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浙江省2025年中考数学三轮冲刺【最新中考模拟题】
专项练习 19 解答题
一、解答题
1．（2025·杭州模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，b是常数，）的图象交于点A(1，4)，B(-2，t).
（1） 求函数，的表达式.
（2） 当时，比较与的大小.（直接写出结果）
（3） 若点C在函数的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标.
2．（2025·宁波模拟）在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，飞机停止表演.甲从起点出发，先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒，然后以a米/秒的速度继续匀速飞行.乙在甲出发20秒后起飞，以b米/秒的速度匀速飞行，乙出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米.如图，折线OAB，线段CD分别表示甲、乙的飞行高度s(米)与甲飞行时间t(秒)之间的函数图象.请结合图象解答下列问题.
（1） a=　 　，　 　；
（2） 分别求出线段AB，CD对应的函数表达式.
（3） 当两架无人机之间的飞行高度不超过20米时，能形成特定的表演效果.求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围.
3．（2025·西湖模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示．
解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
4．（2025·鹿城模拟）已知抛物线（a，b为常数）经过点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当时，记函数的最大值为，最小值为．
①当时，求的值．
②当时，求证：．
5．（2025·台州模拟）某公司开发了一款，为了解用户对该款的满意度，随机抽取部分使用过这款的用户进行调查．满意度分为5个等级，分别为：1星，2星，3星，4星，5星．现将收集到的数据整理后描述如下：
用户满意度扇形统计图
用户满意度频数分布表
满意度 低于3星 3星 高于3星
频数 36 99
请根据上述信息回答问题：
（1）抽取的用户有多少人？
（2）_______；
（3）满意度低于3星表示用户不满意．据后台统计，有10000人使用过这款，请估计这些用户中不满意的人数．
6．（2025·萧山模拟）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？
7．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E， F， ，连接AE， AF， .
（1） 判断的形状，并说明理由.
（2） 求证：.
（3） 若， ，求线段CF的长.
8．（2025·温州模拟）某校计划开展“数学嘉年华”活动，每个学生参加一个项目，挑战成功即可获得“小数学家”微章，为了解各项目所需道具和徽章数量，数学组老师们随机抽取100名学生提前参与活动，并记录各项目的参与人数和挑战成功人数，制成如下统计图表.
根据图表信息，解答以下问题：
（1）通过计算比较，项目A和项目B中，哪个项目挑战成功的可能性更大.
（2）某学校共有1000名学生，根据统计信息，估计挑战成功获得徽章的学生人数.
9．（2025·拱墅模拟）某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟．
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表
组别（分钟） 频数
0~20 32
20~40 48
40~60 60
60~80
80~100 20
（1）求a的值，并补全频数直方图．
（2）写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由．
10．（2025·宁波模拟） 小宁同学按如下步骤作四边形 ABCD：①画；②以点 A 为圆心，3cm长为半径画弧，分别交 AM， AN 于点 B， D； ③分别以点 B， D， 为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点 C；④连接 BC， DC.
（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形.
（2） 连结 BD，若 ，求四边形 ABCD 的面积.
11．（2025·余杭模拟）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象．
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求的值．
（2）当时，求关于的函数表达式．
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量．
12．（2025·嘉兴模拟）已知二次函数（b，c为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点，．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向左平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求m的值．
（2）若二次函数的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当时，该二次函数的最大值是2，求b的值．
13．（2025·文成二模）小文和小成两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小文全程匀速跑，5分钟后小成才开始出发，第一次与小文相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米／分钟，结果小成比小文提前4分钟到达．小文和小成的行程相关信息如表所示；离出发地的距离（米）与小文、小成跑步时间（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 行程里程（米）
小文 9：00－10：00 不分段 5400
小成 9：05－9：56 第一段（休息前） 1800
休息
第二段（休息后） 3600
（1）分别求出小文匀速和小成第一段的跑步速度．
（2）求小成中间休息的时间．
（3）在分钟时两人第二次相遇，求的值．
14．（2025·文成二模）九年级（1）（2）两个班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．已知比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．两个班的得分信息如下表：
九（1）班成绩统计表
得分 0 5 10 15 20
人数 2 4 a b c
九（2）班成绩统计表
平均分 中位数 众数 满分率
14.25 10 10 45%
（1）分数10，15，20中，每人得分不可能是 ▲ 分．
（2）已知九（1）班成绩的中位数是15分，求和的值．
（3）在（2）的情况下，你认为哪个班级成绩更优秀？请从平均分、中位数、众数和满分率四个方面作出评价．
15．（2025·文成二模）如图，在中，为CD的中点，连结．
（1）求BC的长．
（2）求的值．
16．（2025·椒江二模） 已知二次函数 （b为常数）的对称轴是直线 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）当 时，求 y 的取值范围；
（3）若点 ，，）均在该函数的图象上，求证：.
