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浙江省2025年中考数学三轮冲刺【最新中考模拟题】
专项练习 16 解答题
一、解答题
1．（2025·宁波模拟） 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数的图象和性质，并交流了自己的学习成果.
（1） 甲同学的说法：当和时，函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由.
（2） 乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现，求出此时a的值.
（3） 丙同学的探索：若，当时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的结论，求出a的取值范围.
2．（2025·西湖模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，．
（1）求函数，的表达式．
（2）当时，比较与的大小．（直接写出结果）
（3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
3．（2025·杭州模拟）如图，是等边三角形，分别延长，到点使，连接，连接并延长交于点G．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
4．（2025·温州模拟）一辆快车和一辆慢车在相距16km的A，B两站点间往返载客，两车均在每天早上8：00从A站出发，快车中途不停靠，慢车仅在A，B两站的中点C站点停靠上下客，设两车行驶速度不变，在各站点停靠时长相同，两车离A站的路程为S（km），经过的时间为：（min），上午发车后慢车第一个往返期间两车行驶如图所示.
（1）求慢车、快车的速度和他们第一次停靠的时长.
（2）求慢车和快车出发后第一次相遇时离A站的路程，
（3）慢车和快车第一次相遇后，经过多少时间两车再次相遇？
5．（2025·温州模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是线段AB，AC的中点，连结DE并延长至点F，使DE=EF，连结FC.
（1）证明：四边形DFCB是平行四边形.
（2）若BC=BA=6，求四边形DFCB的周长.
6．（2025·台州模拟）已知二次函数（常数）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若．
①当时，该函数的最小值为，求的值；
②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系．
7．（2025·拱墅模拟）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（）的函数关系如图所示．已知投放纸张超过后，奖励积分为25分/．
（1）求投放塑料的奖励积分．
（2）求a的值．
（3）若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值．
8．（2025·余杭模拟）已知抛物线．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）直线与该抛物线相交于，两点．
①若，求的值．
②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围．
9．（2025·衢州模拟） 2024 年“有礼杯”衢州马拉松于 11 月 24 日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛.小明以一定的速度跑到 3000 米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点 500 米处因体力不支，最终以 100 米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了 5 分钟后，以原来的倍的速度冲向终点.下图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程 s（米）和跑步时间 t（分）的函数关系图.根据图象回答下列问题：
（1） 求 a 的值；
（2） 求图中线段 BC 对应的函数表达式；
（3） 求小聪休息前的速度.
10．（2025九下·丽水模拟）已知二次函数y=ax2-2ax+4，其中a≠0。
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x1，y2）两个定点，其中x1（3）若a=1，当t-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值。
11．（2025九下·丽水模拟）某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间t（小时）随机抽取了本校部分学生进行问卷调查。要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数。
12．（2025·绍兴模拟） 若对于y关于x的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d.
（1）若，求d的值；
（2）若，
①若点，均在函数y的图象上，当的值最大时，求d的值；
②当时，求t的值.
13．（2025·临平模拟）某教育评测机构从“课程”“师资”“教学”“体验”四个方面对A，B两家在线教育平台进行测评（单位：分).其中“体验”分为网友满意度问卷调查得分(组织网友问卷调查，随机抽取若干份问卷，每票计0.1分)绘制成如下统计图和统计表。根据图表信息解决问题：
调查问卷 你最喜欢的在线教育机构（单选) ①A在线教育平台 ②B在线教育平台 ③其它
测评机构测评情况统计表
课程 师资 教学 体验
A平台 7 9 8 9.8
B平台 9 8 7 ____
（1）随机抽取了多少份网友调查问卷？
（2）若“课程”“师资”“教学”“体验”按2：3：3：2的权重，从A，B两家在线教育平台中挑选一家学习，你会推荐哪一家，为什么？
14．（2025·舟山模拟）已知二次函数
（1）当时
①求二次函数图象与轴的交点坐标；
②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值。
（2）若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：。
15．（2025·德阳模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
16．（2025·定海模拟）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为，并测得A，B两点之间的距离为米．已知点A，M，B依次在同一直线上．
（1）求钟楼的高度；
（2）学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段上）．小聪测得点C处的仰角等于，求的长为多少米？
（参考数据：，结果精确到米）
17．（2025九下·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点．
（1）若的面积为6．
①求反比例函数的表达式．
②当时，求自变量的取值范围．
（2）已知，求的长．
18．（2025·富阳模拟）某中学为了了解八年级学生参加志愿者活动次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4，根据以上数据，得到如下不完整的频数表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 6 2
（1）表格中　 　，　 　．
（2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为　 　次，中位数为　 　次.
