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2024-2025 学年浙江省宁波中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.水平放置的 的斜二测直观图 ′ ′ ′如图所示，已知 ′ ′ = 3， ′ ′ = 2，则 的面积为
( )
A. 6 B. 3 C. 3 22 D. 3 2
2.已知 , 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若 ⊥ , ⊥ ,则 // ；
②若 ⊥ , ⊥ ,则 // ；
③若 , , // ,则 // ；
④若 , 是异面直线， , // , , // ,则 // .其中真命题是( )
A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④
3.如图直四棱柱 1 1 1 1的体积为 8，底面 为平行四边形， 1 的面积为 2 2，则点
到平面 1 的距离为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
4.如图，在正四棱锥 中， , , 分别是 , , 的中点，当点 在线段 上运动时，下列四个
结论：
① ⊥ ；② // ；③ //平面 ；④ ⊥平面 ．
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其中恒成立的为( )
A.①③ B.③④ C.①② D.②③④
5.如图所示，在四边形 中， = = = 1， = 2， ⊥ ，将四边形 沿对角线
折成四面体 ′ ，使平面 ′ ⊥平面 ，则下列结论正确的是( )
A. ′ ⊥ B. ∠ ′ = 90
C. ′与平面 ′ 1所成的角为30 D.四面体 ′ 的体积为3
6.在三棱锥 中， , , 两两垂直， = = 3, = 2，则直线 与平面 所成角的正切
值等于( )
A. 13 B. 2 13 2 2 3 22 13 C. 3 D. 4
7.如图， ⊥ , ∩ = , ∈ , ∈ , , 到 的距离分别是 和 ， 与 , 所成的角分别是 和 ， 在 ,
内的射影长分别是 和 ，若 > ，则
A. > , > B. > , < C. < , < D. < , >
8.如图，已知正三棱柱 1 1 1, = 1， ， 分别是棱 , 1 1上的点．记 与 1所成的角为 ，
与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则( )
A. ≤ ≤ B. ≤ ≤ C. ≤ ≤ D. ≤ ≤
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. ， 是不在平面 内的任意两点，则( )
A.在 内存在直线与直线 异面 B.在 内存在直线与直线 相交
C.存在过直线 的平面与 垂直 D.在 内存在直线与直线 平行
10.已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面直径，∠ = 120°， = 2，点 在底面圆周上，且二
面角 为 45°，则( )．
A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为 4 3π
C. = 2 2 D. 的面积为 3
11 1.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，线段 1 1上有两个动点 , ，且 = 2，则下列结论中正
确的是( )
A. 1 ⊥ B.直线 与平面 所成的角为定值
C.二面角 的大小为定值 D.三棱锥 的体积为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷
子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为 5 和 3 ，
π
侧面与上面的夹角为3，则该“米升子”模型“平升”的容积为 cm
3.
13.如图，二面角 的大小是 60°，线段 ． ∈ ， 与 所成的角为 30°.则 与平面 所成的
角的正弦值是 ．
14.已知正方形 的边长为 2，点 为边 的中点，点 为边 的中点，将 , △ , △ 分别沿
, , 折起，使 , , 三点重合于点 ，则三棱锥 的外接球与内切球的表面积之比为 ．
四、解答题：本题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形.已知 = 3， = 2， = 2， = 2 2，∠ = 60°．
(1)证明 ⊥平面 ；
(2)求异面直线 与 所成的角的正切值；
(3)求二面角 的正切值．
16.(本小题 12 分)
如下图，在三棱柱 1 1 1中，底面 是边长为 2 的等边三角形， 为 的中点．
(Ⅰ)求证： 1//平面 1 ；
(Ⅱ)若四边形 1 1是正方形，且 1 = 5，求直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.49 33
13. 34
14.24
15.【详解】(1)证明：在 中，由题设 = 2， = 2 2可得 2 + 2 = 2．
于是 ⊥ ．
在矩形 中， ⊥ ．
又 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)证明：由题设， /\ !/ ，所以∠ (或其补角)是异面直线 与 所成的角．
