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浙江省2025年中考数学三轮冲刺【最新中考模拟题】
专项练习 15 解答题
一、解答题
1．（2025·杭州模拟）以下是芳芳解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
2．（2025·温州模拟）如图，已知矩形ABCD，连结BD.
（1）用无刻度直尺和圆规在线段AB，CD上分别作点E，F（保留作图痕迹），连结DE，BF，使得四边形 DEBF是菱形.
（2）在（1）的条件下，若AD=5，AB=12，求EF的长.
3．（2025·乐清二模）如图，在Rt中，，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接AE．
（1）求AC的长．
（2）求的值．
4．（2025·义乌模拟）如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计)；如图2是哥哥和元元两人距学校的距离y（米）与时间（分）之间的函数关系．
（1）请直接写出哥哥与元元两人的速度（米／分）.
（2）根据图象信息，请求出与的值.
（3）求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米.
5．（2025·义乌模拟）随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大.为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调査结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）此次调查中，各企业投放充电桩的总量为　 　万台，扇形的圆心角为　 　度.
（2）某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率．
6．（2025·莲都模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
7．（2025·长兴模拟）已知二次函数（为常数）的图象经过点.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值.
（3）已知点在二次函数的图象上，且，求的取值范围.
8．（2025·婺城模拟）下面是小亮解不等式的过程：
解：去分母，得①
移项，得②
合并同类项，得③
系数化为1，得④
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．
9．（2025·龙港模拟）已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求b，c的值，并写出函数表达式；
（2），在该抛物线上：
①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标；
②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
10．（2025·龙港模拟）某校七年级计划开展“庆六一”趣味比赛，活动设置包粽子、缝沙包、做风筝和剪窗花四个项目，每名学生限选一项参与．为调查报名情况，现随机抽取了A，B两个班级，已知这两个班级人数相同，根据报名数据绘制了如下统计图，
（1）求A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有多少人？
（2）本次参加比赛的七年级学生共有400人，根据统计信息，请估计七年级报名“做风筝”的人数．
11．（2025·萧山模拟）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？
12．（2025·钱塘模拟）已知内接于是的直径，为圆上一点，是的切线，连结，与交于点．
（1）如图1，延长与交于点．
①若，求的大小．
②若，求的半径．
（2）如图2，，延长与交于点，若，求与的面积比．
13．（2025·钱塘模拟）为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生频数分布表
组别 频数
0
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中的值，并直接写出的值．
（2）请估计该校九年级300名学生中的人数．
14．（2025·鹿城模拟）如图，在中，，在边BC上取一点，使得，在AD上取一点，使得，连接CE．
（1）求证：．
（2）若，求CE的长．
15．（2025·萧山模拟）已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式．
（3）已知和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：．
16．（2025·上城模拟）某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力F（单位：N）一定时，木板面积S（单位：m2）与人和木板对地面的压强p（单位：Pa）成反比例。当木板面积为0.2m2时，人和木板对地面的压强为3000PA。
（1）求P关于S的函数表达式：
（2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少
（3）如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要多大？请说明理由。
17．（2025·上城模拟）在中，BE平分，AD是BC边上的高，.
（1）求的度数；
（2）若，，求AC的长度。
18．（2025·上城模拟）用数轴解不等式组.
19．（2025·定海模拟）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成下列题目：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论.
20．（2025·定海模拟）中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一.在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.
类型 人数 百分比
纯电 m 54%
混动 n a%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请计算本次调查活动随机抽取的人数及b的值；
（2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
21．（2025·杭州模拟）设二次函数（a，b为常数，）.已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … -1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1） 若，，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标.
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大.
（2） 当，时，求p的取值范围.
22．（2025·杭州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若，，求线段BE的长.
23．（2025·西湖模拟）设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 …
… 1 …
（1）若，，
①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
（2）当，时，求的取值范围．
24．（2025·拱墅模拟）在直角坐标系中，设二次函数 ，记 为 M， 为 N.
（1） 若 ，，
① 求函数 y 的图像的对称轴；
② 分别求当 x 取函数图象顶点横坐标时，M， N 的值.
（2） 若 M， N 的值互为相反数，说明此时 x 的取值（可用含 a， b， c 的代数式表示）.
25．（2025·拱墅模拟）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（kg）的函数关系如图所示.已知投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg.
（1） 求投放8 kg塑料的奖励积分.
（2） 求a的值.
（3） 若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值.
26．（2025·拱墅模拟）如图，在中，AB=AC，BD，BE分别是边AC上的高线和中线.
（1） 若，求的度数.
（2） 求证：.
27．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
28．（2025·临安模拟）如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
29．（2025·温州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+bx+c（b，c是常数）.
（1）若该函数图象经过点（m， s），（6-m， t），且m+3.
①当s=t时，求b的值.
②当m<3时，s>t，求b的取值范围.
（2）若该函数的最小值为2，求b+c的最小值.
