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2024-2025 学年内蒙古呼和浩特剑桥中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列 的前 项和为 ，若 13 = 13 = 13，则 1 =( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
2.等差数列 的首项为 1，公差不为 0，若 2， 3， 6成等比数列，则 8 =( )
A. 15 B. 15 C. 13 D. 13
3.某市 20000 名学生参加一次数学测试(满分 150 分)，学生的测试成绩 近似服从正态分布 100, 102 ，
则测试成绩在[90,100]内的学生人数约为( )附：(若 ( , 2)，则 ( + ) ≈ 0.6827， (
2 + 2 ) ≈ 0.9545)
A. 2717 B. 2718 C. 6827 D. 9545
4.已知函数 ( ) = 3 ′(1) 2 + 1，则 ′2 (1) =( )
A. 1 B. 2 C. 1 12 D. 2
5.已知变量 和 的统计数据如下表．

80 90 100 110 120

120 140 165 180
若 ， 线性相关，经验回归方程为 = 1.45 + 7，则 =( )
A. 155 B. 158 C. 160 D. 162
6.设 ～ ( , ) 9，已知 = 3， = 4，则 与 的值为( )
A. = 12， = 1 34 B. = 12， = 4 C. = 24， =
1
4 D. = 24， =
3
4
7 3 +2 + .两个等差数列 和 ，其前 项和分别为 ， 2 20 ，且 = +3，则 7+
等于( )
15
A. 94 B.
25 C. 65 D. 14924 24 24
8.已知 是等差数列{ }( ∈ )的前 项和，且 6 > 7 > 5，有下列四个命题，假命题的是( )
A.公差 < 0 B.在所有 < 0 中， 13最大
C.满足 > 0 的 的个数有 11 个 D. 6 > 7
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( )的图象如图所示， ′( )为函数 ( )的导函数，下列不等式正确的是( )
A. ′(3) < ′(2) B. ′(2) < (3) (2)
C. ′(3) < (3) (2) D. ′(2) < 0
10.甲罐中有 3 个红球，4 个黑球，乙罐中有 2 个红球，3 个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，
以 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以 表示事件“由乙罐取出的球是红
球”，则( )
A. ( ) = 37 B. ( ) =
17
42
C.事件 与事件 相互独立 D. ( | ) = 12
11.已知等比数列 的前 项和为 ，下列选项中正确的是( )
A.若 1 > 0，则 2 > 0 B.若 2 > 0，则 2022 > 0
C.若 1 > 0，则 3 > 0 D.若 3 > 0，则 2023 > 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.以模型 = e 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 = ln ，其变换后得到线性回归方程 =
0.2 + 3，则 = ．

13.数列 ( + 3) 89 的最大项为第 项，则 = ．
14.若 是直线 + 1 = 0 上的一点，点 是曲线 = ln 上的一点，则| |的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 1 + ln ．
(1)求曲线 = 1 + ln 在点 ( , 2)处的切线方程；
(2)求曲线 = 1 + ln 过原点 (0,0)的切线方程．
16.(本小题 15 分)
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已知 是等差数列 的前 项和， 3 = 5, 7 = 25.数列 满足 +1 = 2 且 2 + 3 = 6．
(1)分别求出数列 和 的通项公式；
(2)设 = + ，求数列 的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
某运动服饰公司对产品研发的年投资额 (单位：十万元)与年销售量 (单位：万件)的数据进行统计，整理后
得到如下统计表：

1 2 3 4 5

3540505570
(1)求 和 的样本相关系数 (精确到 0.01)，并推断 和 的线性相关程度；(若| | ≥ 0.75，则线性相关程度很
强；若 0.30 ≤ | | < 0.75，则线性相关程度一般；若| | ≤ 0.25，则线性相关程度很弱)
(2)求年销售量 关于年投资额 的回归直线方程，并据此预测年投资额为 60 万元时的年销售量．
参考数据：5 =1 = 85,
5
=1
2 = 750, 3 ≈ 1.73．

