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2024-2025学年浙教版（2024）七年级数学下册期末【最新真题】
专项练习 10 填空题
一、填空题
1．（2024七下·杭州期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则　 　．
2．（2024七下·宁波期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图．若，，则　 　．
3．（2024七下·温州期末）如图，将沿方向平移得到，如果四边形的周长是，则的周长是　 　．
4．（2024七下·慈溪期末） 若 ，则 的值为 　 　 .
5．（2024七下·嵊州期末）若，则a的值是　 　．
6．（2024七下·杭州期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，则的度数是　 　．
7．（2024七下·诸暨期末）若多项式是一个完全平方式，则的值为　 　．
8．（2024七下·鄞州期末）若关于x的代数式x2－2mx+4（m是常数）是一个完全平方式，则m=　 　．
9．（2024七下·慈溪期末） 生物学家发现了一种病毒， 其长度约为 ， 数 0.00000032 用科学记数法表示为　 　.
10．（2024七下·嵊州期末）一次跳远比赛，成绩在4.05米以上的有6人，频率为0.3，则参加跳远比赛的运动员有　 　人．
11．（2024七下·奉化期末）某校组织了七年级学生“防疫知识”竞赛，赛后老师随机抽取了100份试卷的竞赛成绩（满分为100分，成绩都为整数），绘制成如图所示的统计图．由图可知，抽取的学生成绩低于60分的频率为　 　．
12．（2024七下·临平期末）分式与的最简公分母是　 　．
13．（2024七下·临平期末）因式分解：　 　．
14．（2024七下·鄞州期末）某地区空气中PM2.5的平均浓度为0.000035g/m3，数0.000035用科学记数法表示为　 　．
15．（2024七下·滨江期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值1．对于多项式，当　 　时，有最小值是　 　．
16．（2024七下·滨江期末）一个容量为50的样本，该样本的数据分别落在4个组内，若第1，2，3组数据的频率分别是0.1，0.3，0.4，则第4组的频数为　 　．
17．（2024七下·临海期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是　 　．
18．（2024七下·海曙期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有　 　．（请填上你认为正确的结论序号）
19．（2024七下·镇海区期末）如图，若，则、、之间的关系为　 　.
20．（2024七下·柯桥期末）若分式方程有增根，则它的增根是　 　．
21．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为　 　．
22．（2024七下·龙湖期末）如图，直线，现将一块三角尺的顶点A放在直线上，若，则的度数为　 　．
23．（2024七下·江北期末） 如图， 有一条直的宽纸带， 按图折叠， 则 的度数等于　 　.
24．（2024七下·江北期末） A， B 两市相距 200 km ， 甲车从 A 市到 B 市， 乙车从 B 市到 A 市， 两车同时出发， 已知甲车速度比乙车速度快 ， 且甲车比乙车早半小时到达目的地， 若设乙车的速度是 x ， 则根据题意， 可列方程为　 　.
25．（2024七下·鄞州期末）因式分解：　 　．
26．（2024七下·海曙期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面 上，镜面 的调节角 ，激光笔发出的光束 射到平面镜上后，形成反射光束 ， 发现 ，若激光笔与水平天花板 (直线 ) 的夹角 ，则 与天花板所形成的角 的度数可用含 的代数式表示为　 　
27．（2024七下·海曙期末） 若分式方程 无解，则常数 　 　.
28．（2022七下·拱墅期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则　 　.
29．（2024七下·浦江期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则　 　.
30．（2024七下·临海期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个．
31．（2024七下·德清期末）对于任意实数a和b，我们规定，例如，则方程的解为　 　．
32．（2024七下·东阳期末）使分式有意义的的取值范围是　 　．
33．（2024七下·鄞州期末）若关于x的代数式（m是常数）是一个完全平方式，则　 　．
34．（2024七下·新昌期末）如图，已知直线，被所截，且，，则的度数为　 　．
35．（2024七下·浦江期末）计算：　 　.
36．（2024七下·上城期末）某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
距离
频数 3 7 3 5 2
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为　 　
37．（2024七下·港南期末）已知a，b满足，则　 　．
38．（2024七下·义乌期末）如图，两个大小相同的直角三角形重叠在一起，若固定不动，将另一个三角形，向左平移并记为，其中，与相交于点H．若，，，则的面积为　 　．
39．（2024七下·苍溪期末）一次数学测试后， 某班 40 名学生按成绩分成 5 组，第 组的频数分别为 ，则第 5 组的频率为　 　
40．（2024七下·钱塘期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　．
41．（2024七下·钱塘期末）已知是方程组的解，那么的值为　 　．
42．（2024七下·临海期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个．
43．（2024七下·长兴期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为　 　．
44．（2024七下·海曙期末）如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是　 　．
45．（2024七下·温州期末）若不论x为何值，，则　 　．
46．（2024七下·鄞州期末）因式分解： 　 　
47．（2024七下·绍兴期末）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于　 　．
48．（2024七下·新昌期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学　 　人．
49．（2024七下·义乌期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小：　 　．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为　 　．
50．（2024七下·柯桥期末）如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点（），请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与的一边平行，则为　 　度．
答案解析部分
1．7
解：将代入方程，得：，
解得：m=4，
将代入方程，得：，
解得：n=3，
∴，
故答案为：7．
把x与y的值分别代入方程和计算出m与n的值，打入计算即可求出m+n的值.
