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上外附属大境中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若集合或，则 ．
2．已知i为虚数单位，复数，则 ．
3．不等式的解集为 ．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：
x 2 3 4 5 6
y 3 7 9 10 11
由两组数据可以得到线性回归方程为，则 ．
6．已知随机变量服从二项分布，若，则的值为 ．
7．已知一个随机变量的分布列为，若是的等差中项，则 ．
8．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程A后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的。为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则 ．
9．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两
点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ．
10．球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为 ．
11．已知两点均在双曲线的右支上，恒成立，则实数的取值范围为 ．
12．函数的表达式为，如果且，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．＂且＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
14．若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
15．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家；如果天不下雨，那么他不带雨伞。假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立。现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）.
A． B． C． D．
16．若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的＂衍生数列＂．给出以下两个命题：
（1）数列是某个数列的＂衍生数列＂；
（2）若各项均为0或1，且是自身的＂衍生数列＂，则从某一项起为常数列．
下列判断正确的是（ ）.
A．（1）（2）均为真命题 B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图①，在梯形中，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点，
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知
（1）无穷等比数列的首项，公比，求的值．
（2）无穷等差数列的首项，公差，求的通项公式和．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉。某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．
600 592 43837.2 93.8
（1）求关于的经验回归方程；若预计2025年火车的正点率为，试估算2025年顾客对火车站投诉的次数；
（2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为＂优秀＂，2年为＂良好＂，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价＂良好＂的年数为，求的分布列和数学期望．附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的＂函数＂，其中称为＂点＂．
（1）已知图像为一条直线的函数是的＂函数＂，请求出所有的＂点＂；
（2）设函数为的＂函数＂，其＂点＂组成集合；函数为的＂函数＂，其＂点＂组成集合.试证明：＂函数为的‘函数’＂的一个充分必要条件是＂＂；
（3）记（e为自然对数的底数），，若为的＂函数＂，且＂点＂，求实数的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知两点均在双曲线的右支上，恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设的对称点仍在双曲线右支，
由得，即恒成立，
∴恒为锐角，即，
∴其中一条渐近线的斜率，
所以实数的取值范围为．故答案为：．
12．函数的表达式为，如果且，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
当或时，，当时，,
所以函数的增区间为，减区间为，
则函数的极大值为，极小值为
作出函数的大致图象，若且
令即的三个根为，
即，
又
所以．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.D 15.D 16.B
15．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家；如果天不下雨，那么他不带雨伞。假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立。现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】＂至少有一天淋雨＂的对立事件为＂两天都不淋雨＂，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.
（1）有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；
（2）4次均不下雨，概率为：；
（3）有2次下雨但不淋雨，共3种情况：
①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；
概率为：
（4）有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为：；
（5）4次均下雨，概率为：；
两天都不淋雨的概率为：
所以至少有一天淋雨的概率为：．故选：D．
16．若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的＂衍生数列＂．给出以下两个命题：
（1）数列是某个数列的＂衍生数列＂；
（2）若各项均为0或1，且是自身的＂衍生数列＂，则从某一项起为常数列．
下列判断正确的是（ ）.
A．（1）（2）均为真命题 B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题
【答案】B
【解析】对于（1）：由题意，数列为无穷数列中的连续项，为有限项数列，
而数列的项数为无穷个，故数列1,不是某个数列的＂衍生数列＂，为假命题；
对于（2）：当数列为时，满足各项均为0或1，且是自身的＂衍生数列＂，但是数列从某一项起不是常数列，为假命题．
综上，（1）（2）均为假命题．故选：．
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）约20次 （2）分布列如下，
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围.【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）抛物线的准线为，由于到抛物线准线的距离为3，
则点的横坐标为2，则，解得；
（2）当时，点的横坐标为，则，
设，则的中点为，由题意可得，解得，
所以，则，
由点斜式可得，直线的方程为，即,
所以原点到直线的距离为；
（3）如图，设，则,
故直线的方程为，
令，可得，
即，
则，依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的＂函数＂，其中称为＂点＂．
（1）已知图像为一条直线的函数是的＂函数＂，请求出所有的＂点＂；
（2）设函数为的＂函数＂，其＂点＂组成集合；函数为的＂函数＂，其＂点＂组成集合.试证明：＂函数为的‘函数’＂的一个充分必要条件是＂＂；
（3）记（e为自然对数的底数），，若为的＂函数＂，且＂点＂，求实数的最大值．
【答案】（1）＂点＂为； （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）取，
此时，,
故函数是的＂函数＂，＂点＂为；
（2）证明：为的＂函数＂，
其＂点＂组成集合，故，
设函数为的＂函数＂，
其＂点＂组成集合，故，
设
显然对任意成立，①成立，
充分性：
若，不妨设，此时，②成立，
故②成立，所以函数为的＂函数＂，充分性成立；
必要性：
若函数为的＂函数＂，则存在，使得，
由于对任意成立，故，
故，所以，充分性成立；
故＂函数为的＂函数＂的一个充分必要条件是＂＂；
（3）定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，又，取，
满足且，为的＂函数＂，此时，
当时，取，故当为在处的切线方程时，才满足要求，故切线方程为，
令，得，由于，设，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，所以，
当时，可知单调递减且下凸，
对任意的，无法做到恒成立，
综上，实数的最大值为．

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