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2024-2025学年黑龙江省多校联考高二下学期 5月阶段测试(四)
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 2 < 0}， = { | = log3(2 2)}，则 ∩ =( )
A. { | 1 < < 2} B. { |1 < < 2} C. { |1 ≤ < 2} D. { |0 ≤ < 2}
2.已知集合 = |2 ≤ 1, ∈ R ， = , 1 ，若 ∩ ≠ ，则实数 的取值范围是( )
A. < 1 B. ≤ 1 C. ≥ 0 D. ≤ 0
3.已知集合 满足{ 1,1} { 4, 1,1,2}，则不同的 的个数为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4.已知命题 : ∈ ，| | ≥ 0，命题 : > 0， 3 = ，则( )
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
5.已知命题 ： < 0， + 3 > 2 ，则￢ 是( )
A. < 0， + 3 > 2 B. ≥ 0， + 3 > 2
C. < 0， + 3 ≤ 2 D. ≥ 0， + 3 ≤ 2
6.已知三个不等式：① > ；② 2 < 2；③e < 1，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可
以组成的真命题的个数有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
7.设 > > 0， ∈ ，则下列不等式中不一定成立的是( )
1 1
A. 1 1 +2 2 < 2 B. > C. > D. 2 2 +2 <
8.已知 , > 0，且 = + + 54，则下列关系正确的是( )
A. + ≥ 5 B. + ≤ 1 C. ≥ 10 D. ≤ 12
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合 = | 2 1 =
0 ， = 12 , 1 ，若集合 与 “相交”，则 等于( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
10.下列说法正确的是( )
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A.命题“ ∈ ， 20 0 ≤ 2”的否定是“ ∈ ， 2 > 2”
B.存在 0 ∈ ，使得 2 20 + 0 + 1 = 0 是真命题
C.若命题“ 2 10 ∈ ，4 0 + 2 0 + = 0”为假命题，则实数 的取值范围是( 4 , + ∞)
D.已知集合 = {0,1,3,4}，则满足条件 ∪ = 的集合 的个数为 15
11.下列有关最值的结论中，正确的是( )
A. < 2 = + 1已知 ，则函数 +2的最大值为 0
B.已知 > 0，2 + 3 = 4 ，则 6 + 的最小值为 8
C.已知 , ∈ (0, + ∞)， 2 + 2 = 4，则 + 的最大值为 4
2 2 2
D. 1+2 1已知 ， 为实数，则 2 的最大值为
1+2 2 8
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若命题“ > 0， ≤ + 2 ”是真命题，则实数 的取值范围是 ．
13.已知集合 = { |4 + 5 > 2}， = { | 2 + + ≤ 0}，若 ∩ = ， ∪ = ( 1,6]，则 + = ．
14.已知 : 2 + log2 ≤ 2, : < ，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集为 R，集合 = | 1 ≤ ≤ 2 1 ，集合 = | 2 + 6 < 0 ．
(1)若 = 2，求 ∪ ， ∩ ( R )；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + + 1，设 : ( )在( ∞,1]上单调递增，在[2, + ∞)上单调递减； : 3 ≤ ≤ 2 ．
(1)若 成立，求 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使
用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 8 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 ( )(单位：万元)
与隔热层厚度 (单位：cm) 20满足关系： ( ) = 2 +3 (0 ≤ ≤ 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 3
万元，设 ( )为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
(1)求 的值及 ( )表达式；
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(2)隔热层修建多厚时，总费用 ( )达到最小，并求最小值．
18.(本小题 17 分)
某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进
行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本 280 万元，每生产 (千个)电子仪
10 2 + 200 (0 < < 50, ∈ )
器，需另投入成本 ( )万元，且 ( ) = 假设每千个电子仪器售价定为
801 + 10000 9450( ≥ 50, ∈ )
800 万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
(1)求出全年的利润 ( )(万元)关于年产量 (千个)的函数关系式(利润=销售额 成本) ;
(2)当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大 最大利润是多少万元
