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2024-2025 学年江苏省盐城市五校联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算C2 + 2A27 5的值是( )
A. 41 B. 61 C. 62 D. 82
2.五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿
自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有( )
A. 40 种 B. 60 种 C. 125 种 D. 243 种
3.在研究线性回归模型时，样本数据 , ( = 1,2, …, )所对应的点均在直线 = 3 + 2 上，用 表示解释
变量对于反应变量变化的线性相关度，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
4.已知 ′(2025) = 1 lim (2025+2 ) (2025)，则
→0
=( )
A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
5.若平面 过点 (2,3,0)且该平面的一个法向量为 = (2,1,1)，则点 ( 4, 9,30)到平面 的距离为( )
A. 6 B. 2 33 C. 2 3 D. 2 6
6.现将 7 个不同的小球全部放入 3 个不同的盒子里，每个盒子至少放 2 个小球，则不同的放法共有( )
A. 210 种 B. 630 种 C. 1260 种 D. 1890 种
7.用数字 4、5、6、7、8 组成没有重复数字的三位数，在这个数能被 5 整除的条件下，它能被 3 整除的概
率为( )
A. 112 B.
1
6 C.
1 2
3 D. 3
8.设函数 ( ) = ( 1)( + ln ) ( ) ≥ 0 ，若 恒成立，则 的最大值为( )
A. 1 B. 1 1e C. e D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 服从正态分布 9, 2 , > 0 且 ( < ) = ( > )，则下列选项中一定正确的是( )
A. (2 + 1) = 19
B. + = 6
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C.若 ( ≥ 8) = 0.7，则 (8 ≤ < 10) = 0.4
D. ( ≥ 7 + 2 ) > ( ≤ 7 )
10.以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有( )
A.第 100 行中，从左到右看第 51 个数最大 B.第 150 行的所有数的和为2149
C. C + C +1 = C +1 3 3 +1 D. C3 + C4 + C35 + + C3 415 = C16
11.已知球 是棱长为 2 的正方体 1 1 1 1的外接球， 为球 的直径，点 为该正方体表面上的
一动点，则下列说法中正确的是( )
A.当 为 1 1中点时，直线
10
1与 1 所成角的余弦值为 5
B. 4当三棱锥 1 1 的体积为3时，点 轨迹的长度为 2
C. 的最小值为 2
D. 1的最大值为 4 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 的一个方向向量为 = ( 3,2, 1)，平面 的一个法向量为 = ( , + 1,9)，若 // ，则
= ．
13.某电影院要在一天的 、 、 、 、 五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探 1900》、
《误杀 3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等 6 部电影中的一
部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若 时段不安排《哪吒之魔童闹海》， 时段不安排《长
空之王》，那么共有 种安排方式. (答案用数字表示)
14.定义：设 ， 是离散型随机变量，则 在给定事件 = 条件下的 阶矩定义为 | = = =1
= = , = | = = =1 ( = ) ，其中 1, 2, , 为 的所有可能取值集合， ( = , = )表示事
件“ = ”与事件“ = ”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均
4
为5，击中目标两次时停止射击.设 表示第一次击中目标时的射击次数， 表示第二次击中目标时的射击次数，
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则 ( = 3, = 4) = ， 2| = 5 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
有 8 只不同的试验产品，其中有 3 只不合格品、5 只合格品.现每次取 1 只测试，直到 3 只不合格品全部测
出为止．
(1)求最后 1 只不合格品正好在第 3 次测试时被发现的不同情形有多少种？
(2)求最后 1 只不合格品正好在第 4 次测试时被发现的不同情形有多少种？
16.(本小题 15 分)
如图，长方体 1 1 1 1底面是边长为 2 的正方形，高为 6， 为线段 的中点， 为线段 1的中
点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
1
已知 3 + ∈
的展开式的第 2 项与第 4 项的二项式系数之比是 1: 57．
(1)求 的值；
(2)展开式中的整式项共有几项？
(3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？
18.(本小题 17 分)
2025 年 4 月 24 日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，
其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示(单位：人)，已知从被访谈的同学中随机抽取 1 人，
1
抽到看现场直播的女同学的概率为6．
看现场直播 未看现场直播
男同学 1.5
女同学 150 250
(1)求 的值；
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(2)是否有 99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？
(3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取 9 人，再从这 9 人
中随机抽取 2 人，记这 2 人中女同学的人数为 ，求 的分布列以及 ( )．
2
参考公式： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )．
参考数据：
2 ≥ 0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
19.(本小题 17 分)
函数 ( ) = + ln , ∈ R．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2) ( ) e当 = 1 时，解方程 = e ；
(3)当 ≥ 1 时，不等式 ( ) ≥ (1 + ln )2恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13.504
14. 16625或 0.0256；
15.解：(1)最后 1 只不合格品正好在第 3 次测试时被发现，即 3 次都取到不合格产品，所以不同情形有A33 =
6 种；
(2)最后 1 只不合格品正好在第 4 次测试时被发现，即前 3 次取得 2 个不合格产品，1 个合格产品，所以不
同情形有 2C1A33 5 3 = 90 种.
