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2024-2025学年湖北省荆州市成丰学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若准备用个字符给一本书编号，其中可用字符为字母，，，也可用数字字符，，，，，则不同的编号有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 在上为减函数 B. 在处取极小值
C. 在上为减函数 D. 在处取极大值
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知为、的等差中项，为、的等比中项，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
6.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为( )
A. B. C. D.
7.若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.把名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有种．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A. 若、两人站在一起有种方法
B. 若、不相邻共有种方法
C. 若在左边有种排法
D. 若不站在最左边，不站最右边，有种方法
10.已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则( )
A. B.
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为
11.若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由数字，，，组成没有重复数字的四位偶数的个数为 ．
13.已知各项均为正项的等比数列，则 ．
14.已知函数，若，则 ；若函数在单调递增，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
盒子内有个不同的黑球，个不同的白球．
从中取出个黑球、个白球排成一列且个白球两两不相邻的排法有多少种？
从中任取个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
16.本小题分
已知为等差数列的前项和，，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动．
求男生甲或女生乙被选中的概率；
设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的单调区间和极值；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
在的展开式中，前项的系数成等差数列．
求的值；
求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和；
求展开式中含的项的系数及有理项．
参考答案
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15.首先从个白球中取出个进行排列，然后个黑球插在中间三个空内，
则个白球两两不相邻的排法有种；
从中任取个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有类：个黑球和个白球、个黑球和个白球、个黑球和个白球，则共有种取法．
16.设数列的首项为，公差为．
由题意得
解得
数列的通项公式
．
由得，
．
17.某班从名班干部男生人、女生人中任选人参加学校的义务劳动，总的选法有种，
男生甲或女生乙都没有被选中的选法：
则男生甲或女生乙被选中的选法有种，
男生甲或女生乙被选中的概率为；
总的选法有种，男生甲被选中的选法有种，，
男生甲被选中、女生乙也被选中选法有种，，
在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为．
18.解：当时，
，，
所求切线方程为即．
．
当时，由，得；
由，得或．
函数的单调递增区间为
单调递减区间为和．
，
当时，函数的极大值为，极小值为．
在区间上单调递减
当时，取得最大值
当时，取得最小值．
不等式恒成立
解得
故的取值范围是．
19.解：由二项式展开式的通项为，
因为前项的系数成等差数列，且前三项系数为，
所以，即，所以舍去或．
解：当时，可得所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即，且各二项式系数和为．
解：由二项式展开式的通项公式为：，
令，可得，所以含的项的系数为；
设展开式中第项为有理项，由，
当，，时对应的项为有理项，其中有理项分别为：．

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