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七宝中学2024-2025学年第二学期高三年级数学月考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设集合，，则________．
2．若复数满足，则复数的虚部为________．
3．若，则________．
4．在的展开式中常数项是________．
5．记为等差数列的前项和．若，，则________．
6．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相同，若圆柱与球的表面积相等，则它们的体积之比________．
7．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为________．
8．若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为________．
9．从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为________．
10．已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为________．
11．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．
12．设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是________．
二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．“”是“为幂函数”的（ ）条件．
A．充要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充分不必要
14．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
15．若方程的系数、、可以从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，已知任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（ ）
A． B．1 C． D．
三、解答题
17．（14分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18．（14分）将一块如图所示的四边形区域沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的区域．经测量，边界与的长都是200米，，．
（1）若，求的长（结果精确到米）；
（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）．
19．（14分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品．
（1）若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率；
（2）若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求的最小值；
（3）已知每件产品的检验费用为元，若有未检测出的不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，应取何值？
20．（18分）已知拋物线的焦点为，直线过点且与相交于、两点．当直线的倾斜角为时，．
（1）求的方程；
（2）若点是拋物线上、之间一点，当点到直线的距离最大时，求面积的最小值；
（3）若的垂直平分线与相交于、两点，且、、、四点在同一圆上，求直线的方程．
21．（18分）已知，若对于给定的及平面上一点，函数的图像上存在与不同的一点，使得直线为函数在点的切线，则称点具有“性质”
（1）判断点是否具有“性质”，并说明理由；
（2）证明：“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”；
（3）若对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”，求实数的值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，
设直线交双曲线及其渐近线分别于及，如图，
由，得，
由，得,
线段绕轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，它是一个圆环，其内径，外径，此圆环面积为
因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为，
所以根据祖 旦原理可知此旋转体的体积等于．
12．设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】设是函数在点的切线，
因为曲线与函数的图像关于直线对称，
所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，
如图所示，直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为，
则直线的方程为，
联立方程组，
可得，则,
即与同解，解得，所以的取值范围是．故答案为：．
二、选择题
13.D 14.C 15.A 16.D
15．若方程的系数、、可以从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵方程表示椭圆，
从中任意选取3个，所有的选法，
满足条件的选法，方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是；
故选A．
16．在空间中，我们把点集表示的曲面称为圆柱面，已知任意不与轴平行或垂直的平面与截成的封闭曲线为椭圆．设圆柱面，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，则其体积的最小值为：（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】根据题目：设圆柱面，高不平行于坐标面的正四棱锥的五个顶点均在上，可知圆柱面的半径为1，如图，
截得的椭圆半短轴长即为圆柱面的半径1．
对半轴长：在中，必能找到与平面垂直，所以，
设．则由几何关系得，故椭圆方程为，
如图，椭圆有唯一内接正方形，故令，得到，
故底面面积为，则.
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，故，故正确．
故选：D．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1）约米 （2）约米
19.（1） （2） （3）
20．（18分）已知拋物线的焦点为，直线过点且与相交于、两点．当直线的倾斜角为时，．
（1）求的方程；
（2）若点是拋物线上、之间一点，当点到直线的距离最大时，求面积的最小值；
（3）若的垂直平分线与相交于、两点，且、、、四点在同一圆上，求直线的方程．
【答案】（1） （2）2 （3）或．
【解析】（1）由已知得，直线的方程为，代人，
得，设，
∴，解得的方程为．
（2）设直线的方程为，
联立消去，得，、
由题意，抛物线过点的切线与直线平行，可设该切线的方程为，
代人，得，由，可得，
从而可得点到直线的距离为
，
当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2.
（3）由题意知与坐标轴不垂直，∴可设的方程为，
代人，得，设，则
的中点为，又的斜率为
的方程为，将上式代人，
并整理得，
设，则
的中点为
垂直平分，∴四点在同一圆上等价于，
从而，
即，化简得，
解得或，故所求直线的方程为或．
21．（18分）已知，若对于给定的及平面上一点，函数的图像上存在与不同的一点，使得直线为函数在点的切线，则称点具有“性质”
（1）判断点是否具有“性质”，并说明理由；
（2）证明：“点具有‘性质’”的充分必要条件是“”；
（3）若对于任意的非零实数，直线上的所有点均具有“性质”，求实数的值．
【答案】（1）具有，理由见解析 （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）当时，函数，
过点的切线方程为，
把代入化简得：，因为，故，
所以存在点，故点具有＂性质＂；
（2）证明：当时，，
必要性：，整理得：
故，整理得：
当时，点与点重合，不合题意，故，即必要性成立；
充分性：若时，则有解，
即存在点使得直线为函数在点的切线，
即点具有＂性质＂，即充分性成立；
（3）设，故，
由题意可得：，整理得,
由于的任意性，不妨取，带入上式，整理得：
令
则函数，除了之外，至少还要有1个根，
故，则，
故
故，存在点，
若，方程对必有解，
综上，．

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