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光明中学2024-2025学年第二学期高三年级数学二模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若集合，则实数 ．
2．若，则的值是 ．
3．当时，的最小值为 ．
4．已知数列为等比数列，，则 ．
5．随机变量的概率分布密度函数，其图像如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ．
6．在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为 ．
7．已知椭圆的焦点都在轴上，为椭圆上一点，的周长为6，且，成等差数列，则椭圆的标准方程为 ．
8．由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为．则以下命题为真命题的序号是 ．
①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数；
②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数；
③对于任意的，若为减函数，则为增函数；
④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．
9．已知首项为的数列的前项和为，定义在上恒不为零的函数，对任意的，都有．若点在函数的图象上，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ．
10．如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
11如图，某城市公园内有一矩形空地，现规划在边上分别取点，且满足，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当 时，栈道最短．
12．如图是一种＂四脚帐篷＂的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米．（精确到0.1立方米）
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.
13．已知函数和在区间上的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）.
A．在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B．在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
14．已知正方体棱长为为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）.
A． B． C． D．
15．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 C．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
16．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（ ）.
A．4052 B．4051 C．4050 D．4049
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图所示圆锥中，为底面的直径．分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，圆锥的高为．
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知，其中.
（1）若，函数的最小正周期为，求函数的单调减区间；
（2）设函数的部分图像如图所示，其中，，求函数的最小正周期，并求的解析式．
19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题（1）5分，（2）5分）
某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对＂三项体育活动中要有篮球＂这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）
男生 女生 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
（1）能否有的把握认为学生对＂三项体育活动中要有篮球＂这种观点的态度与性别有关？
（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择.
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响.记事件为＂学生甲选择足球＂，事件为＂甲、乙两名学生都没有选择篮球＂，求，并判断事件是否独立，请说明理由.
②若该校所有学生每分钟跳绳个数.根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）.
参考公式和数据：，
其中.若，
则．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设为椭圆的右焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离；
（3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知，函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）是否存在实数，使得与有相同的最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.①②④; 9.; 10.； 11. 12.
11如图，某城市公园内有一矩形空地，现规划在边上分别取点，且满足，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当 时，栈道最短．
【答案】
【解析】由题意，Rt，
设，则．
在中，得，
则．
由于，解得．
令，则．令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，则．故答案为：．
12．如图是一种＂四脚帐篷＂的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米．（精确到0.1立方米）
【答案】
【解析】设截面正方形的边长为，半圆的半径为，
正方形的中心到截面正方形的距离为，则，
解得（其中米，，
根据＂祖随原理＂，构造一个正四棱柱，底边为，高为，并挖去一个正四棱锥，
如图所示：用平行于底面的任意一个平面（高度为）去截左图和右图的两个几何体，所得截面的面积均为相等，所以该帐篷围成几何体的体积为：
（立方米），故答案为：
二、选择题
13.D 14.A 15.C 16.B
15．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 C．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【答案】C
【解析】依题意，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，
即，其中，其中且，
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为个，
故随机变量服从两点分布，
所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大；
故选：．
16．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（ ）.
A．4052 B．4051 C．4050 D．4049
【答案】B
【解析】数列满足，得，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
由等差数列的通项公式可得
则
，
若表示大于的最小整数，记，可得，
又，当时，，故，
所以数列的前2025项之和为．故选：．
三．解答题
17.（1） （2）证明略，
18.（1） （2）
19.（1）有关 （2）①，不独立 ②约977人
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设为椭圆的右焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离；
（3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，
【解析】（1）将代入椭圆方程，可得：，椭圆方程为：．
（2）本题中均为动点，所以考虑先固定一点不动，比如Q点，
寻找此时达到最值时位置的规律，进而再让运动起来，找到最值．
观察图像可得点固定时，达到的最大值时在延长线与的交点处，
即，由于，所以只需找到的最大值即可，
设，而，则，由，可得，
代入消去x可得：
因为，所以当时，，从而．
（3）设直线，
与椭圆联立方程：
所以，
所以，
直线与抛物线联立方程：
所以，因为CD是焦点弦，所以，
所以
若为常数，则，
所以，常数为.
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知，函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）是否存在实数，使得与有相同的最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.
【答案】（1）递增递减（2）存在， （3）证明见解析
【解析】（1）递增递减
（2），令．
∵有最大值，∴且在上单调递增；上单调递减，
∴时，，
当时，单调递增；当时，单调递减，
∴，∴，即；
（3）由，由，
令当，
所以在上单调递增；上单调递减，∴至多两个零点，
令当时，，当时，，
所以在上单调递增；上单调递减；∴至多两个零点．
令，当时，，所以；
当时，由，设，
所以当时，，
所以在单调递增，所以，
所以，且，所以，
设，当时，，当时，，
所以在上单调递减，∴方程无解，
当时，由在上单调递增，
∴方程有唯一解，
当时，注意到，，
设，对恒成立，
所以，所以当时，，即，
因为，所以，所以,
所以
∴在和上各有一个零点，示意图，
注意到，,
令，即函数在上单调递减，
因此，即有，
∴在和上各有一个零点．
由，
而而在上单调递增，
由可得故
由，
而而在上单调递减，
由
于是得

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