2．
3．22
解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴AD=BE=CF=3cm，AB=DE，AC=DF．
∵四边形ABFE的周长是28cm，
∴AD+AB+BF+DF=28，
∴AD+DE+BE+EF+DF=28，
∴3+DE+3+EF+DF=28，
∴DE+EF+DF=22，
∴△DEF的周长是22cm，
故答案为：22cm．
由平移性质，得AD=BE=3cm，AB=DE，AC=DF，由四边形周长计算方法及线段和差得AD+DE+BE+EF+DF=28，进而代值后再根据三角形周长计算公式可得答案.
4．6
解：∵，
∴，
故答案为：6.
根据同底数幂的乘方法则进行计算即可.
5．4
6．
解：（已知），
（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴∠CDB=36°（等量代换），
∴（反射角相等），
∵（平角定义），
．
故答案为：．
由“两直线平行，同位角相等”得，由“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据平角定义求出，即可求得结果.
7．
解：∵
∴，
∴．
故答案为：
根据完全平方公式的特征求解．
8．±2
解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
根据首末两项分别是x和2的平方，可得中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即可求出m的值．
9．3.2×10-7
10．
解：人，
故答案为：．
根据频率的公式，即可求出总数.
11．
解：抽取的学生成绩低于60分的频率为，
故答案为：．
用成绩低于60分的试卷份数除以抽取的试卷总份数即可求解．
12．
解：∵，
∴分式与的最简公分母是．
故答案为：．
先将各分母分解因式，再根据最简公分母的定义即可解答.
13．
解：．
故答案为：．
将原式提公因式即可分解因式．
14．3.5×10-5
解：
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；据此求解．
15．；
16．10
17．垂线段最短
解：通过比较发现：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
即将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，题中描述的实际问题是“垂线段最短”的应用．
18．①③④
解：关于x，y的二元一次方程组，
（1）+（2）得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确；
②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确；
③方程组，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正确的；
④方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正确的，
故答案为①③④．
将两个二元一次方程相加得到x+y＝2+a=0，求出a的值判断①；由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值判断②；求出方程组的解，代入x+2y求值判断③；根据③用含有x代数式表示y，判断④解答即可.
19．
解：过点E作EF∥AB，如图所示．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
∴∠α+∠AEF+∠CEF=180°+∠γ，
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β ∠γ=180°.
故答案为：∠α+∠β ∠γ=180°.
由平行线公理“平行于同一直线的两直线互相平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”得∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF，根据整式性质将两式相加得∠α+∠AEF+∠CEF=180°+∠γ，再将∠AEF+∠CEF=∠β整体代入变形即可得出结论.
20．
解：由，
方程两边同时乘以（x+1）(x-1)得，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：或，
当时，
，
解得；
当时，
，
等式不成立，
∴此时a不存在．
故答案为：．
由题意，去分母化分式方程为关于x的整式方程，根据原分式方程有增根可得公分母=0，即，解得或，然后把x的值分别代入整式方程可得关于a的方程，解方程求出a的值即可求解．
21．3
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
22．
23．75°.
解：如图：
∵BC∥AD
∴∠DEF=∠CBF=30°
由折叠可知：
∵2α+∠CBF=180°
∴α=75°
故答案为75°.
先根据两直线平行，同位角相等，得出：∠DEF=∠CBF=30°，再由折叠的性质，可得：2α+∠CBF=180°，从而求出α的度数.
24．.
解：由题意可列：
故答案为：.
设乙车的速度是 x ， 则甲车的速度为（x+15），根据等量关系：，列出方程即可.
25．a(a+1)(a-1)
解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
26． 或
解：如图，当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF，
，
，
，，
，
根据光的反射定理可知，，
，
；
当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF，
，
，
，
根据光的反射定理可知，，
，
，
，
故答案为：或
分两种情况：①当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF；②当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF，分别根据平行线的性质和光的反射定理，进行求解即可．
27．2 或
解：分式方程去分母，得： ，
移项，合并，得：，
当整式方程无解时：，解得：；
当分式方程有增根时，则：，解得：，
将代入，得：；
综上：或；
故答案为：2或．
将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解或方程有增根时，分式方程无解，两种情况，进行讨论求解即可．
28．-1
解： ，
解得：，
∴，
∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，
∴k+1=0，
∴k=-1.