在 中，由余弦定理得
= 2 + 2 2 cos∠ = 7
由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，因而 ⊥ ，于是 是直角三角形，
故 tan∠ = 7 = 2 ．
7
所以异面直线 与 所成的角的正切值为 tan∠ = = 2 ．
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解法二：
由(1)可知， ⊥平面 ， 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ，
作 ⊥ 于 ， ⊥ 交 于 点，
因为平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
以 为原点，分别以 , , 为 , , 轴建立空间直角坐标系，
则 0,0, 3 ， ( 1,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， ( 1,2,0)，
所以 = 2,2, 3 ， = (0,2,0)，
设异面直线 与 所成的角为 ，
cos = cos , = 2 711，则 sin = 11．
7所以异面直线 与 所成的角的正切值为 2
(3)
过点 做 ⊥ 于 ，连接 ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
又 ∩ = ，因而 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥
从而∠ 是二面角 的平面角．
由题设可得，
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= sin60° = 3， = cos60° = 1，
= = 2， = 2 + 2 = 13，
= = 4 13，
于是在 Rt 中，tan∠ = = 39 4 ．
所以二面角 39的正切值为 4 ．
解法二：由(2)知 = 2,0, 3 ， = 1,2, 3 ．
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

则 = 0 2 3 = 0
，即 ,
= 0 + 2 3 = 0
令 = 2 3，则 = 3 3, = 4，
所以 = 2 3, 3 3, 4 ，
又平面 的一个法向量可以是 = (0,0,1)．
由图知二面角 的大小为锐角，
所以 cos , = 455，则 sin , =
39
55
39
所以二面角 的正切值为 4 ．
16.试题解析：
证法 1：连结 1，设 1与 1相交于点 ，连接 ，则 为 1中点，
∵ 为 的中点，∴ // 1
∵ 1 平面 1 , 平面 1
∴ 1//平面 1 ．
【证法 2：取 1 1中点 1，连接 1和 1 1，
∵ 平行且等于 1 1，∴ 1 1四边形为平行四边行
∴ 1 // 1
∵ 1 平面 1 , 1 平面 1 ，
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∴ 1//平面 1 ，
同理可得 1 1//平面 1
∵ 1 ∩ 1 1 = 1 ∴ 平面 1 //平面 1 1
又∵ 1 平面 1 1
∴ 1//平面 1 ．
(Ⅱ) ∵ 2 + 21 = 5 = 1 2，∴ 1 ⊥
又 1 ⊥ , 1 // 1 ，∴ 1 ⊥
又 ∩ = ∴ 1 ⊥ 面
法一：设 的中点为 ， 1 1的中点为 1，以 为原点， 所在的直线为 轴， 1所在的直线为 轴，
所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ．
则 1(0,2, 3), (
1
2 , 0,
3
2 )．
∴ = ( 1 , 2, 31 2 2 )，
平面 1 1的一个法向量 = (0,0,1)，
| 1 |cos < , > | = · | 151 | 1
= ．
|·| | 10
15所以直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值为 10 ．
【法二：取 1 1的中点 ，连结 1 ，则 1 ⊥ 1 1
∵ 1 ⊥ 面 1 1 1，故 1 ⊥ 1 ，∴ 1 ⊥ 1
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∵ 1 1 ∩ 1 = 1，∴ 1 ⊥ 面 1 1
延长 1 、 1 相交于点 ，连结 ，
则∠ 1 为直线 1 与平面 1 1所成的角．
因为 为 的中点，故 1 = 2 5，又 1 = 3
3 15
∴ sin∠ 1 = =2 5 10
即直线 1 与平面 1
15
1所成的角的正弦值为 10 .】
【法三：取 1 1的中点 ，连结 1 ，则 1 ⊥ 1 1
∵ 1 ⊥ 面 1 1 1，故 1 ⊥ 1 ，∴ 1 ⊥ 1
∵ 1 1 ∩ 1 = 1，∴ 1 ⊥ 平面 1 1
取 1 1中点 ，连结 ，过点作 // 1 ，则 //平面 1 1，
连结 ，∵ 1 // ，
∴ ∠ 为直线 1 与平面 1 1所成的角，
1
1 3 15
∵ sin∠ = =
2 = =
2 5 2 5 10
即直线 1 与平面所 1
15
1成的角的正弦值为 10 .】
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