30．（2025·台州模拟）如图，在正方形中，点分别在边上，，在线段上取点，使，连接．
（1）若，，求的长，以及四边形的周长；
（2）设四边形的周长为的长为，求与的数量关系；
（3）可能等于吗？若不能，请说明理由；若能，请求出的值．
答案解析部分
1．解：有错误；
由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集
2．（1）解：如图所示：
（2）解：在矩形中 ABCD，，所以 .
因为四边形 EBFD 是菱形，所以 ，则 .
在 中，，得 ，解得 .
因为菱形EBFD的面积，得，解得
(1)作BD的垂直平分线即可得到；
(2)根据菱形的性质得到，DE=EB，再根据勾股定理即可求出菱形的边长，最后用等面积法即可求解.
3．（1），
．
在Rt中，．
（2）垂直平分AB，
．
设，则，
在Rt中，，
，解得，
．
（1）先根据∠B的余弦求出BC的长，进一步求出AC的长即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质及勾股定理求出CE的长，再结合正切的定义即可解决问题.
4．（1）解：哥哥的速度为：1800÷5=360(米/分)
弟弟的速度为：360÷5=72(米/分)
（2）解：
哥哥追上前：
哥哥追上后：
（3）解：设经过x分钟后，相距648米，
哥哥到家前：(360+72)x=648，
解得
哥哥到家后：1800+9×72-648=(x-9)×(360-72)，
解得
即经过分钟或分钟，相距648米.
(1)根据图中数据找出对应的路程与时间，即可求出速度；
(2)由哥哥速度不变可知哥哥从学校到家与从家再返回学校所用时间相等，由此可得m的值，n时哥哥追上弟弟，根据路程、时间、速度关系可求得n的值；
(3)分哥哥到家前、哥哥到家后两种情况，根据路程、时间、速度关系列方程求解.
5．（1）120；54
（2）解：
（树状图或列表）
解：(1)抽样调查总数量为36÷30%=120(万台)，
选择“E”的有120-30-30-36-6=18(万台)，
，
故答案为：120；54.
(1)从两个统计图中可得样本中选择“B”的有36万台，占调查总数量的30%，根据频率频数即可求出答案；求出扇形E所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
(1)用树状图列举，根据概率公式求解即可.
6．（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，所以，解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；当时，取得最大值为10，
因为，所以的最大值与最小值之差为9．
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
（1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-（-2）=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则， 由于y1＞y2恒成立，所以 ，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则 ，由于y1＞y2恒成立，则 ，再分别解不等式和不等式组即可.
7．（1）解：把点代入，得：，
.
（2）解：平移后抛物线解析式为：，
将代入，可得：（舍去）
（3）解：由题意可知：，
，
，
，
，
.
8．解：∵4x从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号，
∴小明的解答过程从第②步开始出现错误，
3x+12-x+2>4+2
3x-x-4x>2-2-12，
-2x>-12，
x<6.
解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，系数化为1需要注意不等号的方向是否需要改变.
9．（1），，
（2）①；②或
10．（1）人
（2）人
11．（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为
（2）月利润不高于100万元时共经历4个月
12．（1）①；②
（2）
13．（1），，
（2）人
14．（1），
．
，
．
（2），
．
，
．
，
(1)根据SAS可证明结论；
(2)根据(1)的结论可推出结果.
15．（1）对称轴为
当时，
顶点坐标为
（2）由题意得，将代入
二次函数表达式为
（3）证明：．
即
当时，即．
或根据得：
（1）二次函数给定为 ，要求顶点坐标，首先需要将其展开为标准二次函数形式，再利用顶点公式或配方法求顶点坐标.
（2）平移后经过点 ( 0 ， 3 ) ，需先根据平移规则写出平移后的函数表达式，代入点坐标解出 a的值，进而确定原函数表达式；
（3）将A，B两点坐标分别代入二次函数表达式，对m-n的结果进行化简，得到m-n=，结合m16．（1）解：把，代入得，
（2）解：当时
（3）解：当 时，
在第一象限内 p 随 S 的增大而减小，当 时，.
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把s=0.3m2代入，求出p的值即可；
（3）先求出当p=1200时的自变量s的值，然后根据函数的增减性解答即可.
17．（1）解：∵BE平分∠ABC
∴
又∵
∴
又∵AD是BC边上的高
∴
∴
（2）解：在Rt中
在Rt中：
又
（1）根据角平分线的定义得到∠ABD的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余解题即可；
（1）先根据正切的定义求出AD长，然后根据勾股定理求出AC长即可.
18．解：由①得x>-1
由②得x≦2.
不等式组的解为-1＜x≤2
图
先求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的到公共部分，再在数轴上表示解集即可.
19．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
在和中，
，
∴，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形
（3）解：猜想结论：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 ，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
在和中，
，
∴，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
（1）先根据垂直平分线的尺规作图法得过点O且与AC垂直的直线EF，然后连接AF，CE即可；
（2）根据矩形的性质得AB∥CD，从而得∠AEO=∠CFO，同时求出AO=CO，进而证出，得AE=CF，于是证出四边形AECF为平行四边形，结合EF⊥AC，即可得证结论；
（3） 若四边形ABCD是平行四边形，则仍可证出，则过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形.
