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浙江省2025年中考数学三轮冲刺【最新中考模拟题】
专项练习 11 填空题
一、填空题
1．（2025·温岭二模）一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　．
2．（2025·义乌模拟）若分式的值为2，则　 　．
3．（2025·杭州模拟）已知点位于第三象限，则a的取值范围是　 　．
4．（2025·义乌模拟）分解因式： =　 　．
5．（2025·上城模拟）2025年3月，国家卫健委联合16部门正式启动“体重管理年”三年行动。陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲。其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动。若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是　 　。
6．（2025·临平模拟）已知关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是　 　.
7．（2025·定海模拟）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如下表：
摄氏温度值 0 10 20 30 40 50
华氏温度值 32 50 68 86 104 122
请推算当摄氏温度为时，华氏温度为　 　．
8．（2025·温州模拟）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则　 　，　 　．
9．（2025·温州模拟）如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长交于点G，连结．若，，则的长为　 　．
10．（2025·温州模拟）方程组的解为　 　．
11．（2025·温州模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·温州模拟）如图，是半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆O于点D，连结，．若，则等于　 　度．
13．（2025·临平模拟）菱形ABCD绕点A 旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在 BC上，B'C'交CD于点E.若AB=2BB'=4，则CE的长为　 　.
14．（2025·临平模拟）为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动.已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率　 　.
15．（2025·临平模拟）一个等腰三角形的顶角为100°，则它的底角度数为　 　.
16．（2025·舟山模拟）如图，在Rt中，，分别以Rt的三边向外作正方形ACFG，正方形BEDC，正方形ANMB，连结NC交AB于点。已知正方形ACFG的面积为4，若为AB中点，则正方形BEDC的面积为　 　。
17．（2025·舟山模拟）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如下表：
摄氏温度值 0 10 20 30 40 50
华氏温度值 32 50 68 86 104 122
请推算当摄氏温度为时，华氏温度为　 　。
18．（2025·舟山模拟）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径DC是直角边BC的两倍，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则的度数是　 　。
19．（2025·舟山模拟）当时，分式　 　。
20．（2025·新昌模拟）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为　 　．
21．（2025·东莞模拟）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则　 　．
22．（2025·临夏模拟）函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
23．（2025·定海模拟）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形，连结交于点H．已知正方形的面积为4，若H为中点，则正方形的面积为　 　．
24．（2025·定海模拟）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是　 　．
25．（2025九下·浙江模拟）如图，在中，．以为边在的同侧作正方形、正方形，则点在上，与相交于点，连接，则　 　．
26．（2025九下·浙江模拟）如图，在四边形中，．若，则的长为　 　．
27．（2025九下·浙江模拟）小明和小华想一起报学校开设的兴趣班，他俩经过讨论发现共同喜爱的不同的兴趣班有4个，而他们只能选择其中一个兴趣班．如果随机报班，那么他俩分到同一个兴趣班的概率是　 　．
28．（2025九下·浙江模拟）已知，则的值为　 　．
29．（2025九下·浙江模拟）如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则　 　．
30．（2025·金华模拟）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　．
31．（2025·金华模拟）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是　 　
32．（2025·金华模拟）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿南偏东方向行走至点处，则的度数为　 　
33．（2025·金华模拟）不等式 的解集是　 　
34．（2025·湖州模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是-5．其中所有正确结论的序号是　 　．
35．（2025·湖州模拟）如图，在中，是BC的中点，是边AB上的一点，点与点＇关于直线DE对称，点恰好在边AC上，连结，则的长是　 　．
36．（2025·湖州模拟）如图，AB是的弦，半径于点，连结OA．若的半径长为的长为，则扇形OAC的面积是　 　（结果保留）。
37．（2025·湖州模拟）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数，方差．若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是　 　．
38．（2025·湖州模拟）当时，分式的值是　 　.
39．（2025·湖州模拟）把角度转化成度的形式：　 　．
40．（2025·富阳模拟）如图是以AB为直径的，点是圆上一点，将圆形纸片沿着AC折叠，与AB交于点，连结CD并延长与圆交于点，若，则的值等于　 　．
41．（2025·富阳模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点要使成立的的取值范围是　 　．
42．（2025·富阳模拟）如图，在矩形ABCD中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．
②作直线MN交CD于点，若，对角线AC的长为　 　．
43．（2025·富阳模拟）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，这个圆锥的底面半径为　 　.
