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2025届敬业中学高三高考模拟测试【三模】
2025.05
一、填空题（本大题满分54分）第1-6题，每空4分；第7-12题，每空5分．
1．不等式的解集为________．
2．函数的定义域为________．
3．双曲线的渐近线方程为________．
4．已知，则________．
5．已知集合,，则________．
6．二项式展开式中的常数项为________．（用数字作答）
7．设复数（为虚数单位），则的最大值为________．
8．若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为________．
9．已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________．
10．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________．
11．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为________．
12．已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．在复平面对应的点位于第四象限 B．
C． D．
14．为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样
本数，据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值（单位：万元）为（ ）
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
A．2.48 B．2.88 C．2.58 D．2.68
15．已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
16．过点向曲线（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．数列的前项和为 D．
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分
在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足
．
（1）求角的值；
（2）若，求周长的最大值．
18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，是底面半径，，为劣弧的中点．
（1）证明：平面；
（2）若圆锥底面半径为1，高为2，求平面与平面夹角的余弦值．
19．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表（单位：人）：
性別 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 14 5 19
男 8 10 18
合计 22 15 37
（1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？
（2）从身高不低于170cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布及期望；
（3）若低于170cm的8名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于170cm的10名男生身高数据的平均数为，方差为．请估计该中学男生身高数据的平均数和方差．
附：,．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为．记的坐标为．
（1）当时，求，；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设为的面积，证明：为定值．
21．（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数．
（1）试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，写出一组点，；否则，请说明理由；
（2）证明：函数为“切线支撑”函数；
（3）已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为________．
【答案】
【解析】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，
记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，
由题意可得，
，
由全概率的公式可得
从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为0.047，
则任意选取100件产品，设次品数为，则，即故答案为：4.7．
12．已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于________
【答案】
【解析】设底面边长为，则高，
由，所以，所以体积，
设，则，
所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减；所以当时取得极大值，即为最大值，
此时该棱锥的体积最大，此时．
二、选择题
13.A； 14.D； 15.B； 16.C
15.已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为球的表面积为，设球的半径为，
则，可得，过点作平面于点，设的外接圆半径为，
与平面所成的角均为，且是正三角形，
所以，则，在中，，
即，解得（舍去）或，
所以，因为，所以
故选B
16．过点向曲线（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．数列的前项和为 D．
【答案】C
【解析】由题意可设直线，
联立，消去整理得，
由，解得（负值舍去），故正确；
可得，
,故正确；
∵，则，故错误；
,
设，则，可得在上单调递增，
则时，，又，
则,故正确．故选C
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）有关联（2）（3）平均数174 方差41
20.已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为．记的坐标为．
（1）当时，求，；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设为的面积，证明：为定值．
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）因为点在上，所以，解得，
由题意知的坐标为，由，
整理得，解得．
（2）证明：由题意知的坐标为，所以，，
又，两式相减得，即，
由题意知，可得，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，，可得，所以
可得，所以数列是等差数列．
（3）证明：要证为定值，只需证即证与面积相等，
因为，两式相减得，,
所以直线的斜率为
同理可得直线的斜率为：，
所以，可得点到直线的距离相等，
所以，即为定值．
21.已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数．
（1）试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，写出一组点，；否则，请说明理由；
（2）证明：函数为“切线支撑”函数；
（3）已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】（1）函数是＂切线支撑＂函数，，显然，
令，得，即，
∴是的极小值点，且为曲线得一条切线，
∴函数是＂切线支撑＂函数，可取．
（2）证明：∵，设，，
∴点处的切线方程为
和，
∴,
∴，，
不妨取，则，即,
∴，不妨取，则切线的方程为，
又函数为＂切线支撑＂函数．
（3）当时，在上为增函数，
∴切点不可能都在轴的右侧；
当时，在上为增函数，
∴切点不可能都在轴的左侧；∴切点必在轴的两侧．
不妨设，，
当时，点处的切线方程为，
即；
当时，点处的切线方程为，即，
∵两点处的切线重合，
设，则
∴在上单调递增，又当时，，即，
设点处的切线方程为
设,，则，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，设点处的切线方程为，
则，即，
∴为＂切线支撑＂函数，综上，实数的取值范围为．

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