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2024-2025 学年江苏省盐城市五校高一下学期 5 月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + 等于( )
A. B. C. D.
2 = 1+i.若复数 满足1+3i 1 i (i 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 3+ i B. i C. 3 D. 1
3.在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 = 3，2 + 2 = 3 ，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 93 D. 2
4.下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.和两条异面直线都相交的两条直线必定是异面直线
C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D.以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
5.已知 sin( ) = 15，tan = 2tan ，则 sin( + ) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 35 5 5 5
6 . 2sin2 = .在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 若 2 ，则该三角形一定是( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
7 1.设 = 2 cos7°
3 sin7° = 2tan12° = 1 cos50°2 ， 1+tan212°， 2 ，则有( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
8.如图，“六芒星”是由两个边长为 6 正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行，点 ， 是“六
芒星”(如图)的两个顶点，动点 在“六芒星”上(内部以及边界)，则 的取值范围是( )
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A. [ 8,8] B. [ 6,6] C. 6 3, 6 3 D. 4,4 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数 1， 2，其共轭复数分别为 1， 2，则下列选项正确的是( )
A. 1 + 2 21 ∈ R B. 2 = 2 C. 1 + 2 = 1 + 2 D. 1 2 = 1 2
10.已知 = = 2， 与 π夹角为 ，若 3 = 2 且
= + ≥ 0, ≥ 0 ，则下列说法
正确的是( )
A.当 = 0 时， 在 3上的投影向量为 2
B.当 = 时， = 0
C.当 = 1 13 12时， = 4
D. 的最大值为 0
11.在锐角 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 + = 2 cos .则下列说法正确的是( )
A. = 2
B.角 π的范围是 0, 4
C.若∠ 的平分线交 于 3 1 1 4， = 2，sin = 5，则 + = 5
D. 2 2 3 的取值范围是 2 , 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = 1,2 ， = 3, ， = 1,2 ，若 ， ， 三点共线，则 = ．
13 ∈ 0, π ∈ 0, π tan( ) = 1 cos = 7 2.已知 2 ， ，且 2， 10 ，(1)tan = ；(2)2 = ．
14.如图，在四边形 中，∠ = 120°，∠ = 30°， ⊥ ， = 2 3 ， ， 的面
积分别为 1， 2，则
1
= ．2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(1)已知 ∈ ，若 = + i 2 + i 为纯虚数，求 的值．
(2)设复数 1 = 2 i ∈ R ， 2 = 1 + i.

若 11 + 2是实数，求 ；2
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(3)已知复数 满足 + = 8 + 4i，求 ．
16.已知三棱锥 满足 = = = = = 2， = 32 ．
(1)证明：直线 与直线 是异面直线；
(2)若 为 的中点， 为 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
17.在直角梯形 中， // ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 4，点 是 边上的中点．
(1)若点 满足 = 2 ，且 = + ，求 6 + 的值；
(2)若点 是线段 上的动点(含端点)，求 的取值范围．
18.在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3tan 1 3tan 1 = 4
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2，求 的取值范围；
(3)若点 为 所在平面内一点，且满足 + = + = 0.求sin2∠ cos2∠
的取值范围．
19.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图， 为透视中心，平面内四个点 ，