44．（2025·杭州模拟）如图，点P是正方形的中心，过点P的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形．连接，记和的面积分别为，设；
（1）若A，B，Q三点共线，则　 　
（2）正方形和的面积之比为　 　．（用含k的代数式表示）
45．（2025·杭州模拟）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则　 　．
46．（2024·惠州模拟）若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为　 　．
47．（2025九下·金华模拟）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆.若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　.
48．（2025九下·金华模拟）如图，分别在三角形纸板的顶点处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线和，相交于点.则的长度是　 　.
49．（2025九下·金华模拟）不等式的解集是　 　
50．（2025·定海模拟）折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在边上；②把纸片展开并铺平；③把翻折，点落在线段上的点处，折痕为，点在边上，若，，则　 　．
答案解析部分
1．
2．-2
解：由题意得，
两边同乘(a+1)，得a=2(a+1)，
整理得a=2a+2，解得a=-2，
经检验，a=-2时分母a+1≠0，
故答案为：-2.
将分式方程转化为整式方程求解，关键在于去分母，即通过等式两边同乘分母的方式消去分母，得到一个线性方程，再解出未知数；最后需检验解是否使分母为零，确保解的合法性.
3．
解：点位于第三象限，
，
.
故答案为：.
本题主要考查了直角坐标系中各象限点的坐标特征.第三象限内的点横坐标和纵坐标都为负数，基于这个条件，列出关于 a 的不等式，进而求解 a 的取值范围.
4．（m+2）（m﹣2）
解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
5．
解：选择锻炼的运动共有5种等可能结果，其中有氧运动的有3种，
∴ 选中的项目是有氧运动的概率是，
故答案为：.
根据概率公式计算解题.
6．4
解：因为一元二次方程有两个相等的实根
所以
解得
故答案为：4.
根据“ 判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根 ”解答即可.
7．95
8．；
解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
根据轴对称的性质得，，根据平行四边形的性质得，，从而得，进行等量代换后可得，进而由等腰三角形的判定推出，由可设，则，，即可得出，接下来根据相似三角形的判定证明，由相似三角形对应边成比例的性质得出，设，则，求出，最后求出的值.
9．8
解：如图，连接，
∵将沿斜边向右平移得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
连接，根据图形平行的性质得，，然后结合平行线的性质易证四边形为矩形，根据矩形的性质得，从而得，进而求出.
10．
解：，
②-①，得，
解得：，
将代入①，得，
解得：，
∴原方程组的解为，
故答案为：．
直接利用”加减消元法“解二元一次方程组，由②-①求出y的值，将y的值代入①求出x的值，据此即可求解.
11．
解：，
故答案为：．
直接利用”提公因式法“进行因式分解，提出公因式，即可得到答案．
12．130
解：∵切半圆O于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：130．
根据切线的性质得，然后求出，根据等腰三角形”等边对等角“的性质可得，最后再由三角形外角的性质求出的度数.
13．
解：如图，过点C作 交 于点F，
∵菱形. 中，
由旋转可知
又由
，
故答案为：
如图，过点C作 交 于点F，根据等腰三角形的性质得到 根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质得到FC，由旋转可知. 求得 又由 根据相似三角形的性质即可得到结论.
14．
解：列树状图为：
∵共6种等可能的结果，再次选到B的有4种，
∴他再选择B活动的概率是
故答案为：
画树状图得到所有的等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式求解即可.
15．
16．
解：过点A作AP⊥CN于点P，设AN=2a，则AH=BH=CH=a，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵AH=CH，
∴∠ACH=∠BAC，即tan∠ACH=tan∠CAB，
∴，即，
∴，
解得，
故答案为：.
过点A作AP⊥CN于点P，设AN=2a，求出AH和AP长，根据tan∠ACH=tan∠CAB，即可得到，然后求出BC2即可解题.
17．95
解：由表格数据可得摄氏温度每升高10摄氏度，华氏温度值上升18°F，
即 当摄氏温度为时，华氏温度为，
故答案为：95.
根据表格得到摄氏温度每升高10摄氏度，华氏温度值上升18°F，然后列式计算解题.