= =1 参考公式：相关系数 ；
2 2 =1 =1

回归直线方程 = + =1 中， = 2 , = ． =1
18.(本小题 17 分)
已知数列 是公差大于 2 的等差数列，其前 项和为 ， 2 = 5，且 1 + 1， 2 + 1， 5 2 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 = ( 1) +1
2 +3
(3 +2) ，求数列 的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在 11 月 21 日至 12 月 18 日在卡塔尔境内举行．足球
运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲 乙 丙三人参加点球测试，每人有两次点球机
会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二
3 1 2
次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲 乙 丙三人点球成功的概率分别为4 , 2 , 3，
且三人每次点球的结果互不影响．
(1)求甲 乙 丙三人共点球 4 次的概率；
(2)设 表示甲 乙 丙三人中测试合格的人数，求 的分布列和数学期望．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.e3
13.5 或 6．
14. 2
15. 1 1【详解】(1)由 = 1 + ln 求导得： ′ = ，当 = 时，
′ = ，
1
由点斜式得曲线在点 ( , 2)处的切线方程为 2 = ( )，即 + = 0，
所以曲线 = 1 + ln 在点 ( , 2)处的切线方程 + = 0；
(2)由题意知，点 (0,0)不在曲线上，设切点为 0, 1 + ln 0 ，由(1)知曲线 = 1 + ln 在点 处切线斜率为
1
，0
1 1
切线方程为 (1 + ln 0) = ( 0)，即 = + ln 0，而切线过点 (0,0)，即 ln 0 = 0，解得 0 = 1，0 0
于是得所求切线方程为 = ，
所以曲线 = 1 + ln 过原点 (0,0)的切线方程为 = 0．
1 + 2 = 5
16.【详解】(1)因为数列 是等差数列，又 3 = 5, 7 = 25，即 7 + 7×6 = + 24 ，化简得1 2 1
1 + 2 = 5
6 1 3 = 0
，解得 1 = 1, = 2，
所以 = 2 1；
数列 满足 +1 +1 = 2 ，即 = 2，所以 是公比为 2 的等比数列，
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又 + = 6，即 + 2 = 6，所以 2 + 4 = 6，解得 = 1，所以 = 2 12 3 1 1 1 1 1 ；
(2)由(1)得， = + = 2 1 + 2 1，
所以 = 1 + 20 + 3 + 21 + 5 + 22 + 7 + 23 + + 2 1 + 2 1
= (1 + 3 + 5 + 7 + + 2 1) + 20 + 21 + 22 + 23 + + 2 1 = (1+2 1) 1 2

2 + 1 2
= 2 + 2 1．
17.【详解】(1)由题可知 = 15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3, =
1
5 (35 + 40 + 50 + 55 + 70) = 50，
5 =1
2 = ( 2)2 + ( 1)2 + 02 + 12 + 22 = 10，
5 85 85
所以 = =1 = = ≈ 0.98，
5 2 =1
5 10× 750 50× 3
=1 2
因为| | ≥ 0.75，所以变量 和 的线性相关程度很强．
5
(2) = =1 = 855 2 10 = 8.5， =1
= 50 8.5 × 3 = 24.5．
所以 关于 的回归直线方程为 = 8.5 + 24.5．
当 = 6 时， = 8.5 × 6 + 24.5 = 75.5，
所以研发的年投资额为 60 万元时，预测产品的年销售星为 75.5 万件．
18.【详解】(1)设等差数列 的公差为 ( > 2)，则 1 = 2 = 5 ， 5 = 2 + 3 = 5 + 3 ，
由 1 + 1， 2 + 1， 5 2 成等比数列，得(6 )(3 + 3 ) = 62，而 > 2，解得 = 3，
所以数列 的通项公式为 = 2 + ( 2) = 3 1．
(2)由(1)得 = ( 1) +1 2(3 1)+3 +1 1 1 (3 +2)(3 1) = ( 1) ( 3 1 + 3 +2 )，
当 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1为偶数时， = ( 2 + 5 ) ( 5+ 8 ) + ( 8+ 11 ) ( 11 + 14 ) + + ( 3 4+ 3 1 ) ( 3 1 + 3 +2 ) = 2
1
3 +2，
当 为奇数时， = ( 1 + 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 2 5 5+ 8 ) + ( 8+ 11 ) ( 11 + 14 ) + (
1 + 1 ) + ( 13 4 3 1 3 1 +
1
3 +2 ) =
1
2 +
1
3 +2，
1 12 3 +2 , 为偶数所以 = 1 ．
2 +
1
3 +2 , 为奇数
19.【详解】(1)设甲 乙 丙三人第 次点球成功分别为事件 , , , = 1,2，
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则 =
3 1 2
4 , = 2 , = 3．
甲 乙 丙三人共点球 4 次，根据测试规则，有 2 人第一次点球成功，剩下的 1 人第一次点球失败，
则甲 乙 丙三人共点球 4 次的概率
= 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1 = 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1
= 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1
3 1 2 3 1 2 3 1 2 11
= 4 × 2 × 1 3 + 4 × 1 2 × 3 + 1 4 × 2 × 3 = 24 .
(2) 3 3甲测试合格的概率 1 = 1 + 1 2 = 4 + 1 4 ×
3 15
4 = 16，
乙测试合格的概率 2 =
1 1 1 3
1 + 1 2 = 2 + 1 2 × 2 = 4，
2 2 2 8
丙测试合格的概率 3 = 1 + 1 2 = 3 + 1 3 × 3 = 9．
易知 的所有可能取值为 0,1,2,3，
( = 0) = 1 15 3 8 116 × 1 4 × 1 9 = 576，
15 3 8 15 3 8 15 3 8 13
( = 1) = 16 × 1 4 × 1 9 + 1 16 × 4 × 1 9 + 1 16 × 1 4 × 9 = 288 ,
15 3 8 15 3 8 15 3 8 21
( = 2) = 16 × 4 × 1 9 + 16 × 1 4 × 9+ 1 16 × 4 × 9 = 64 ,
( = 3) = 15 × 3 × 8 516 4 9 = 8，
所以 的分布列为

0 1 2 3
1 13 21 5
576 288 64 8
1 13 21 5 371
所以 ( ) = 0 × 576 + 1 × 288 + 2 × 64 + 3 × 8 = 144
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