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松江二中2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，且________．
2．已知等比数列满足，，则________．
3．使不等式（i为虚数单位）成立的实数________．
4．二项式的展开式的常数项是________．
5．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．
6．已知函数，则的值域为________．
7．在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为________条．
8．定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作垂直于轴的垂线，其垂足为．设直线与的图像交于点，则________．
9．已知有5男5女共10名记老参加两会新闻报道，现从中选取8人分配到，两个组，每个组4人，其中组的4人中，要求女性的人数多于男性，组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为________．
10．若不等式对恒成立，则________．
11．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面．坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上．设，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米．
12．在平面中，非零向量，，满足，，则的最大值为________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.
13．已知的面积为，若，，则“为锐角”是“”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ）
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势
B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）
D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）
15．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
16．在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足：①，且；②，有．
则该数表中的10个数之和的最小值为（ ）
A．26 B．22 C．20 D．0
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2．
（1）求该圆锥侧面展开图的圆心角；
（2）设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为．
（1）求的值及的解集；
（2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长．
19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）
某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加．
（1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率；
（2）记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望；
（3）若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点．
（1）若是的左焦点，且，求的值；
（2）设，上存在轴上方一点．若，求的坐标；
（3）设，过的直线与交于、两点（、两点不重合），与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、．若存在直线，满足成立，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设，函数的定义域为．若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”．
（1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由；
①；②．
（2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4. ; 5.; 6.; 7.3; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面．坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上．设，则需要修建的栈道总长度的最小值
为________百米．
【答案】
【解析】连接，由半圆半径为1得：，
由对称性得，，又，，
所以，，易知，
所以的长为，又，故，故，
令，且，则，
所以，
所以栈道总长度最小值．故答案为：．
12．在平面中，非零向量，，满足，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】设，则，，
所以是等边三角形，边长为，设，则，
又，所以，所以是顶角为的等腰三角形，
所以点O在的外接圆上，且，所以的最大值
即外接圆的直径，所以．
二、选择题
13.A 14.C 15.D 16.B
15．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过值域与图像结合的方式可以得到答案
16．在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足：①，且；②，有．
则该数表中的10个数之和的最小值为（ ）
A．26 B．22 C．20 D．0
【答案】B
【解析】由，且，不妨令，则，
由，，得，同时成立，
同时成立，同时成立，
则，；
由，，得，同时成立，
同时成立，同时成立，
则，，
因此，
所以该数表中的10个数之和的最小值为22.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）分布列如下，期望 （3）
0 1 2
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点．
（1）若是的左焦点，且，求的值；
（2）设，上存在轴上方一点．若，求的坐标；
（3）设，过的直线与交于、两点（、两点不重合），与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、．若存在直线，满足成立，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为与的左焦点重合，故，因此．
又因为，而，所以，解得：（负舍）.
（2）因为，又因为，
而，代入解得．
若在第一象限，则，故在第二象限．
设，而，整理可得．
代入椭圆方程，可得：，所以解得（增根舍去），所以．因此．
（3）由题意可知：直线的解析式为，
设直线的解析式为，且、
联立，可得，
根据韦达定理，．
因为两点均在直线的左侧，故
又因为，因此
代入化简可得方程．
设，又因为，故．
①若，而此时在的外部，，故．
若存在，使得，而，
故，可得，故．
②若，此时直线与存在两个交点．若存在，使得，
而，故，可得，故，因此．
综上所述，的取值范围为．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设，函数的定义域为．若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”．
（1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由；
①；②．
（2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．
【答案】（1）①是，②不是 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）①是，因为对任意，所以符合定义；②不是，学生只需举一组反例；
（2）显然，所以设，则，
当时，取最小值，原问题等价于当时，恒成立，
即恒成立，所以得；
（3）证明：充分性：
如果函数为增函数，则对任意的，均有，
即，因此，对任意，若，则，
函数具有性质，充分性得证；
必要性：
若对任意，函数均具有性质，假设函数不是增函数，则存在，满足，即，
取,则显然，
即对于，存在，但是，与＂对任意，函数均具有性质＂矛盾，因此假设不成立，即函数为增函数，必要性得证．
所以＂函数为增函数＂是＂对任意，函数均具有性质＂的充要条件．

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