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内蒙古自治区高等职业院校
对口招收中等职业学校毕业生单独考试
数学模拟试卷（十五）
注意事项：1．本试卷共4页，满分150分．
2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案）
1．已知集合，则集合中元素的个数有（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据集合的描述法求解元素个数即可.
【详解】集合，则集合中，
元素相同的有、、，
元素不同的有、、，一共6个.
故选：C.
2．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质以及函数定义域的概念解题即可.
【详解】由题意得，在上恒成立，
即，
∴.
故选：D.
3．若幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将点代入解析式即可求.
【详解】由已知可得，解得，
故选：C.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两角差的正切公式运算即可.
【详解】已知，
则.
故选：B.
5．已知平面向量，与垂直，则是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算以及向量垂直于数量积的关系求解即可.
故选：C.
6．等比数列的各项都是正数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比中项的性质，结合题意即可求解.
【详解】因为等比数列的各项都是正数，
所以根据等比数列的性质得到.
故选：B.
7．若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】由已知得圆锥得母线长为，
于是侧面积.
故选：C.
8．下列说法中可以判断直线平面的是（ ）
A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直
C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定定理即可得解.
【详解】若直线垂直平面内两条相交直线，则该直线与此平面垂直，
A 中，直线l与平面内的一条直线垂直，不正确；
B中，直线l与平面内的两条直线垂直，这两条直线可能平行，不正确；
C符合线面垂直的判定定理，正确；
D中，直线l与平面内的无数条直线垂直，这无数条直线可能平行，不正确，
故选：C．
9．若，则方程有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据方程有实根，得到，由此得到符合要求的取值的数量，再根据古典概型概率公式即可求解.
【详解】因为方程有实根，
所以，即，
因为则一共可以得到种不同情况，
且其中方程有实根有
；；；；；；共种情况，
所以根据古典概型概率公式得所求概率为.
故选：C.
10．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【答案】A
【分析】根据线面平行判定定理，证明平面和平面，再由面面平行判定定理证明平面平面即可求解.
【详解】因为分别是的中点，
且在长方体中且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
同理，平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面.
故选：A.
11．过直线与轴的交点，且平行于的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出直线交点，由平行关系可设直线的方程为，代点可得值，可得直线方程．
【详解】由题意得直线与轴的交点为，
可设平行于的直线方程为，将代入解得.
所以所求的直线方程为.
故选：B.
12．双曲线（，）的一条渐近线为，则其离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】由渐近线方程得出，再结合离心率公式求解即可.
【详解】因为双曲线（，）的一条渐近线为，
所以，
所以离心率为.
故选：B.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上）
13．化简 ．
【答案】
【分析】逆用二倍角的余弦公式求值即可.
【详解】.
故答案为：.
14．已知点，向量，则向量 ．
【答案】
【分析】利用向量运算的坐标表示即可得解.
【详解】设点，因为点，向量，
即，解得，
所以点，因为，则
故答案为：.
15．已知是等差数列，，且，则 ．
【答案】27
【分析】由是等差数列以及题目条件求出首项和公差即可求解.
【详解】因为是等差数列，又，故①，又有，即②.结合①式②式得，.故.
故答案为：27.
16．若正四棱锥的每条棱都是4cm，则其表面积为 .
【答案】
【分析】由正棱锥的特征，求出正四棱锥的侧面积和底面积易求出正四棱锥的表面积.
【详解】因为正四棱锥的每条棱都是，
所以正四棱锥的侧面都是正三角形和底面为正方形，
所以正四棱锥的侧面的底长为，
所以正四棱锥的侧面的斜高为，
所以正四棱锥的侧面积为，
正四棱锥的底面积为，
所以正四棱锥的表面积为
故答案为：.
17．若点在直线上，则 ．
【答案】
【分析】将点代入直线方程即可求.
【详解】依题意，，
解得，
故答案为：．
18．若方程表示一个圆，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据圆的一般式方程中列式求解即可.
【详解】由方程可得：可得：，
则的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上）
19．在中，已知，，
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知由正弦定理即可解得.
（2）根据余弦定理和三角形面积公式即可解得.
【详解】（1）由题，由正弦定理得：
，
解得.
（2）由余弦定理，
即，
，
解得或（舍去），
故.