18．60
解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°， 即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC =∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO =90°，
∵在Rt△AOE和Rt△AOC中，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC(HL)，
∴∠AOE =∠AOC =60°，
∴∠EOD=180°-∠AOE-∠AOC =60°，
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°.
故答案为：60.
首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA， 由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°， 又由AE是切线， 易证得Rt△AOE≌Rt△AOC， 继而求得∠AOE的度数， 则可求得答案.
19．5
解：当x=3时，，
故答案为：5.
直接代入x的值计算解题.
20．
21．3
22．x≥3
解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
根据二次根式 有意义的条件是a≥0，即可求解．
23．
24．
25．
解：过点F作FP⊥CD于点P，则∠FPH=∠FPB=∠ACB=90°，
∵Rt△ABC中，AB=13，BC=5，
∴AC=，
∵四边形ABFG是正方形，四边形ACDE是正方形，
∴∠EAC=∠E=∠D=∠ABF=∠ACD=∠ACB=90°，AG=AB=BF=13，AE=AC=DE=12，
∴Rt△AEG≌Rt△ACB（HL），
∴EG=BC=5，
∴DG=DE-EG=7，
∵∠BAC=∠FBP=90°-∠ABC，AB=BF，
∴△ABC≌△BFP（AAS），
∴PF=BC=5，
∵∠FPH=∠D=90°，∠PHF=∠DHG，
∴△PHF∽△DHG，
∴，
∴
故答案为：.
先利用勾股定理求得AC，再利用正方形的性质，结合全等三角形的判定证明Rt△AEG≌Rt△ACB，根据全等三角形的性质可求得DG，再利用AAS证明△ABC≌△BFP，利用全等三角形的性质可求得PF，再证明△PHF∽△DHG，列出比例式，求得GH与HF的比，再求得三角形的面积比.
26．
解：过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHC=∠AHD=90°，
∵，
∴四边形ACBD是圆内接四边形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵AD=4，BD=2，
∴AB=，
∴，
∵，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴AH=DH=AD=，
∴，
∴CD=CH+DH=.
故答案为：.
先证明四边形ACBD是圆内接四边形，再求出，然后利用勾股定理求得AB，再利用等腰直角三角形的性质求得AC，接着利用勾股定理求得CH，利用等腰直角三角形的性质求得AH，从而可求得CD.
27．
解：设这四个兴趣班分别为A，B，C，D，
画树状图，
共有16种等可能结果，其中他俩分到同一个兴趣班有4种情况，
所以他俩分到同一个兴趣班的概率是，
故答案为：.
先画出树状图，求出所有等可能结果数及符合条件的结果数，再利用概率公式求解.
28．6
解：∵，
∴，
∴，解得：ab=6.
故答案为：6.
将两式相减，减去平方项，得到4ab=24，求出ab的值.
29．104
解：∵是菱形对角线，，
∴∠DAB=2∠BAC=76°，
又四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DCE=∠ABC，
∴∠DCE=180°-∠DAB=104°.
故答案为：104.
先利用菱形的性质求得∠DAB，和AB//CD，AD//BC，再根据平行线的性质，分别得出∠DAB+∠ABC=180°和∠DCE=∠ABC，从而可求得∠DCE.
30．且
解：当恰好经过点C时，符合题意，如图：
此时
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴；
当与相切时，此时与线段只有一个交点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴；
当恰好经过点A时，符合题意，如图：
过点作于点E，
∴，
∴，，
∴，
∴与线段有两个交点，满足的条件是且，
故答案为：且．
当恰好经过点C时，根据求出CB长；当与相切时，根据垂直平分线即可求出BC长；当恰好经过点A时，利用勾股定理求出BC长，然后得到结论即可．
31．
解：如图所示，连接并延长交于点，
∵
∴
∴是直角三角形，
依题意，为的重心
∴
在中，
∴
故答案为：．
先利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得到为的重心，连接并延长交于点，根据勾股定理求得长，根据重心定理解题即可．
32．
解：如图，在点处画出方位，
，
由题意可得，，，
，
，
，
故答案为：．
在点画出方位，根据两直线平行，内错角相等求出∠ABD的度数，然后根据交的和差解题即可．
33．
解：移项，合并同类项得，
两边都除以2，得.
故答案为：.
根据移项，合并同类项，系数化为1解不等式求出解集即可.