（3）若该校八年级学生共有600人，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动次数4次及以上的人数。
19．（2025·富阳模拟）在中，．
（1）求的度数．
（2）求的面积．
20．（2025·杭州模拟）已知二次函数（k为常数）．
（1）用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；
（2）当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）当时，该函数有最小值，求k的值．
21．（2025·杭州模拟）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
22．（2025九下·金华模拟）在平面直角坐标系中，抛物线过点
（1）请用含的代数式表示.
（2）若该抛物线关于轴对称后的图象经过点(3，0)，求该抛物线的函数表达式.
（3）当时，对于每一个的值，始终成立，试求的取值范围.
23．（2025九下·金华模拟）如图1，两个实心直棱柱叠成的“几何体”水平放置在直棱柱容器内，三个直棱柱底面均为正方形.现向容器内匀速注水，注满为止.在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图2.已知容器底面边长为.
（1）容器内“几何体”的高度是多少 水淹没该“几何体”需要多少时间？
（2）求注水的速度.
（3）求直棱柱的底面边长.
24．（2025九下·金华模拟）如图，在矩形中，，点分别在边上，满足.
（1）求证：.
（2）若，求的长.
25．（2025九下·金华模拟）某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表(单位：分)，200名学生逐委进行投票推荐，每人选择其中一个，得到扇形统计图.
教师评委量分统计表
组别 运动 感知 协同
甲 85 88 90
乙 88 83 82
丙 83 80 80
学生评委投票结果扇形统计图
推选方案：
①学生评委投票，每票记1分
②将运动、感知、协同和学评委投票得分按 3：2：2：3的比例确定总成绩；
③推荐总成绩最高的。
（1）求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？
（2）丙成绩明显最低，已求得甲总成绩为80.9分，现要从甲、乙两个机器人中选择参加去解。比赛，你认为推选哪个？为什么？
26．（2025九下·金华模拟）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
先化简，再求值：，其中.
解：原式
②
③
当时.原式
27．（2025·定海模拟）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点．
（1）填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______；
（2）如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点．
①当时，求的值；
②设，，求y与x的函数关系式．
28．（2025·嘉善模拟）已知二次函数．
（1）求函数图象的对称轴；
（2）若，当时，函数的最大值为8，求实数的值；
（3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围．
29．（2025·镇海区模拟）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
（2）当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
（3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
30．（2025·镇海区模拟）家庭作业：计算．
小荃计算结果是；小翼计算结果是0．
你认为他们两人谁得到的结果正确？请你写出正确的计算过程．
答案解析部分
1．（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=0和x-2时，函数值相等，甲同学说法正确
（2）解：∵抛物线顶点坐标为(1，-1)，
∴顶点到x轴的距离为1，由条件可知a>0，三角形的另两个顶点的纵坐标都为1，
∴题设中的三角形是高为2，底边长为3的等腰三角形，
∴底边顶点坐标为(，()，
代入得，
∴
（3）解： ∵，抛物线顶点坐标为(1， -1)，
∴当时，，
∴4个不同的整数值为-1， 0， 1， 2，即，
∴
(1)根据对称轴计算公式求出对称轴为直线x=1，据此可得结论；
(2)求出顶点坐标为(1，-1)，则可推出纵坐标为1的有两个点，再根据三角形面积公式可得纵坐标为1的两个点的距离为3，则可推出在二次函数图象上，据此利用待定系数法求解即可；
(3)根据增减性可求出当02．（1），；
（2）当时，；
（3）点的坐标为或．
3．（1）解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形.
（2）解：如图，作，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
.
(1)利用等边三角形的性质可得，，进而证得，，再通过 SAS判定，得到，即可证得是等边三角形.
(2)由AD=DF可得，故，再通过含角直角三角形的性质求得CM、FM的长度，然后利用得到，进而计算出FG的长度.
4．（1）解：慢车速度为；快车速度为，他们第一次停靠的时长为（分钟）
（2）解：由题意得，当时，
慢车离A站的路程S关于t的函数表达式为，
快车离A站的路程S关于t的函数表达式为，
由
解得
.
所以第一次相遇时离A站的路程为km
（3）解：由（2）得，.
由题意可得函数图象关于直线对称，，是一组对称点.
所以，解得.
所以.
答：第一次相遇后，经过24分钟后两车再次相遇.
(1)根据速度=路程÷时间，列式计算即可求解；
(2)利用待定系数法求一次函数解析式，再联立方程即可求解；
(3)第一次相遇后，根据函数图象可得关于直线对称，进而即可推出结论.
