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2024-2025 学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 3.已知集合 = { ∣ 2 < < 2}, = | 1 ≤ 0 ，则 ∩ =( )
A. { ∣1 ≤ ≤ 2} B. { ∣ 2 < ≤ 3}
C. { ∣1 < < 2} D. { ∣ 2 ≤ < 3}
2.若复数 满足 i = 1 i，则复数 的虚部为( )
A. i B. i C. 1 D. 1
3.下列函数中，在区间(0, + ∞)单调递增，且在定义域内为奇函数的是( )
A. = ln| | B. = | 1| C. = 1 D. = 12
2
4 +4.函数 ( ) = 的值域为( )
A. [3, + ∞) B. ( ∞, 5]
C. ( ∞, 5] ∪ [3, + ∞) D. [ 1, + ∞)
25
2
.已知椭圆 ： 4 + 3 = 1，点 ( 1,0)，若直线 + 1 = 0( ∈ )与椭圆 交于 ， 两点，则
的周长为( )
A. 2 3 B. 4 C. 4 3 D. 8
6
6 17.设 2 2 0 = 0 +

1 1 + 2 2 + + 6 6，则 0 + 1 + 2 + + 6 =( )
A. 21 B. 64 C. 78 D. 156
1 1 17.我们解不等式 ln > 2时，可以采用如下方法：ln >
ln 2
2等价于e > e = e，即 > e.根据以上思路求
解：函数 ( ) = , ∈ (0, + ∞)的最小值为( )
1 1
A. 0 B. 1 C. ee D. e e
8.学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选 4 名不同的裁判员(一名主裁判，一名助理
裁判 1，一名助理裁判 2，一名第四裁判)，其中高一共 13 个班，每个班各一名体育委员，共 4 个女生，9
个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是
男生的概率为( )
A. 5573 B.
55
74 C.
330 3
439 D. 4
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.决定系数 2越小，模型的拟合效果越差
B.经验回归方程 = 3 + 1 相对于样本点(2,6.5)的残差为 0.5
C.若随机变量 服从正态分布 ( , 4)， ( < 1) = ( > 3)，则 = 2
D.一组数， 1， 2，…， ∈ N 的平均数为 ，若再插入一个数 ，则这 + 1 个数的方差变大
10.已知 , 为正实数， + + 2 = 14，则下列说法正确的是( )
A. + < 21 B. 6 +1的最小值为 1
C. + 4 12 D. 1 + 1 1的最小值为 +2 +1的最小值为2
11 1.已知抛物线 : = 4
2的焦点为 ，准线为 , 与 轴的交点为 ，过 的直线与 分别交于 , 两点，则以
下选项正确的是( )
A. 坐标为(1,0)
B.当 ⊥ 时，| | = 4
C.若| | | | = 16，则 = 8 2
D.过点 作与 垂直的直线与 交于 , 两点，则四边形 面积的最小值为 32
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知变量 , 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现 与 之间具有线性相关关系，利用最小二乘
法，计算得到经验回归直线方程为 = 0.8 + ，据此模型预测当 = 10 时 的值为 ．

5 6 7 8 9

3.5 4 5 6 6.5
13.在数 1 和 100 之间插入 个实数，使得这 + 2 个数构成递增的等比数列，将这 + 2 个数的乘积记作 ，
再令 = lg , ≥ 1.则数列 的通项公式为 ．
14.已知函数 ( ) = e 2 ， ( ) = 2ln ，对于任意的 > 2，存在 1 > 1， 2 > 1 使得 1 = 2 =
ln
成立，则 2 的最大值为 ．2 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是边长为 4 的正方形， 1 = 2 7, = 2， ⊥ ．
(1)求证：平面 1 1 ⊥平面 ；
(2)求二面角 1 的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知数列 的首项为 = 4，且满足 + = 6 × 5 1 +1 ∈ ．
(1)求证： 5 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = e2 + (2 1)e + 12．
(1)当 = 0 时，证明： ( ) ≤ e + 1 + 12
(2)若函数 ( )的图象始终在直线 = 1 上方，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群(数．量．较．大．)进行试验，从该试验
种群中随机抽查了 80 只，得到如下的样本数据(单位：只)：
发病没发病合计
使用药物 10 30 40
没使用药物25 15 40
合计 35 45 80
(1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记 表示此动物发病， 表示此动物没发病， 表示此动物使用药物，定
( )
义事件 的优势 1 = 1 ( )，在事件 发生的条件下 的优势 2 = ，证明：
2 = ，并利用表
1 1