34．①④
解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴，故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
先根据表中信息，得出，再根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次判断正误．
35．
解：如图，连结AD，B'D，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=3=BC.
∴AD==4；
∵点B与点B关于直线DE对称，
∴BD= BD'.
∴BD=B'D=CD.
∴∠DBB'=∠DB'B，
∠DB'C=∠C.
∵∠DBB'+∠DB'B+∠DB'C+∠C=180°，
∴∠DB'B+∠DB'C=90°，
即∠BB'C=90°.
∴BB'⊥AC.
∴，
∴BB'=，
故答案为：.
先根据勾股定理可得AD，再由轴对称图形的性质得到BD=B'D=CD，然后由等边对等角和三角形内角和定理可证明BB'⊥AC，利用等面积法可求解.
36．
解：∵的长为，半径于点，
∴，
∵的半径长为，
∴，
∴，
∴，
∴扇形的面积是，
故答案为：．
先根据垂径定理求得AD，再利用解直角三角形求得，然后利用扇形的面积公式计算即可得．
37．甲
解：∵平均数，方差，
∴甲选手的射击成绩更稳定，
∴考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是甲，
故答案为：甲．
利用方差做决策.根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小即可得．
38．
解：把代入，得
．
故答案为：．
把代入计算，求出分式的值．
39．70.5
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
根据，将分转化为度即可．
40．
解：如图所示，连接OC、OE.
点D为线段OB的黄金分割点且
故答案为：.
分别连接，利用半径处处相等结合已知可证明及都是等腰三角形，再利用圆周角定理可证也是等腰三角形，从而利用等量代换及角之间的位置关系可证也是等腰三角形，且与相似，从而利用相似三角形的性质结合等量代换可把的比值转化为线段的黄金比的倒数即可.
41．或
解：观察图象知，在第一象限内，当时，；在第三象限内，当时，.
故答案为：或.
的实质是在图象上寻找直线在双曲线下方时对应的自变量的取值范围，由于直线与双曲线交于A、B两点，即在B点左侧或轴右侧和A点左侧之间这一部分.
42．
解：如图所示，连接AE.
垂直平分
四边形ABCD是矩形
故答案为：.
由尺规作图方法知MN垂直平分AC，则EA等于EC，先在中应用勾股定理求出AD，再在中应用勾股定理即可求得AC.
43．
解：设圆锥的底面半径为，侧面展开图所得的扇形的半径为，则.
故答案为：.
圆锥的侧面展开图所得的扇形的弧长就是其底面圆的周长.
44．（1）
（2）
解：(1)如图，连接BQ，
设BF=x，
由题意可得，，
，，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：.
(2)设AB=m，PF=n，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
(1)设BF=x，当A，B，Q三点共线时，易证，利用相似三角形的性质求得，由勾股定理可得，进而证得，然后计算出四边形GPFB的面积，从而计算出k的值.
(2)设AB=m，PF=n，由题意可得PH=PF=FQ=n，故，，进而得到，再利用 求得，继而得到，而，故可得.
45．4
解：， ，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
.
故答案为：4.
由平行线的性质可得，再通过角平分线的定义证得，进而求得FG的长度，接着利用勾股定理计算出HG的长度.
46．
解：设圆心角为n°．
可得，
解得n=45，
∴该扇形的圆心角度数为45°．
故答案为：45°.
设圆心角为n°．根据弧长公式，列出关于n的方程求解.
47． 且
解：如图1，当时，
点是的中点，
，
此时与线段只有一个交点D；
如图2，当时，作，
，点是的中点，
，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点；
当时，作，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点，
综上所述， 且.
故答案为： 且.
当经过点C时，BD=BC，作，由等腰三角形的性质可得AE、CE的长度，再利用勾股定理求得；当经过点A时，BD=AB，作，由等腰三角形的性质可得AF、CF的长度，再利用勾股定理求得；当时，此时与线段只有一个交点D，利用垂直平分线的性质可得BC=AB=2，综上所述， 且.
48．
解：如图，连接CP并延长交AB于点F，
由题意可得AD、BE、CF都是的中线，
，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
由题意可得AD、BE、CF都是的中线，由的三边长可判定，进而通过勾股定理计算出CF的长度，再利用中线的性质求得CP的长度.
49．x≤-2
解： ，
，
.
故答案为：.
利用不等式的基本性质对不等式进行求解.
50．

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