5．（1）解：证明：因为D，E分别是线段AB，AC的中点，
所以DE//BC，BC=2DE.
因为DE=EF，所以DF=2DE=BC，
所以四边形DFCB是平行四边形
（2）解：在四边形 中，，，则四边形 DFCB的周长
(1)根据题意，我D，E分别是线段AB，AC的中点，DE=EF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以证明四边形DFCB是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质，得出各边的长，再根据周长公式即可求解.
6．（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
（2）解：①，∴抛物选开口向上，
，
∴当时，该函数最小值为
∵该函数的最小值为，
，
∴，
②抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等
当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意）
当时，
当时，
∵两个函数的最小值相等，
，即
（1）二次函数的对称轴为；
（2）①由于二次项系数，则抛物线开口向上，函数有最小值，即当时，该函数最小值为，求解即可；
②由对称轴在直线与之间可知当或时，即当和同号时，若两条抛物线的顶点相同，即（不合题意）；则只能，此时分别求出最小值即可求解．
（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
（2）解：①，
∴抛物选开口向上，
，
∴当时，该函数最小值为
∵该函数的最小值为，
，
∴，
②抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等
当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意）
当时，
当时，
∵两个函数的最小值相等，
，即
7．（1）解：投放塑料超过后，奖励积分为（分/），
（分）．
答：投放塑料的奖励积分为220分；
（2）解：根据题意，得，
解得；
（3）解：投放纸张不超过，奖励积分为（分），投放塑料不超过，奖励积分为（分），
当时，得，
解得（舍去），
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
∴m的值为或．
（1）根据函数的图象求出投放塑料超过后每千克的奖励积分，然后计算投放塑料的积分解答；
（2）列一元一次方程解答即可；
（3）根据m的不同的取值范围，列关于m的一元一次方程解答即可．
（1）解：投放塑料超过后，奖励积分为（分/），
（分）．
答：投放塑料的奖励积分为220分；
（2）解：根据题意，得，
解得；
（3）解：投放纸张不超过，奖励积分为（分），
投放塑料不超过，奖励积分为（分），
当时，得，
解得（舍去），
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
∴m的值为或．
8．（1）
（2）①；②
9．（1）解： ；
（2）解：解法一：由题意得：
所以点B的坐标为(25， 3000)，点C的坐标为(37.5， 5500)
设线段BC的解析式为，由题意得：
，
解得，
所以线段BC的解析式为：
解法二：由题意得：当时，，
设线段BC的解析式为.，把点C的坐标(37.5， 5500)代入求解.
（3）解：当时，.
设小聪休息前的速度为v米/分，得：
解得：v=150，
经检验v=150是原方程的解，
答：小聪休息前的速度为150米/分.
10．（1）解： 二次函数y=ax2-2ax+4 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a，
∴对称轴直线为：；
（2）解：令a分别等于，得：；，
联立两式子得：，
化简得：，
∵x1，的值与a无关
，，
；
（3）解：当 时，抛物线的解析式为，对称轴为直线x=1
∴当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；
分类讨论：
①当 时，
当x=t-1时，函数取最大值为，
当x=t时，函数取最小值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
②当t-1≥1时，即 时，当x=t-1时，函数取最小值为，
当x=t时，函数取最大值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
③当时，函数最大值为，最小值为；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
④当 时，函数最小值为，最大值为 ；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
综上所述 或 .
（1）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为：，据此求解即可；
（2）令a分别等于a1、a2，代入抛物线后联立两式可得，由题意可得x1，x2的值与a无关，据此可得x(x-2)=0，求解得出x1与x2的值，再代入待求式子即可可得答案；
（3）将a=1代入抛物线的解析式并配成顶点式可得y=(x-1)2+3，可得抛物线开口向上，对称轴直线为x=1，故当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；然后分类讨论：①当t≤1时，②当t≥2时，③当1＜t≤时，④当＜t＜2时，四种情况分别根据函数的增减性表示出最大及最小值，结合 该二次函数的最大值与最小值的差为2建立方程，求解并检验可得答案.
11．（1）解：本次调查抽取的学生总人数为：18÷30%=60（人）；
（2）解： 该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数为：1800×=（人）.
（1）根据统计图表提供的信息，用选择B选项的学生人数除以其占比可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数所占的百分比即可估算出该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数 .
12．（1）解：因为，所以y随x的增大而增大，
所以.
（2）解：①，
所以取到最大值时，此时，
所以此范围内最大值为2，最小值为，所以.
②当时，，所以.
当，，
所以（舍去）；
当，，
所以（舍去）；
当，即时，，
所以；
综上，或.