中数据求出 2 值．1
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(3)若把表中的频．率．视作概．率．，现从该地区没发病的动物中抽取 3 只动物，记抽取的 3 只动物中使用药物的
只数为 ，求随机变量 的分布列，数学期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2
≥ 0 0.0500.0100.001
0
3.8416.63510.828
19.(本小题 17 分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为2，且经过点 ( 2,0)， 1, 2为椭圆 的左右焦点， 0, 0
为平面内一个动点，其中 0 > 0，记直线 1与椭圆 在 轴上方的交点为 1, 1 ，直线 2与椭圆 在 轴
上方的交点为 2, 2 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)①若 2/ !/
1 1 1
1，证明： +1
=
2
；
0
②若 1 + 2 = 3，探究 0, 1, 2之间关系．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7.4
13. = + 2， ∈
14.1 1e/
15.(1)因为侧面 1 1是边长为 4 的正方形，
所以 1 ⊥ , 1 = = 4，
因为 = 2, ⊥ ，
则 = 2 2 = 2 3，因为 1 = 2 7, 1 = 4，
所以 2 2 21 + = 1，即 1 ⊥ ，
因为 ∩ = , 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，又 1 平面 1 1，
所以平面 1 1 ⊥平面 ；
(2)
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以 , 1为 , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 = 4, = 2, = 2 3 π，所以∠ = 3，
所以 (0,0,0), 3, 1,0 , 1(0,4,4)，
则 = 3, 1,0 , 1 = (0,4,4)，
设平面 1的法向量为 1 = ( , , )，
= 0 3 + = 0
由 ，可得 ，令 = 1，则 = 1, 3, 3 ， 1 = 0 4 + 4 = 0
1
平面 1的法向量为 2 = (1,0,0)，
所以 cos 1 , =
1 2 7
2 = ，1 2 7
7又二面角 1 为锐角，所以其余弦值为 7 ．
16.【详解】(1)证明：
∵数列 满足 +1 + = 6 × 5 ，即 +1 = + 6 × 5 ，
∴ +1 +1 5 = 5 ，
+1 5 +1即 5 = 1，
又∵ 1 = 4，
∴ 1 51 = 1，
∴数列 5 表示首项为 1，公比为 1 的等比数列．
(2)由(1)知 5 = 1 × ( 1) 1 = ( 1) ，
∴ = ( 1) + 5 ，
∴ 1 2 = 5 + 5 + + 5 + ( 1) + 1 + + ( 1) ，
= 5 1 5