， ， 经过中心投影之后的投影点分别为 ， ， ， .对于四个有序点 ， ， ， ，定义比值 = 叫

做这四个有序点的交比，记作( )．
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(1)若点 、 分别是线段 、 的中点，求( );
(2)证明：( ) = ( );
(3)已知( ) = 32，点 为线段 的中点， = 3 = 3
sin∠ 3
，sin∠ = 2，求 cosA.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 29
13.1 3π3 ； 4
14. 56
15.解：(1)因为 = ( + i)( 2 + i) = 2 + 2i 2i + i2 = 3 + 2 2 i 为纯虚数，
所以 3 = 0 且 2 2 ≠ 0，解得 = 0；
(2)因为 1 = 2 i ∈ R ， 2 = 1 + i，
所以 1 + 2 = 3 + (1 )i，又∵ 1 + 2是实数，
∴ 1 = 0，即 = 1，则 1 = 2 i，
1 = 2 i = 2 i 1 i = 1 3i所以 2 1+i 1+i 1 i 2
；
(3)因为 ∈ R，且 + = 8 + 4i，因此可设 = + 4i, ∈ R，
则 = 4i, ∈ R，
由题意可得 + 4i + 2 + ( 4)2 = 8 + 4i，所以 + 2 + 16 = 8，
解得 = 3，即 = 3 + 4i．
16.解：(1)因为直线 平面 ，点 ∈平面 ，
点 ，点 平面 ，所以直线 与直线 是异面直线．
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(2)如图：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 // ， // ，
所以异面直线 与 所成角∠ (或其补角)，
因为 = = = = = 2，所以 = 1， = 1，
在 3中， = 3, = 3, = 2 ，则 ⊥ ，
2 3 45 45
所以 = 2 = 3 22 16 = 16，即 = 16，
2 2 45
cos∠ = +
2 1+1 13
在 中由余弦定理得 = 162 2×1×1 = 32，
π 13
因为异面直线所成角范围为 0, 2 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为32．
17.解：(1)由 = + = 1 + 1 = 1 + 1 ( + + ) = 1 + 1 ( 1 3 2 6 2 6 2 2 ) =
5 12
1
2 ，
又 = + 5 1，即 = 12 , = 2，故 6 + = 2；
(2)如下图，令 = = ( + ) = ( + 1 2 )且 0 ≤ ≤ 1，
= ( + 1 + 1 + 1 ) = 3 + 2 2 2 4 2
，
= + = ( 34
+ 1 ) = 3 + ( 1) 2 4 2 ，
所以 = ( 3 + ) [ 3 + ( 1)
2
] = 9
2
+ 3
2
4 2 4 2 16 4 ( 1)
+ ( 2 2 1)
= 9 2 +
( 2) = 10( 1 2 110 ) 10，
所以 ∈ [ 110 , 8]．
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18.解：(1)因为 3tan 1 3tan 1 = 4，即 3tan tan 3 tan + tan = 3，
tan +tan
整理可得1 tan tan = 3，即 tan( + ) = 3，
在 中，tan( + ) = tan ，故 tan = 3，
又 π为锐角三角形，故 = 3．
(2)因为 = π3，可得 sin = sin π ( + ) = sin( + ) = sin +
π
3 ，
2
由正弦定理sin = sin ， = 2，即sin = ，sin +π3
则 = 2sin π =
2sin
，
sin + 13 2sin +
3
2 cos
π
又 ∈ 0, 2 ，故 sin ≠ 0，则 =
4
；
1+ 3tan
0 < < π2 π π
由 为锐角三角形可得：
0 < = 2π
，可得 < < ，
3 <
π 6 2
2
所以 tan ∈ 33 , + ∞
3
，则tan ∈ (0,3)，则 ∈ (1,4)．
(3)因为 + = + = 0，
所以 + = + = 0，
2 2 2 2
所以 = ， = ，即 = = ，
所以 为 的外心，
所以∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
所以sin2∠ cos2∠ = sin22∠ cos22∠
2π
= sin22∠ cos22 3 ∠
4π
= sin22∠ cos2 3 2∠
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2
= sin2
π π
2∠ cos 3 cos2∠ + sin 3 sin2∠
1 3 2
= sin22∠ 2 cos2∠ + 2 sin2∠
= sin2
1 3 3
2∠ 4 cos
22∠ + 2 sin2∠ cos2∠ + 4 sin
22∠
1 1 3
= 4 sin
22∠ 24 cos 2∠ 2 sin2∠ cos2∠
3 1
= 4 sin4∠ 4 cos4∠
1 3 1
= 2 2 sin4∠ + 2 cos4∠
= 12 sin 4∠ +
π
6 ，
π π 5π π 13π
由(2)同理可得6 < ∠ < 2，则 6 < 4∠ + 6 < 6 ，
所以 1 ≤ sin 4∠ + π6 <
1
2，
所以sin2∠ cos2∠ ∈ 1 14 , 2 ．
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19. (1) = 3 解： 由已知 1， = 2，
3
所以( ) = 2；
(2)由题意，
在△ ，△ ，△ ，△ 中，
1
= △ 2
sin∠
= = sin∠ ，△ 12 sin∠ sin∠
1
△ 2 ∠ = = = ∠ ，△ 12 ∠ ∠

则( ) = = sin∠ sin∠ = sin∠ sin∠ sin∠ sin∠ sin∠ sin∠ ①，

在△ ，△ ，△ ，△ 中，
1
△ 2 ∠ ∠
= = 1 = ，△ ∠ ∠ 2
1
△ 2 sin∠ sin∠
= =△ 1
= ，
2 sin∠ sin∠

( ) = = ∠ ∠ ∠ ∠ 则 ∠ = ②， ∠ ∠ ∠

又∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
由 ① ②可得，
sin∠ sin∠ sin∠ sin∠
sin∠ sin∠ = sin∠ sin∠ ，
即( ) = ( )；
(3)由题意( ) = 3 32，由(1)可知，( ) = 2，

则
3 3
= 2，即 ． = 2，

又点 为线段 的中点，即 =
1
2，

故 = 3，
又 = 3，则 = 2， = 1，
设 = ， = ，且 = 3，
由∠ = ∠ 可知，
cos∠ + cos∠ = 0，
22+( 3)2 2 12+( 3)2 2
即 2×2× 3 + 2×1× 3 = 0，
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解得 2 + 2 2 = 15 ③，
又在△ 中，利用正弦定理可知，sin∠ = sin∠ ④，
△ 在 中，利用正弦定理可知，sin∠ = sin∠ ⑤，
且 sin∠ = sin∠ ，
④
则 可得，
⑤
= sin∠ 3 2 sin∠ = 2 3 = 3，即 = 3 ⑥，
由 ③ ⑥解得， = 3， = 3，即 = 3， = 3，
cos =
2+ 2 2 32+22 ( 3)2 5
则 2 = 2×3×2 = 6．
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