19.(本小题 17 分)
1 2 1 2 1 2 2
问题：正数 ， 满足 + = 1，求 + 的最小值，其中一种解法是： + = + ( + ) = 1 + + + 2 ≥
3 + 2 2 2 ，当且仅当 = ，且 + = 1 时，即 = 2 1 且 = 2 2时取等号，学习上述解法并解决
下列问题；
(1)若正实数 ， 满足 4 = 0，求 + 的最小值；
2 2
(2) 若正实数 ， ， ， 满足 2 2 = 1，且 > ，试比较
2 2和( )2的大小，并说明理由；
(3)利用(2)的结论，求代数式 = 3 5 2的最小值，并求出使得 取得最小值时 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∞,2 2
13.19
14.(1, + ∞)
15【. 详解】(1)解不等式 2 + 6 < 0，得 3 < < 2，则 = { | 3 < < 2}， R = { | ≤ 3 或 ≥ 2}，
当 = 2 时， = { |1 ≤ ≤ 3}，所以 ∪ = { | 3 < ≤ 3}， ∩ ( R ) = { |2 ≤ ≤ 3}．
(2)由 ∪ = ，得 ，而 = { | 3 < < 2}，
当 = 时， 1 > 2 1，解得 < 0，此时满足 ，因此 < 0；
当 ≠ 时， 3 < 1 ≤ 2 1 < 2 3，解得 0 ≤ < 2，
3
所以实数 的取值范围是 < 2．
16.【详解】(1)因为二次函数 ( ) = 2 2 + + 1 的对称轴为 = 4，
若 成立，即 ( )在( ∞,1]上单调递增，在[2, + ∞)上单调递减，
所以 1 ≤ 4 ≤ 2，解得 4 ≤ ≤ 8，即 的取值范围为[4,8]；
(2)因为 : 4 ≤ ≤ 8， : 3 ≤ ≤ 2 ，
又 是 的充分不必要条件，
所以[4,8]真包含于[ 3,2 ]，
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3 ≤ 4
所以 2 ≥ 8 (等号不同时成立)，解得 4 ≤ ≤ 7，
经检验，当 = 4 或 = 7 时， 4 ≤ ≤ 8 ≠ 3 ≤ ≤ 2 ，
所以 的取值范围为[4,7]．
17.【详解】(1)依题意，当 = 0 时， (0) = 20 3，即3 =
20
3，解得 = 20，
∴ ( ) = 8 + 20 20 4002 +3 = 8 + 2 +3 (0 ≤ ≤ 10)．
(2) ( ) = 8 + 4002 +3 = 4(2 + 3) +
400
2 +3 12 ≥ 2 4(2 + 3)
400
2 +3 12 = 80 12 = 68．
400 7
当且仅当 4(2 + 3) = 2 +3，即 = 2时“=”成立．
7
答：隔热层修建2厘米时，总费用 ( )达到最小，最小值为 68 万元．
18.解：(1)当 0 < < 50 时， ( ) = 800 (10 2 + 200 ) 280 = 10 2 + 600 280，
当 50 时，
( ) = 800 (801 + 10000 9450) 280 = ( +
10000
) + 9170，
10 2 + 600 280(0 < < 50, ∈ )
∴ ( ) =
( + 10000
；
) + 9170 50 ∈
(2)当 0 < < 50 时， ( ) = 10( 30)2 + 8720，
当 = 30 时， ( )max = 8720 万元；
50 ( ) = ( + 10000当 时， ) + 9170 2
10000
+ 9170 = 8970，
= 10000当且仅当 时，即 = 100 时， ( )max = 8970 万元；
因为 8970 > 8720，
所以全年产量为 100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是 8970 万元．
19. 1 4【详解】(1)若正实数 ， 满足 4 = 0，即 > 0, > 0, + = 1，
+ = ( + )( 1+ 4 ) = 5 + 4 + 4 所以 ≥ 5+ 2 = 9，
4
当且仅当 = ，即 = 3, = 6 时取等号，
所以 + 的最小值是 9．
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2 2
(2) ∵ 正实数 ， ， ， 满足 2 2 = 1，且 > ，
2 2 2 2 2 2
∴ 2 2 = ( 2 2)( 2
2 2
2 ) = + ( 2 + 2 )，
2 2 +
2 2 2 2 2 2
又 2 2 ≥ 2

2 2 = 2 ，
2 2 2 2 2 2
当且仅当 2 =
2 1 2 1
2 且 2 2 = 1，即 = 2 2, = 2 2时等号成立，
2 2 2 2
所以 2 + 2 ( 2 2 2 2 + 2 ) ≤ + 2 = ( ) ，
1 1
所以 2 2 ≤ ( )2，当且仅当 = 2 , = 2 2 2 2 2时等号成立．
2 2
(3) (2) 由 的结论可知，若正实数 ， ， ， 满足 2 2 = 1，且 > ，
则 2 2 ≤ ( )2 1 1，当且仅当 = 2 2 2 2, = 2 2时等号成立．
要使 = 3 5 2有意义，需满足 3 5 ≥ 0 且 2 ≥ 0，解得 ≥ 2，
则 3 5 ( 2) = 2 3 ≥ 2 × 2 3 = 1 > 0，即 3 5 > 2，
所以 = 3 5 2 > 0．
2 2
令 = 3 5, = 2，所以 2 3 2 = 1 ，即 21 1 = 1，此时 = 1,
2 = 13，
3
所以，由 2 2 ≤ ( )2可得
2 2
2
= 1 13 ≤ ( )
2 = 3 5 2 = 2，即 2 ≥ 23，
∵ > 0 2 6，∴ ≥ 3 = 3 ，
1 1 6 1 1 1 6
当且仅当 = 2 2 2 2 = 1 1
= 2 , = 2 2 = 3 =1 1 6
时等号成立．
3 3
= 2 = 6 13由 6 ，得 = 6，
所以当 = 13 66时， 取得最小值 3 ．
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