17．（2025·椒江二模）如图1，小明家A到公园D经过三段不同的路，其中A→B，B→C，C→D分别为上坡、平路、下坡路段.用t（单位：min）表示小明离家的时间，用s（单位：m）表示小明离家的路程，图2表示小明离家的路程s与时间：的对应关系。
（1）小明上坡平均速度为　 　m/min，下坡平均速度为　 　m/min；
（2）求小明从家到公园的过程中离家1000m所用的时间；
（3）若小明到达公园后随即原路返回到家，且上坡、平路、下坡的平均速度不变，请
直接在图2中补全图象.
18．（2025·玉环二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中．
（1）求的面积；
（2）请根据图象直接写出不等式的解集．
19．（2025·玉环二模）如图1，在中，是BC的中点，点，点分别在AB，AC上，连结DE，DF.
（1）若求证：.
（2）如图2，在(1)的条件下，连结EF，若，求DE的值.
20．（2025·温岭二模）已知抛物线（b，c为常数），经过点．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点是抛物线上的两点，且对于任意的实数，不等式；恒成立．若时，求的取值范围．
21．（2025·温岭二模）为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时与的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需 ▲ 小时．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时1h，求的值．
22．（2025·温岭二模）随着科技发展，AI的诞生为我们的生活带来很多的便利，相关人员对“DeepSeek”软件开展了使用满意度测评，并从中抽取20份数据并进行整理、描述和分析，评分用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出20份数据的扇形统计图和“满意”等级的具体数据：86，88，87，89，86，88，89，90.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：①“满意”评分的数据中，中位数为 ▲ ，② ▲ ％；
（2）本次调查中，有240名用户对软件进行了评分，估计其中对“DeepSeek”非常满意的用户总人数．
23．（2025·普陀二模） 已知二次函数y=（x-m）（x-m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，-1）
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（-1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K>0）个单位长度后，落在二次函数y=（x-m）x-m+2）图象上，求K的值。
（2）若该函数图象经过点（2m-1， a）与点（3m-4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a。
24．（2025·普陀二模）在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
（1）把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。
25．（2025·普陀二模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军。为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A.8下面给出了部分信息：
C组的数据是：9.1，9.2，9.3， 9.3，9.3， 9.3， 9.4， 9.4。
（1）求出C组数据的中位数和众数；
（2）补全条形统计图；
（3）若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（x>9.2）的观众人数是多少
26．（2025·乐清二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到； ②保持进行加工。 ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
27．（2025·乐清二模）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩被制成折线统计图与表格：
甲、乙两名队员射击成绩的折线统计图
甲、乙两名队员射击成绩分析表
平均数／环 中位数／环 众数／环 方差／环
甲 2.36
乙 7.8 8 9 2.96
（1）表格中甲队员射击成绩三项统计量被遮挡住了，请求出甲队员射击成绩的平均数，中位数和众数。
（2）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？请根据表格中统计量，并结合折线统计图分析说明理由．
28．（2025·长兴模拟）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）.小兴从景点出发，步行3500米去景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从景点出发，步行1500米到达景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达景点.两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示.
（1）求的值，并说出的实际意义；
（2）求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式（不必写出的取值范围）；
（3）请求出两人在途中相遇时的时间（分）的值.
29．（2025·长兴模拟）如图，在中，于点.
（1）求AD的长；
（2）若，求的值.
30．（2025·婺城模拟）如图，在中，，点是BC的中点，点在BD上，连结.
（1）若，求的度数.
（2）若，求的度数.
答案解析部分
1．（1）解：∵两个函数图象交于点A(1，4)，
∵点. 在直线 图象上，
解得
；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知， 当 时，
（3）解：设点C坐标为
∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，
∵点D恰好落在函数 的图象上，
整理得
或
∴C(3，8)或(0，2).
