3) C. (2, + ∞) D. ( ∞,2) ∪ (2,3)
11.已知球 内切于一个边长为 6 的正方体，则球 的表面积为( )
A. 9π B. 27π C. 36π D. 108π
12.下列不等式正确的是( )
A. log34 < 1 B. log
1
2 3 > 0 C. log25 > log 5 D. 2
0.6
3 < 0
13.函数 ( ) = ln( + e) 1 的零点是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
14.下列说法正确的是( )
A. 第一象限角一定是锐角 B.若 是钝角，则2是第一象限角
C.大于 90°的角一定是钝角 D.若 是锐角，则 2 是第二象限角
15.已知向量 = (1,2), = (2,2)，则 + 的值( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
16 cos2 π sin2 π. 6 6的值是( )
A. 1 B. 2 3 12 C. 2 D. 2
17 1 π.已知函数 ( ) = 4sin 2 + 3 的周期和振幅分别是( )
A. 2π，2 B. 2π，4 C. 4π，2 D. 4π，4
18.一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6.连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正
面朝上的数字，记事件 =“两次向上的数字都为 3”， =“两次向上的数字之和是 6”，则下列结论正
确的是( )
A.该试验的样本空间共有 36 个样本点 B.事件 与事件 互斥
C. ( ) = 112 D. ( ) =
1
6
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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1
19 1.计算：log39 + 2 = ．
20.已知 = 2 + ，则sin cos = ．
21.若事件 与 互斥，且 ( ) = 0.3, ( ) = 0.5，则 ( ∪ ) = ．
22.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2, = 2, = 45°，则角 = ．
三、解答题：本题共 3 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题 12 分)
如图，直四棱锥 内接于圆柱 ′， 为圆柱的母线，四边形 是底面的内接平行四边形， ，
分别是 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若四边形 为长方形，且 = 6, = 8, = 8，求圆柱 ′的表面积．
24.(本小题 12 分)
已知某班一共有 个学生，男生比女生多 9 人，采用分层抽样的方法从中抽取 5 名学生志愿者参加植树节活
动，若抽取的样本中男生有 3 人，女生有 2 人．
(1)该班一共有多少人？
(2)从抽取的 5 名学生志愿者中再随机抽取 2 名同学承担浇灌任务．设 为事件“抽取的 2 名同学均为男
生”，求事件 发生的概率．
25.(本小题 14 分)
2 1
已知函数 ( ) = 2 +1．
(1)证明：函数 ( )为奇函数；
(2)判断函数 ( )在 上的单调性，并用单调性定义证明；
(3) 1 1若不等式 2+2 ≤ (14 )恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.4
20.3
21.0.8/45
22.30°
23.【详解】(1)因为 ， 分别是 ， 的中点，可知 是 的中位线，则 /\ !/ ，
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又因为 /\ !/ ，则 /\ !/ ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为四边形 为长方形则 为底面圆的直径，且 = 2 + 2 = 10，
设 为圆柱 ′的底面圆半径， 为圆柱的高，则 = 5, = 8，
所以圆柱 ′的表面积 表 = 2π
2 + 2π = 50π + 80π = 130π．
24.【详解】(1)因为抽取 5 名同学中男生和女生的比例为 3: 2，
3 2
根据分层抽样的方法可知：该班中男生人数为5 ，女生人数为5
3 2
因为男生比女生多 9 人，所以5 5 = 9 人，
解得 = 45 人．
(2)由(1)知，设抽取的 3 名男生分别记为 ， ， ，
抽取的两名女生分别记为 ， 从抽取的 5 名同学中抽取 2 名同学的所有可能结果为：
{ , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }共 10 个．
为事件“抽取的 2 名同学均为男生”，则事件 包含的基本事件有：
{ , }, { , }, { , }，共 3 个基本事件，
∴事件 发生的概率 ( ) = 310．
25.【详解】(1)由题意可知： ( )的定义域为 ，
2 1 1 2
且 ( ) = 2 +1 = 1+2 = ( )，
所以 ( )是奇函数．
2 (2)因为 ( ) = 1 2 +1 2 22 +1 = 2 +1 = 1 2 +1，
设 1, 2 ∈ 且 1 < 2，
= 2 2 = 2 2
2+1 2 2 1+1 2 2 2 2 1
则 2 1 2 1+1 2 2+1 2 1+1 2 2+1 = 2 1+1 2 2+1 ，
因为 1 < 2，则2 2 > 2 1 > 0，可得2 2 2 1 > 0，2 1 + 1 > 0, 2 2 + 1 > 0，
则 2 1 > 0，即 2 > 1 ，
故 ( )在 上的单调递增．
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(3)由(2)知 ( )在 上的单调递增，且 (0) = 0
因为 2 + 2 ≥ (2) > 0，则原不等式等价于 2 + 2 ≥ (14 ) > 0，
即 2 + 2 ≥ 14 > 0，可得( + 4)( 3) ≥ 0 且 < 14，解得 ≤ 4 或 3 ≤ < 14
所以实数 的取值范围为： | ≤ 4或 3 ≤ < 14 ．
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