16.解：(1)连接 1，与 1必交于 ，且 也是 1的中点，连接 1，
在 1中 // 1，又 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1；
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(2)由(1) // 1，则直线 与平面 1 所成角，即为直线 1与平面 1 所成角，
由 ⊥平面 1 1， 平面 1 ，故平面 1 ⊥平面 1 1，且 1 平面 1 1，
又平面 1 ∩平面 1 1 = 1 ，所以直线 1在平面 1 上的投影为直线 1 ，
所以直线 1与直线 1 所成角，即为直线 1与平面 1 所成角，如图∠ 或其补角，
1 3
在矩形 1 1中 = 2, 1 = 6，且∠ = 2∠ 1 ，而 sin∠ 1 = 10，cos∠ 1 = 10，
3
所以 sin∠ = 2sin∠ 1 cos∠ 1 = 5．
17. (1) C1: C3 = 1: 57 ( 1)( 2)解： 由题设 ，则 6 = 57，
整理得 2 3 340 = 0，故 = 20(负值舍)．
(2) (1) 3 + 1
20 3
由 知二项式为 ，展开式通项为 = C (3 )20 ( 1 ) = 320 +1 20 C
20 2 20 ， = 0,1, , 20，
所以 = 0,2,4,6,8,10,12 时， +1均为整式项，共有 7 项；
(3) +2 = 3
19 C +1
由 20 = 20 1 21 +1 320 C 20 3( +1)
= 3 ( +1 1)在 ∈ {0,1, , 19}上单调递减，
当 = 4 时 6 = 16 15 5 15 > 1，当 = 5 时
7
= 18 =5 6 6
< 1，则 < 5 < 6 > 7 > ，
故 20 +1在 ∈ {0,1, , 20}上先增后减，且 1 = 3 > 21 = 1，
故系数最大项为第 6 项，系数最小项为第 21 项．
18.解：(1) 150 1由题设1.5 + +150+250 = 6，可得 = 200；
(2)由(1)得列联表如下：
看现场直播 未看现场直播
300
男同学 200 500
女同学 150 250 400
450 450 900
2 = 900×(300×250 150×200)
2
450×450×400×500 = 45 > 10.828，
所以有 99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关；
(3)由题设及列联表知，抽取的 9 人中有 3 名女同学、6 名男同学，
从 9 人任取 2 人，抽到女同学的人数 = 0,1,2，
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2 1
( = 0) = C6 = 5 ( = 1) = C3C
1 2
则 ， 62 12 2 =
1
2， ( = 2) =
C3 = 1，
C9 C9 C
2
9 12
所以 的分布列如下，

0 1 2
5 1 1
12 2 12
( ) = 0 × 512+ 1 ×
1
2 + 2 ×
1
12 =
2
3．
19.解：(1) 由题设 ′( ) = 1 + 且 > 0，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，即 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 < 0 时，
若 0 < < ， ′( ) < 0，即 ( )在(0, )上单调递减，
若 > ， ′( ) > 0，即 ( )在( , + ∞)上单调递增，
综上， ≥ 0 时 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
< 0 时 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增；
(2)由题设 ( ) = ln ( )，则 =
e ln
e ，故 1 = e
1 ，即 e1 + ln = 0，
令 ( ) = e1 + ln 且 > 0，则 ′( ) = (1 )e1 + 1 1 1 1 = (1 )(e + )，
当 0 < < 1， ′( ) > 0，即 ( )在(0,1)上单调递增，
当 > 1， ′( ) < 0，即 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
又 (1) = e0 + ln1 1 = 0，即 ( ) ≥ 0，当且仅当 = 1 取等号，
所以 e1 + ln = 0 ( ) e的解为 = 1，即 = e 的解为 = 1．
(3)由 ( ) = + ln ≥ (1 + ln )2且 ≥ 1，令 = ln ≥ 0，则e + ≥ (1 + )2，
当 = 0 时，e + = 1 = (1 + )2，此时 ∈ ，满足题设；
> 0 2 ≤ e

1当 时， 恒成立，
2
令 ( ) = e 1 ′ e ( 1)+1 ，则 ( ) = 2 ，
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令 ( ) = e ( 1) + 1 2，则 ′( ) = (e 2)，
0 < < ln2 时， ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)上单调递减，
> ln2 时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增，且 (0) = (1) = 0，
故 0 < < 1 时 ( ) < 0，即 ′( ) < 0， > 1 时 ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，故 ( ) ≥ (1) = e 2，
所以 2 ≤ e 2，即 ≥ 4 e，
综上， ≥ 4 e．
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