20．（1）解：根据题意，得本次调查活动随机抽取的人数为：27÷54%=50（人），
∴，
∴b的值为6
（2）解：本次调查活动喜欢”混动“的人数为：n=50-27-3-5=15（人），
∴”混动“类所在扇形的圆心角的度数为：
（3）解：（人），
∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人
（1）先用喜欢”纯电“的人数除以其所占百分比得本次调查活动随机抽取的人数，然后用喜欢”氢燃料“的人数除以本次调查活动随机抽取的人数，再乘以100%即可求出b的值；
（2）先求出本次调查活动喜欢”混动“的人数，然后用360°乘以喜欢”混动“的所占百分比即可得到答案；
（3）用样本估计总体，将总人数5000乘以喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的所占百分比即可得到答案.
21．（1）解：①由题意得 解得
∴二次函数的表达式是
∴顶点为(1，0)；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当 时，y随x的增大而增大；
（2）解：当 时，
则 ，
(1)①利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
②利用二次函数的性质得出结论；
(2)根据题意则 ，两式相减得 即可得到 进而得到结论.
22．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：
∵点E为AO的中点，
(1)由平行四边形的性质可求得 ，再结合E、F为中点，可求得 则可证得四边形EBFD为平行四边形；
(2)根据勾股定理求出 再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可.
23．（1）①二次函数的解析式为，该函数图象的顶点坐标为；②当时，随的增大而增大；
（2）．
24．（1）解：①，
对称轴：；
②，，
当时，，
（2）解：，
，
，
解得：
(1)①依据题意， 由 ，从而可得对称轴是直线 进而得解；
②依据题意，当 时， 进而可以得解；
(2)依据题意，由M，N的值互为相反数，可得 即 进而计算可以得解.
25．（1）解：投放塑料超过5kg后，奖励积分为(300-100)÷(10-5)=40(分/kg)，
100+40×(8--5)=220(分)。
答：投放8kg塑料的奖励积分为220分
（2）解：，
解得a=18
（3）解：①当时，，无解；
②当时，，
解得；
③当时，，
解得 ；
综上，或
(1)求出投放塑料超过5kg后每千克的奖励积分，从而计算投放8kg塑料的奖励积分即可；
(2)根据题意列关于a的方程并求解即可；
(3)按照m不同的取值范围，根据题意列关于m的方程并求解即可.
26．（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC =∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°， 且∠A =40°，
∴2∠C+40°=180°，
∴∠C=70°，
∵BD是边AC上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠C=20°，
∴∠CBD的度数是20°
（2）证明：在AD上取一点F， 使FD=CD， 连接FB， 分别取AB、FB的中点H、L， 连接EH、DL、HL，
∵BE是边AC上的中线，
∴点E是AC的中点，
∴EH∥BC， 且
且
且.
∴四边形DEHL是平行四边形，
(1)由AB=AC， 得∠ABC =∠C， 而∠A =40°， 所以2∠C+40°=180°， 求得∠C = 70°， 因为BD是边AC上的高， 所以∠BDC=90°， 则∠CBD=20°；
(2)在AD上取一点F， 使FD=CD， 连接FB， 分别取AB、FB的中点H、L， 连接EH、DL、HL，因为BE是边AC上的中线，所以点E是AC的中点， 则EH∥DL∥BC， 且. 所以四边形DEHL是平行四边形，则HL=DE，所以AF=2HL=2DE， 即可证明结论.
27．（1）
（2）或
28．（1）3
（2）或
29．（1）解：①解：当s=t时，(m，s)，(6-m，t)是一组对称点，
由抛物线的轴对称性可得，
对称轴为直线，解得.
②解：点(m，s)关于直线的对称点的坐标为(-m-b，s)，
因为m<3，所以m<6-m.
因为s>t，所以m<6-m<-m-b，解得b<-6
（2）解：当时，，得.
则，
所以当b=-2时，b+c取得最小值1
(1)①利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，通过两点纵坐标相等确定对称轴位置，进而求出参数b；
②通过比较两点函数值大小，结合开口方向分析点与对称轴的距离关系，转化为不等式求解b的范围；
(2)利用二次函数顶点公式表示c，将b+c转化为关于b的二次函数，通过求顶点确定最小值.
30．（1）解：
又
又，
，即，
，
四边形的周长为
（2）解：设，
由（1）得，，

（3）答：能，理由如下：
设，则，
若，则
列方程，得，解得
（1）由一线三等角模型可证明，再由相似比可求出，进而得出长度．再由勾股定理分别计算和的长度，最后即可求出四边形的周长．
（2）设，即，则由（1）的结论可知，由相似比可得，即；再由勾股定理得，等量代换得，将四边形的各边转化为得出 ．
（3）设，，依据直角三角形中角所对直角边是斜边一半的性质得到 ，则，由（1）的结论得，则 ，求解方程并结合舍去不符合条件的值，最后根据正切函数定义．求出的值．
（1）解：
又
又，
，即，
，
四边形的周长为
（2）解法1：设，
由（1）得，，
解法2：
连接，
（3）设，则，
若，则
列方程，得，解得

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