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2024-2025学年河北省承德市部分学校高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
2.已知函数的图象关于点对称，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为．
A. B. C. D.
5.如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是( )
A. 为定值 B. 不为定值，有最大值
C. 为定值 D. 不为定值，有最小值
6.在中，内角，，的对边分别为，，若，，则一定是( )
A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
7.已知函数，则下列命题中错误的是( )
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 若在上恰有个零点，则的取值范围是
C. 若在上的值域为，则的取值范围是
D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是
8.函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的是( )
A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C. 平行六面体是一种特殊的斜四棱柱
D. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出的它的直观图恰好是一个边长为的等边三角形，则原平面图形的面积是
10.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若点是的重心，则
B. 若，则点是的垂心
C. 若点是的垂心，则
D. 若为的外心，为的垂心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值是 ．
13.当时，不等式成立，则的取值范围是 ．
14.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，．
以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
求该三棱柱的外接球的表面积．
16.本小题分
若，，求的值．
已知，，，求的值．
17.本小题分
如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线．
用、表示；
求的值．
18.本小题分
已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为．
求的解析式；
求函数的单调递增区间和的图象的对称轴方程；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的大小；
若，，求外接圆的半径；
若点在线段上，，，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为底面三角形的三边长分别为，，，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为，，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，
所以．
设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积．
所以剩余部分几何体的体积．
由可知，直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体，
它的外接球的半径满足，即．
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为

16.解：由，，
可得，
故，
即，解得．
因为，所以又．
所以．
因为，，
所以．
所以
．

17.解：因为，则，
所以，
因为为的中点，故．
因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则
所以，故．

18.解：，
，
，，
因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，
所以．
令．
则，
所以的单调递增区间为；
令，解得，
即的图象的对称轴方程为．
由知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，
再向左平移个单位得的图象．
令，，则，
所以，
因为在上只有一个解，
由的图象如图可得，或，
所以的取值范围是．

19.解：【】
在中，由及正弦定理，
得，
则，
整理得，
而，则，
两边平方得，
又，所以，，
于是，解得，
所以．
【】
由知，由余弦定理得
，
而，，
则，解得，
所以，
所以外接圆的半径为．
【】
由知，由，则，
由，，则，
则，即，
因此，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．

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