20．已知，，
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由向量模的坐标表示求出，再由向量内积的定义计算即可得解；
（2）由向量垂直及向量内积的运算性质即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以=)=-5
（2）因为，
所以，即，
故，解得.
21．已知数列的前项和为，且满足和（其中）.
(1)求数列的前四项；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)1，2，4，8
(2)
【分析】（1）利用得到，证明数列为公比为2得等比数列，然后可求；
（2）利用等比数列通项公式可求.
【详解】（1）由①，
用去替换上式中的，
得②，
①—②得，，
所以数列为公比为2得等比数列，又因为，
所以：，，，
所以数列的前四项为：1，2，4，8；
（2）由（1）知，数列为首项为，公比为2得等比数列，
.
22．已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线段比例关系得到四边形为平行四边形，所以，进而证明出线面平行；
（2）作出辅助线，证明出线面垂直，得到线线垂直，找到就是二面角的平面角，再由线段之间的关系得到二面角的正切值.
【详解】（1）证明：因为，所以，
又为的中点，所以，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，，

因为三棱柱是正三棱柱且，故⊥，
因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，，
因为，所以为等腰直角三角形，故，
所以⊥，又，所以⊥，
又因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，，
所以就是二面角的平面角，
因为，，所以，
即二面角的正切值为.
23．已知圆经过原点且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若点在圆上运动，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设定圆的方程，根据圆上的两点坐标，以及，求得圆心坐标和半径，即可求解.
（2）解法一：设直线，其与圆有公共点，根据圆心到直线的距离，得到的取值范围，即可求解.
解法二：可设，由三角恒等变换求出的最大值，令大于等于的最大值即可.
【详解】（1）设圆的方程为（），圆心，
圆过点，点，
且圆与直线相切于点，即，
又直线的斜率，故，
可得，解得，
∴圆的方程为；
（2）解法一：在圆上运动，设，
则直线与圆有公共点，
∴圆心到直线的距离，即，
解得： ，
∵点在圆上运动，要使不等式恒成立，
则，∴的取值范围是；
解法二：由题意，设，，
则，.
其中，，
∵点在圆上运动，要使不等式恒成立，
则，
∴当时，，
∴的取值范围是.
24．已知椭圆的焦点，经过左焦点，且倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长；
(3)若设弦AB的中点为M，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆的标准方程求得，得出焦点坐标，结合直线的点斜式方程，斜率公式即可求解.
（2）根据题意设，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，弦长公式即可求解.
（3）根据（2）可得，，代入直线方程，求得的值，结合中点坐标公式，三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）椭圆的焦点，
椭圆焦点在轴上，则，，所以.
故焦点的坐标为.
因为直线的倾斜角为，所以斜率.
由点斜式可得直线AB的方程为，即.
（2）由题意设，.
联立方程组，代入消元得.
由韦达定理得，.
则弦长.
（3）设，.
代入直线方程可得，.
因为弦AB的中点为M，
则点为，又，
所以的面积为.内蒙古自治区高等职业院校
对口招收中等职业学校毕业生单独考试
数学模拟试卷（十五）
注意事项：1．本试卷共4页，满分150分．
2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案）
1．已知集合，则集合中元素的个数有（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
2．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．若幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，与垂直，则是（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．等比数列的各项都是正数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中可以判断直线平面的是（ ）
A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直
C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直
9．若，则方程有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
11．过直线与轴的交点，且平行于的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．双曲线（，）的一条渐近线为，则其离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上）
13．化简 ．
14．已知点，向量，则向量 ．
15．已知是等差数列，，且，则 ．
16．若正四棱锥的每条棱都是4cm，则其表面积为 .
17．若点在直线上，则 ．
18．若方程表示一个圆，则的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上）
19．在中，已知，，
(1)求的值；
(2)求的面积.
20．已知，，
(1)求；
(2)若，求．
21．已知数列的前项和为，且满足和（其中）.
(1)求数列的前四项；
(2)求数列的通项公式.
22．已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值.
23．已知圆经过原点且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若点在圆上运动，不等式恒成立，求实数的取值范围.
24．已知椭圆的焦点，经过左焦点，且倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长；
(3)若设弦AB的中点为M，求的面积.

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