+ 0 = 1当 为偶数时，可得 1 5 4 × 5
+1 54；
5 1 5
1 9
当 为奇数时，可得 +1 = 1 5 1 = 4 × 5 4；
1 × 5 +1 5 , 为偶数,
综上可得， = 4 41 × 5 +14
9
4 , 为奇数.
17. 1【详解】(1)解：当 = 0 时，可得 ( ) = e + 2，
1
要证不等式 ( ) ≤ e + 1 + ，即证e 2 ≥ e ，
令函数 ( ) = e e ，可得 ′( ) = e e，
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当 < 1 时， ′( ) < 0；当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以函数 ( )在( ∞,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )min = (1) = 0，所以 ( ) ≥ 0，即e ≥ e ，
所以原不等式 ( ) ≤ e + 1 + 12成立；
(2)解：要使得函数 ( )的图象始终在直线 = 1 上方，即 ( ) > 1 在 ∈ R 上恒成立，
即 e2 + (2 1)e 12 > 0 在 ∈ R 上恒成立，
令 ( ) = e2 + (2 1)e 12，
可得 ′( ) = 2 e2 + (2 1)e 1 = (e + 1)(2 e 1)，
当 ≤ 0 时， ′( ) = (e + 1)(2 e 1) < 0，此时函数 ( )单调递减，
又由 (0) = 3 32 < 0，所以 ( ) > 0 在 ∈ R 上不恒成立，(舍去)；
当 > 0 时， ′( ) = 0，即 2 e 1 = 0 1，解得 = ln 2 ，
当 < ln 1 ′2 时， ( ) < 0；当 > ln
1
2 时，
′( ) > 0；
所以 ( )在( ∞, ln 12 )单调递减，在(ln
1
2 , + ∞)上单调递增，
所以 ( )min = (ln
1 1 1 1
2 ) = 4 ln 2 + 2，
要使得 ( ) > 0 在 ∈ R 上恒成立，只需 1 1 1 12 × 2 ln 2 + 2 > 0，
= 1 > 0 1 1令 2 ，即 2 × ln + 2 > 0 在 ∈ (0, + ∞)成立，
1 × + ln 1即2 2 < 0 在 ∈ (0, + ∞)成立，
令 ( ) = 12 + ln
1
2 , > 0，可得
′( ) = 1 1 +22+ = 2 > 0，
所以 ( )在(0, + ∞)单调递增，
因为 (1) = 0，所以 0 < < 1 1 1，即 0 < 2 < 1，所以 > 2，
所以实数 1的取值范围为( 2 , + ∞)．
18.【详解】(1)提出零假设 0:该药物与预防该疾病无关，
2 = 80×(10×15 25×30)
2 240
根据表格得出， 35×45×40×40 = 21 ≈ 11.429 > 10.828，
由此推断 0不成立，
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则能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为该药物与预防该疾病有关．
(2)由条件可得，
( )
2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
= ( ) = ( ) 1 1 1 ( )
= ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) 1 ( ) 1 ( )
= ( ) ( )
( ) = ( ) ( ) = =
( ) ( )
10 30 10 45 3
由表中数据可知， = 35， =
2
45，则 =1 35
× 30 = 7．
(3)样本中没发病的动物有 45 只，其中使用药物的有 30 只，
30 2
则使用药物且没发病的频率为45 = 3，
2
将频率视作概率，则 3, 3 ，
1 3 0 2 1
则 ( = 0) = C0 2 = 1， ( = 1) = C1 1 23 3 3 27 3 3 3 =
2
9，
1 2 0 3
( = 2) = C2 1 2 4 3 1 2 83 3 3 = 9， ( = 3) = C3 3 3 = 27，
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
期望 ( ) = 3 × 23 = 2．
1 = 2
19.【详解】(1)由题意得： = = 2 = 3 ,
= 2 = 1
2 2
因此，椭圆 的标准方程为 4 + 3 = 1；
(2)①由(1)知， 1( 1,0), 2(1,0)，

∵ 1 =
1 2
1 +1
, 2 = 2 1
,
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+ 1
= 1 1,1 2 1 +1∴ 1 ∴ 0 + 1 =
1
2 2
0 1 ,
= + 1,
1
2
∴ 1+1 2 1 0 0 = 2, ∴ 1 + 1 2 2 1
2 1 2
1 = ，
1 2 0
即 + + = 2 1 21 2 2 1 1 2 ，0
又∵ 1 = 2 + 1, 2 , 2 = 1 1, 1 , ∴ 2 + 1 1 1 1 2 = 0，
即 2 1 1 2 + 1 + 2 = 0，
∴ + 1 2 1 1 11 2 = 1 2 2 1, ∴ 1 + 2 = ，即 + = ；0 1 2 0
: = 0 1②设 2 + 1 = 2 + 1(令
0 1
2 = )，
0 0
= 2 + 1
∵ 2 2 ，消去 得：3 + 1 2 + 4 2 = 12，
4 + 3 = 1
2
∴ 3 2 2 2 2 22 + 6 2 + 3 + 4 = 12，∴ 3 2 + 4 + 6 2 9 = 0，
2 2
∴ 9 1 6 1 3 2 + 4 = 0 ∴ 1
2+2 2+1
2 2 ， = 3 ，2
2
0 1 2 0 1 +
2
+ 0
∴ 1 = 0 0 = 0 1 +2 2 3 3 ，2 0
设 1: =
0+1 0+1
1 = 1 1，(令 1 =0
)，
0
= 1 1
∵ 2 2 ，消去 得：3 2 2+ = 1 1
1 + 4 = 12，
4 3
∴ 3 2 2 6 2 2 21 1 + 3 + 4 = 12，∴ 3 1 + 4 6 1 9 = 0，
2
∴ 9 1
2 1+2 +1
+ 6
1 2
1 3 1 + 4 = 0
1 1
，∴ = 3 ，1
0+1+ 2 2
2
1 0+1 +
2
∴ = 0 0
0
3 =
0+1 +2 1
3 ，1 0
∴ 1 + 1 = 0+1 +2 1 + 0 1 +2 2 2+2 1 + 2 2+2 3 4 1 2 3 0 3
= = = ．
0 3 0 3 0 3 0
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