(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)画出图象，利用数形结合解答即可；
(3)根据点的平移法则设点C坐标为 写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标.
2．（1）6；8
（2）解：设AB对应的函数表达式为，
，
解得.
AB对应的函数表达式为.
设CD对应的函数表达式为.
图象过，
，
解得.
对应的函数表达式为
（3）解：当30解得t=40或t=60(舍去)，
∴在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围是40≤t≤60
解：(1)120+(60-30)a=300，
解得a=6，
120-(30-20)b=40，
解得b=8.
故答案为：6，8.
(1)根据“OA段飞行的路程+AB段飞行的路程=300”列关于a的方程并求解，根据“当t=30时，甲飞行的高度-乙飞行的高度=40”列关于b的方程并求解即可；
(2)根据待定系数法即可求解；
(3)分别求出当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时对应的t的值，从而得到符合条件的t的取值范围即可.
3．（1）；（2）①；②
4．（1）把和代入，
得解得
函数表达式为．
（2）①当时，，
由（1）得：，得抛物线的对称轴为直线．
当时，函数的最小值．
②当时，，
，
，
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时．
(1)把已知点A(1，0)、B(4，3)代入抛物线方程，得到关于a、b的方程组，解方程组即可确定a、b的值，从而得出函数表达式；
(2)①当t=5时，求最小值N：先将抛物线表达式配方，确定对称轴，再根据t=5得出x的取值范围，结合二次函数性质，在对称轴处取得最小值；
② 包含顶点x=2，最小值N=-1，最大值M出现在端点x=t处，计算M-N并化简为(t-2)2，利用t≥4证明其最小值为4.
5．（1）解：（人），
答：本次调查所抽取的用户人数为180人．
（2）45
（3）解：，
根据样本估计总体得，（人）
答：估计这些用户中不满意的人数约为2500人．
（2）解：人，
故答案为：．
（1）观察扇形统计图，可根据高于3星的频数是99，高于3星的百分比是即可求解．
（2）用总人数减去高于3星的频数和3星的频数即可求解．
（3）先求出低于3星的占比，再用样本估计总体即可求解．
（1）解：（人），
答：本次调查所抽取的用户人数为180人．
（2）解：人，
故答案为：．
（3）解：，
根据样本估计总体得，（人）
答：估计这些用户中不满意的人数约为2500人．
6．（1）反比例函数图像经过点（1，200）
反比例函数表达式为
又当时，
一次函数图象经过点，（6，110）
即
一次函数表达式为
（2）当时，对于反比例函数
对于一次函数
月利润不高于100万元时共经历4个月
(1)由点（1，200）求解反比例函数表达式，进而求得横坐标为4的点坐标（4，50），再结合（6，110）利用待定系数法求解一次函数表达式；
(2)需要找到月利润≤100万元的时间段，结合两个函数的表达式，解不等式并计算对应的月份范围.
7．（1）解：△AEF为等边三角形，理由如下：
由作法得AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：
证明： ∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF =∠AFE=60°，
∴∠AEB=∠AFC=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C =60°，
∵∠AEF=∠BAE+∠B=60°，
∴∠BAE =∠C，
而∠AEB=∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，
，∵△ABE-△CAF，
∴AE：CF=BE：AF，
即3：CF=2：3，
解得
(1)利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形.
(2)先根据等边三角形的性质得到∠AEF =∠AFE =60°， 则根据等角的补角相等得到∠AEB=∠AFC， 再证明∠BAE=∠C， 然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(3)先根据等边三角形的性质得到AE=AF =EF=3， 由于△ABE∽△CAF， 则根据相似三角形的性质得到AE：CF =BE：AF， 即3：CF=2：3， 从而可求出CF的长.解得 .
8．（1）解：参与A项目的人数=100×20%=20人，有10人挑战成功，则A项目挑战成功的可能性=；参与B项目的人数=100×30%=30人，有12人挑战成功，则B项目挑战成功的可能性=×100%=40%，
所以A项目挑战成功的可能性更大
（2）解：（2）解：100人中挑战成功的学生人数=10+12+1+3+10=36，则可估计1000人中挑战成功的学生人数=×1000=360人
(1)将项目A、B的可能性都求出，再进行对比，即可求解；
(2)根据用样本估计总体的性质即可得到答案.