（1）根据一次函数的增减性解题即可；
（2）①把点A、B的坐标代入，得到m+n关于t的二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值即可；
②分为，，和四种情况，利用函数的增减性得到方程，求出n的值即可.
13．（1）解：由题意得： (份)，
B平台的“体验”分为： (分)，
答：随机抽取了200份网友调查问卷
（2）解：我会推荐A平台，理由如下：
A平台得分为： (分)；
B平台得分为： (分)
∴我会推荐A平台
(1)用A平台“体验”分除以0.1可得A平台的人数，再除以其所占百分比可得随机抽取的份数；求出B平台的分数可得B平台的“体验”分；
(2)根据加权平均数解答即可.
14．（1）解：①当 时，二次函数为
令 则
，
∴或
解得 或
所以二次函数图象与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)；
②因为 所以 ，
当 时，二次函数为 ，
，
)
整理后可得： ，
∵二次项系数 ，所以二次函数图象开口向上，
当 时， 取得最小值为 ；
（2）证明：∵抛物线的对称轴为直线， 点在对称轴的左侧，
∴a+1把和 代入解析式即可得到，
，
∴，
∴p(1)①要求二次函数与x轴的交点坐标，令 解一元二次方程即可；
②先根据 将b用a表示， 再把a、b代入二次函数求出 的表达式，最后根据二次函数的性质求最小值；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x=m得到a15．（1）解：设二次函数的解析式为，
∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵点B平移后的点的坐标为，
∴，
解得：或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
（1）先根据对称轴设出二次函数关系式，再将A点坐标代入求出二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，可得到关于m的方程求解；
（3）分""，""，“”，分别建立方程求解，求出n的 取值范围 ．
（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
16．（1）17.3米
（2）1.3米
17．（1）解：①由题意，设点C的坐标为C（a，b)(a>0，b>0)，
∵CE⊥x轴于点E，
∴OE=a，CE=b，
∵△OCE的面积为6，
∴OE·CE=ab=6.
∴ab=12，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=ab=12，
∴反比例函数的表达式·
②当y=4时，x==3，
∵反比例函数中的12＞0，x＞0，
∴反比例函数的图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当y≤4时，x≥3.
（2）解：∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴k>0，
∵点C，D都在反比例函数y=(x＞0)的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，CE=4，BD=4/3，
∴C(，4).D(，)
∴OE=，OB=，
∵CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，
∴CE Il DB，
∴△OAB~ △OCE，
∴，
∴，
∴AB=12.
（1）①设点C的坐标为C（a，b)（a>0，b>0)，根据三角形的面积公式可得ab=12，再将点C（a，b)代入反比例函数的解析式即可得；②先求出当y=4时，x的值，再根据结合函数图象即可得；
（2）先得出k>0，再用k表示出C，D的坐标，然后用k表示出OE，OB，再证明OAB～OCE，根据相似三角形的性质求解即可得.
18．（1）4、；5、
（2）4；4
（3）解：
答： 八年级学生参加志愿者活动次数4次及以上的人数为390人，
（1）直接观察抽样数据可分别得出和的值；
（2）由众数是一组数据中重复出现次数最多的数据可得众数为“4次”，由于频数表已对数据的大小进行了排序，可直接找出第10个和第11个数据都在次数为“4次”这一组，则中位数就是这两个数据的平均值即“4次”.
19．（1）解：中，、
答：的度数为；
（2）解：中，、
答：的面积为.
（1）直接解即可求出的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可；
（2）由于求得的度数是特殊角，可利用其正切三角函数求出其所对的直角边BC，最后直接利用面积公式计算即可.
20．（1）解：
.
（2）解：，
当时，y随x的增大而减小 ，
.
（3）解：当k<0时，
当时，该函数有最小值，
当x=0时，y=k=-1；
当时，
当时，该函数有最小值，
当x=k时，，解得(舍去)；
当k>3时，
当时，该函数有最小值，
当x=3时，，解得(舍去)，
综上所述，k=或.
(1)利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标.
(2)由二次函数的性质可得当时，y随x的增大而减小 ，故.
(3)利用二次函数的性质对k的取值范围进行分类讨论，当k<0时，当x=0时，y有最小值，解得k=-1；当时，当x=k时，y有最小值，解得(舍去)；当k>3时，当x=3时，y有最小值，解得(舍去)，综上所述，k=或.
21．解：同意.
，
，得，
，
，
.
利用加减消元法得到等式，进而证得x=y.
22．（1）解：由题意得
，
（2）解：该抛物线关于轴对称后的图象经过(3，0)，则对称前该抛物线经过点(-3，0).