故答案为：-1.
先解关于x、y的二元一次方程组，然后把x、y的值代入代数式中，因为该代数式的值与a值无关，则含a项的系数之和等于0，一次建立关于k的方程求解，即可解答.
29．200
解：由题意得，，
∴．
故答案为：.
利用图形面积可得a+b=20，a-b=10，再利用平方差公式计算即可；
30．50
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，由题意得，
解得，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，解得：，
故答案为：
设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，进而根据题意即可列出二元一次方程组，从而即可得到x和y的值，再结合题意即可得到，从而得到n.
31．
32．x≠-2
解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
根据分式有意义的条件，分母不为0，列出不等式求解即可.
33．
解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
根据完全平方公式的结构特征“两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍”解答即可．
34．
解：如图所示，
∵
∵
∴，
故答案为：．
根据对顶角相等可得，然后利用两直线平行，同位角相等解答即可．
35．
解：
，
故答案为：.
先把第二个分式的分母转化为x-1，再根据同分母分式的加减法的法则计算．
36．
解：由表中知，共有（人），其中跳远距离1.8米以上为优秀的有7人，则则该班女生立定跳远成绩的优秀率为，
故答案为：．
运用优秀人数÷总人数解答即可．
37．3
解：，
①+②得：
4a+4b=12.
∴a+b=3.
故答案为：3.
观察发现两式相加可得4a+4b的值，两边同除4，即可得到a+b的值.也可以解二元一次方程组，得到a和b的值，再计算a+b的值.
38．9
解：由平移的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴△CEH的面积为，
故答案为：9．
由于平移前后对应线段平行且相等或在同一条直线上 ，因此可求出梯形ABEH的高和两条底边，则的面积等于直角三角形ABC的面积与梯形ABEH面积的差．
39．0.1
解：∵第五组频数=40-6-7-10-13=4
∴第五组的频率==0.1
故答案为：0.1.
根据总数=各频数和以及频率=可得结果.
40．2
解：∵有增根，
∴，即增根为，
方程的两边同乘以得，
，
把代入得，，
故答案为：2．
根据分式方程的增根可得增根为x=1，再将分式方程转化为整式方程，将x=1代入整式方程即可求得m的值.
41．
解：将代入方程组得，，
由得，，即，
由得：，
，
故答案为：．
先将代入方程组得，①+②可得a+b的值，①-②可得a-b的值，代入求值即可.
42．
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
由题意得：，解得：，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，解得：，
故答案为：．
根据题图中表示的数量关系，列出方程并求解即可.
43．或
44．20
解：根据题意可知，
代入，，得：
故答案为：20．
根据阴影部分面积为解题即可．
45．
解：∵
∴x2+(a+1)x+a=x2+kx+6，
∴a=6，a+1=k，
∴k=7.
故答案为：7.
利用多项式乘多项式将等号左边展开，可得x2+(a+1)x+a=x2+kx+6，从而得出a=6，a+1=k，继而得解.
46．
解：；
故答案为：.
此题多项式各项具有相同的因式y，故先提取公因式y，再利用完全平方公式将剩下的商式继续分解即可.
47．
解：由题意知，卡片数字为，，，，，，……
∵三张卡片上的数字乘积为，
∴使三数之和最大的三个数为，，，
∴，
∴使三数之和最小的三个数为，，，
∴，
∴
，
故答案为：．
由题意知，卡片数字规律为，则使三数之和最大的三个数为，，，使三数之和最小的三个数为，，，然后代入A、B，利用提取公因式计算求解．
48．
解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，
设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，
即．
∵，
和同奇或同偶，
∴或，
解得或
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学人．
故答案为：．
设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，设正方形方阵的边长分别为m，n列关系式，然后两式相减得到，根据平方差公式分解因式解题即可．
49．；或
解：（1）如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
（1）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等，得到，，，，再结合，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行内错角相等可得，由角平分线的概念可得，再由两直线平行内错角相等可得
当三角板平移至三角板左侧时，此时与互补，即等于，其它运算同上，可得．
50．或或或
解：由题意知，分，，三种情况求解；
当时，如图1，
∴，
由折叠可知，，
∴；
当时，如图，延长交于，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴；
当时，如图，
图
∴，
由折叠可得，，
∴，
当时，如图3，，
∴；
综上所述，的度数为或或或，
故答案为：或或或．
由题意知，分，，三种情况求解即可．

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