9．（1）解：，
补全的频数分布直方图如下所示，
；
（2）解：这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组，理由：
∵，，位于中间两个数是第100与101两个数，
∴这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组．
（1）用总人数减去其它组的人数计算出a的值，再把频数分布直方图补充完整；
（2）利用频数分布表中的数据，利用中位数的定义解答即可．
（1）解：，
补全的频数分布直方图如下所示，
；
（2）解：这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组，
理由：
∵，，位于中间两个数是第100与101两个数，
∴这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组．
10．（1）证明：根据作法得 ，
∴ 四边形 ABCD 为菱形
（2）解：连结 AC，BD 交于点 O，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴，，
∵，
∴.
∴ 的面积为 ，
∴ 菱形 ABCD 的面积为
(1)由作图过程可知AB=AD=CD=BC，则可得四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2OA，，则，，再根据四边形ABCD的面积为可得答案.
11．（1）
（2）
（3）小红家6月份的用水量为吨
12．（1）①；②
（2）3和
13．（1）解：小文匀速速度：（米／分）
小成第一段时间：（分钟）
小成第一段速度：（米／分）
（2）解：小成第二段速度：（米／分），
小成第二段时间：（分钟）
小成休息时间：（分钟）
（3）解：小成休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小成在跑第二段，所跑时间为（分钟）
，
解得．
（1）由图象可得小文跑步5400米，用时60分钟，根据速度=路程÷时间求出小文匀速的跑步速度；根据时间=路程÷速度求出小文跑1800米时所用时间，进而根据小成晚出发5分钟可得小成跑第一段所用时间，最后再根据速度=路程÷时间求出小成第一段的跑步速度；
（2）由“小文 第二段速度比第一段速度提高30米／分钟 ”求出小成第二段的速度，根据时间=路程÷速度求出小文跑第二段所用时间，根据根据小成所用的总时间等于跑第一段所用时间+中间休息时间+跑第二段所用时间求出小成中间休息的时间；
（3）根据两人相遇时所跑路程相等列关于a的方程并求解即可.
14．（1）15
（2）解：由（1）得，
因为中位数是15分，
所以，
所以；
（3）解：∵九（1）班的平均分为分，
中位数为15分，众数为20分，满分率为，
九（2）班的平均分为14.25分，中位数为10分，众数为10分，满分率为，
∴九（1）班的中位数、众数和满分率都高于九（2）班，且平均数两个班相差不大，所以我认为九（1）班的成绩更优秀．
解：（1）∵共有4条线，
可能全部连错，得0分，
可能1条线对，3条线错，得5分，
可能2条线对，2条线错，得10分，
可能3条线对，则第4条也对，得20分，
∴每人得分不可能是15分；
故答案为：15；
（1）根据竞赛规则“所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连”可得解答的时候不可能出现连错一条线的可能，如果出错至少会错两题；
（2）由（1）可得得15分的人数为0 ，即b=0，然后根据“将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数”建立方程，求解即可；
（3）根据平均数计算方法计算出九（1）班的平均分，进而再根据满分率的计算方法求出九（1）班的满分率，进而比较两个班的平均数、 中位数、众数和满分率 ，并结合平均数、中位数、众数和满分率 的定义即可判断得出答案.
15．（1）解：
∴∠ADB=∠ADC=90°，
，
．
在Rt中，．
．
（2）解：为CD的中点，
．
在Rt中，，
．
（1）在Rt△ACD中，由∠ACB的正切函数可求出CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD，最后根据BC=BD+CD可算出BC的长；
（2）由中点定义得DE=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理可算出AE的长，进而再根据正弦函数定义求解即可.