设，将(-2，-3)代入，得，解得.
该抛物线的函数表达式为.
（3）解：.
记，图象对称轴直线，
当时，如图1，当时，随的增大而增大.
当时，，则成立.
即，解得，所以.
当时，如图2，当时，随的增大而减小.
当时，，则成立.
即恒成立.所以或时，始终成立.
(1)将点 代入函数解析式，再利用加减消元法求得b关于a的关系式.
(2)由轴对称的性质可得对称前该抛物线经过点(-3，0)，故可将原函数解析式化为交点式，将(-2，-3)代入解得a的值，即可得到函数解析式.
(3)由(1)可得，变形得，可得图象对称轴直线，当时，在范围内，随的增大而增大，要使始终成立，则；当时，如图2，在范围内，随的增大而减小，恒成立，故当或时，始终成立.
23．（1）解： 容器内“几何体”的高度是9cm，水淹没该“几何体”需要10s时间.
（2）解：设匀速注水的水流速度为 ，
段： 注满用时 ( )，这段高度为 ，
，解得 .
所以注水的速度为
（3）解：设 所在直线的函数表达式为 ，过点(10，9)，(7，7).
当 时，直棱柱 的高度为 .
设直棱柱 底面的边长为 . 则 ，解得 .
所以，直棱柱 的底面边长为 .
(1)观察图象可得容器内“几何体”的高度是9cm，水淹没该“几何体”需要10s时间.
(2)设匀速注水的水流速度为 ，由图象可得段注满用时12s，水面高度为3cm，根据水的体积可列出方程 ，解得 ，故注水的速度为 .
(3)设 所在直线的函数表达式为 ，利用待定系数法解得k、b的值，进而求得点A坐标，即可得到直棱柱 的高度为5cm，设直棱柱 底面的边长为 ，再通过水的体积列出方程 ，解得 ，故直棱柱 的底面边长为 .
24．（1）证明： 矩形 ，
.
（2）在 Rt 中， .
，
.
.
，即 .
(1)由矩形的性质可得，又有，进而证得.
(2)由勾股定理计算出AF的长度，再利用余角的性质可得，通过等量代换得到，进而证得，然后通过相似三角形的性质求得AE的长度.
25．（1）解：甲得票数： (票)，
乙得票数： (票)
（2）解：乙总成绩： (分)
甲组总成绩 乙组总成绩，
推荐乙组参加市级比赛.
(1)利用扇形统计图中的百分比计算出学生评委投给甲和乙两个机器人的票数.
(2)根据统计表中乙的各项成绩按照得分比例计算出乙的总成绩，可得甲组总成绩 乙组总成，故推荐乙组参加市级比赛.
26．解：错误的：①.
正确的解答： 原式
当 时，原式
观察解题过程可知小明的第一步计算就错了，正确步骤应该进行通分，再进行同分母的分式加减运算，化简后代入a的值计算出代数式的值.
27．（1）5，，2，2
（2）①；②y与x的函数关系式为
28．（1）解：对称轴直线为：
（2）解：∵，∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称直线为，
∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值，
即，
解得：，负值舍去
（3）解：当时，则，
顶点坐标为：当时，，
则在时，最小值为，
即，
解得：，或（舍去），
∴仅当时，即时，此时最小值为，
最大值为时，即，
∵当时，总有，
∴当时，即时，，
令，
解得：，，
∴．
（1）代入对称轴公式计算解题．
（2）由抛物线开口向上，利用抛物线的对称轴，结合二次函数性质得到最大值，列方程解题即可．
（3）把代入求出抛物线的解析式，先求出y=-7时自变量x的值，最大值为时n=5，根据二次函数的增减性解题即可．
（1）解：对称轴直线为：
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称直线为，
∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值，
即，
解得：，负值舍去
（3）解：当时，则，顶点坐标为：
当时，，
则在时，最小值为，
即，
解得：，或（舍去），
∴仅当时，即时，此时最小值为，
最大值为时，即，
∵当时，总有，
∴当时，即时，，
令，
解得：，，
∴．
29．（1），，
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
（1）
解：由题意可得y1=y2，
∴，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，.
（1）联立与，得，整理得，根据两个函数相切可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求解；
（2）由（1）得，要使成立，则，整理得，由偶次方的非负性并结合不等式的性质可得，对、的两组值进行验证，即可求解；
（3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值．
（1）解：联立与，得：
，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
30．解：小翼的结果正确，理由如下：
，
答：小翼得到的结果正确．
根据绝对值的非负性先化简绝对值，然后合并同类二次根式即可求解．

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