16．（1）解：∵二次函数对称轴为x＝
∴b＝－4，
∴y＝x2－4x＋2．
（2）解：∵二次函数对称轴为x＝2，且二次函数开口向上，
∴当x＝2时，y取得最小值为－2；
当x＝4时，y取得最大值为2；
∴－2≤y≤2．
（3）解：当x＝t－k时，y1＝t2－2tk＋k2－4t＋4k＋2；
当x＝t时，y2＝t2－4t＋2；
当x＝t＋k时，y3＝t2＋2tk＋k2－4t－4k＋2；
y1＋y3－2y2＝2k2；
∵k≠0，
∴2k2＝y1＋y3－2y2＞0，即y1＋y3＞2y2．
17．（1）50；100
（2）解：根据图象信息得：(25-10)÷2=7.5 min，7.5＋10=17.5 min
答：小明从家到公园的过程中离家1000 m所用时间为17.5 min．
（3）解：如图
18．（1）解：将点代入中，得：，∴，
将点代入中，得：，
∴反比例函数的解析式为：，
令，则，
解得：，
∴点，
联立方程得：，
解得：，，
∴点，
∴，
∴的面积为．
（2）解：或．
解：（2）∵，，，
∴根据图象可知，或．
（1）将点代入中，得到，再进一步得到，，即可求解；
（2）根据图象及即可求解．
19．（1）证明：
（2）解：由（1）得，
(1)根据三角形内角和定理和AB=AC推出，即推出再根据一线三等角模型，可以推出
(2)由(1)中的可以得出：根据D 是BC的中点， 得出DB=CD，这样可以得出：再根据证明根据对应边成比例，可以得出即可.
20．（1）①把代入得：
②由①得：
把代入，得：
的最大值为9
（2）对于任何的恒成立，
且，开口向上，故点必为抛物线的最低点——顶点
对称轴为直线
当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大
（求的范围其他方法也可，如讨论法、对称法、距离法）
21．（1）需小时；
（2）设函数解析式为
将代入解析式，得
解得
因此函数解析式为
（3）方法1：由题意得分段函数ABC向右平移，使C点至，即点至，平移后的AB段与AE交于F点
AB的解析式为，
的函数解析式为
AF的函数解析式为，
令，
解得
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于．
AB段充电速度，
由题意得
解得
22．（1）①88，②m=20
（2）（人）
答：用样本估计总体，对“DeepSeek”非常满意的用户人数约为48人．
23．（1）解：①把(2，-1)代入y=(x-m)(x-m+2)得m=3，∴y =(x-3)(x-1)
则与x轴的交点坐标为(3，0)和(1，0)
②点A（-1，1)向上平移2个单位长度，向右平移k个单位长度后得(-1+k，3)
代入y=(x-3)(x-1)得：3=(k-1-3)(k-1-1)
∴k1=1， k2=5
（2）证明：把(2m-1， a)、(3m-4， b)代入得：
∵图象与x轴的交点(m，0)和(m-2，0)之间的距离为2，
（1，0）到(m，0)和(m-2，0)的距离均小于2
24．（1）解：如图
（2）解：v与W成反比例函数关系
设v =，(10，6)代入得：k=60
∴v=
(12，5)(15， 4)(20， 3)(30， 2)代入上式，均符合。
∴v=
（3）解：
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克。
25．（1）解：C组中位数：9.3分；众数：9.3分
（2）解：如图
（3）解： （人）
答：估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众为560人。
26．（1）由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
可设解析式为，
将点代入，得
解得
关于的函数解析式为．
当时，，解得．
第一次加热到时间为20分钟。
（2）由题意可设加热后关于的表达式为，
将（20，90）代入，得，
关于的表达式为
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段分钟，
费用为：元。
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要10分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要20分钟．一天8小时中，加热时间为分钟，
费用为：元。
，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
（1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解.
27．（1）甲平均成绩：（环）
甲中位数：8环；甲众数：8环
（2）挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升；
甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定；
或挑选乙，理由如下：
乙射击成绩众数高于甲射击成绩，说明乙的高分成绩数量多；
乙方差虽大于甲方差，但9环及以上占比，甲占比，说明乙爆发力强，适合选拔参与比赛。
（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）结合平均数和中位数、方差三方面的特点进行分析.
28．（1）解：表示桐桐从地步行到地所用的时间．
（2）解：桐桐骑电动车时距地的路程（米）与（分钟）之间的函数
解析式为：．
（3）解：①，解得；
②，解得.
或
29．（1）解：于点；
（2）解：由（1）可得：，
30．（1）解：由条件可知∠C=∠B=40°，
∴∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∵点D是BC的中点，
∴，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°
（2）解：由条件可知∠CAE=∠CEA，
根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，
∴∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAE+∠CAE+∠B+∠C
=5∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
解得：∠B=36°.
(1)根据等腰三角形的性质得出∠C=∠B=40°，根据三线合一求出，根据AE=BE，求出∠BAE=∠B=40°，即可得出答案；
(2)根据CA=CE，得出∠CAE=∠CEA，根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，根据三角形内角和得出5∠B=180°，即可求出结果.

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