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华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
2．已知等比数列的公比为，共前项和为，若，则 ．
3．已知，且，则的最小值为 ．
4．已知均为锐角，则 ．
5．已知函数则不等式的解集是 ．
6．的展开式中项的系数为 ．
7．已知向量，则在方向上的投影是 ．
8．已知甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，表示事件＂由甲罐取出的球是黑球＂，表示事件＂由乙罐取出的球是黑球＂，则 ．
9．如图所示，在中，是边上的一点，，则的长为 ．
10．《周髀算经》中＂侧影探日行＂一文有记载：＂即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．＂意为：＂取竹空这一里筒，当里筒直径是一寸，筒长是八尺时（注；一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．＂如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为 ．
（第10题） （第11题）
11．已知线段长为4，直线过点且与垂直．以为圆心，1为半径的圆绕旋转一周，所得立体记为．以分别为上下底面的圆心，1为底面半径的圆柱体记为（如图）．则根据祖相原理，与的体积之比为 ．
12．给定常数，定义函数，已知数列满足，是正整数；且数列是等差数列，则首项的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．若，则不等式成立的一个充要条件是（ ）.
A． B． C． D．
14．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）.
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C．若，则事件相互独立
D．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第50百分位数为4
15．在复平面内，到复数对应的点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是（ ）.
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
16．在平面直角坐标系中，设和分别是曲线和且上的动点，记，则对于以下两个结论：
①当且仅当时成立；
②当且仅当存在实数，使时成立．则下列判断正确的是（ ）.
A．（1）错（2）错B．（1）错（2）对C．（1）对（2）错D．（1）对（2）对
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，在四棱锥中，
是正三角形．
（1）求证：平面底面；
（2）由点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）根据实数的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，且．
19．（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分．
某小吃店的服务窗口的为每位顾客现场制作美食，从每份食物开始制作到取到事物的时间进行统计，结果如下：
制作食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
假设每个顾客取到食品所需的制作时间互相独立，且都是整数分钟．从第一个顾客等待取食品开始计时．
（1）根据表中数据，试估算第一个顾客取到食品所需的平均等待时间；
（2）求事件＂恰好4分钟后，第二个顾客取到食品＂的经验概率；
（3）若随机变量表示＂至第2分钟末，已取到食品的顾客人数＂，求的分布及数学期望；
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆与双曲线的一条渐近线交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆的圆心在椭圆上，半径为．当过原点且与圆相切的两条直线的斜率均存在时，求证：这两条切线的斜率乘积为定值；
（3）设双曲线的左右焦点分别为和，是否在轴上方存在两点和同时满足如下三个条件：
①和分别在双曲线＇的左右两支上：②与平行：③？若存在，请求出所在直线方程：若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的表达式为．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上不存在驻点，求正实数的取值范围；
（3）设，若函数的极值点从小到大排列构成数列，且，求实数的值．
华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
【答案】
2．已知等比数列的公比为，共前项和为，若，则 ．
【答案】1
3．已知，且，则的最小值为 ．
【答案】16
4．已知均为锐角，则 ．
【答案】
5．已知函数则不等式的解集是 ．
【答案】
6．的展开式中项的系数为 ．
【答案】-252
7．已知向量，则在方向上的投影是 ．
【答案】
8．已知甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，表示事件＂由甲罐取出的球是黑球＂，表示事件＂由乙罐取出的球是黑球＂，则 ．
【答案】
9．如图所示，在中，是边上的一点，，则的长为 ．
【答案】
10．《周髀算经》中＂侧影探日行＂一文有记载：＂即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．＂意为：＂取竹空这一里筒，当里筒直径是一寸，筒长是八尺时（注；一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．＂如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为 ．
【答案】
11．已知线段长为4，直线过点且与垂直．以为圆心，1为半径的圆绕旋转一周，所得立体记为．以分别为上下底面的圆心，1为底面半径的圆柱体记为（如图）．则根据祖相原理，与的体积之比为 ．
【答案】
12．给定常数，定义函数，已知数列满足，是正整数；且数列是等差数列，则首项的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先证对任意的：只需证明对任意都成立，
即只需证明，
若，显然有成立；
若，则显然成立，
综上，恒成立，即对任意的，
所以，若为等差数列，则公差，故无限增大时，总有，
此时，，即，
故，即，
当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；
若，则，
此时，也满足题意；
综上，满足题意的的取值范围是．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．若，则不等式成立的一个充要条件是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
14．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）.
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C．若，则事件相互独立
D．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第50百分位数为4
【答案】C
【解析】对于A选项，设2层数据分别为，
因为，所以，总体平均数为，
所以，，
所以，总体方差为
，则
所以，当或时，，否则错；
对于B选项，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于错；
对于C选项，由条件概率公式可得，所以，
所以，故，
所以事件A、B相互独立，C对；
对于D选项，将样本数据由小到大排列分别为，
所以该样本数据的第50百分位数为错．
15．在复平面内，到复数对应的点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是（ ）.
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
【答案】D
16．在平面直角坐标系中，设和分别是曲线和且上的动点，记，则对于以下两个结论：
①当且仅当时成立；
②当且仅当存在实数，使时成立．则下列判断正确的是（ ）.
A．（1）错（2）错B．（1）错（2）对C．（1）对（2）错D．（1）对（2）对
【答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，在四棱锥中，
是正三角形．
（1）求证：平面底面；
（2）由点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：由题可知，由于，
所以有．由于和是平面内的一组相交直线，
所以平面．又由于底面，所以平面底面．
（2）由（1），以为坐标原点，和方向作为轴与轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则．
于是，由点在棱上，可设，
则．
由于，即，则，解得．
满足，所以．故．
设为平面的一个法向量，则有，即，
取，则.
设直线与平面所成角为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）根据实数的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，且．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）当时，，所以，所以函数是偶函数，
当时，，所以，
所以函数是奇函数，
当且时，，因为且，
所以函数是非奇非偶函数；
（2）证明：当时，函数是严格减函数，
所以函数在上的值域为，
因为，所以存在，使得．
假设存在使得，
若，则，若，则，与矛盾，故是唯一的，
假设，即或，则或，
所以，与矛盾，故.
19．（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分．
某小吃店的服务窗口的为每位顾客现场制作美食，从每份食物开始制作到取到事物的时间进行统计，结果如下：
制作食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
假设每个顾客取到食品所需的制作时间互相独立，且都是整数分钟．从第一个顾客等待取食品开始计时．
（1）根据表中数据，试估算第一个顾客取到食品所需的平均等待时间；
（2）求事件＂恰好4分钟后，第二个顾客取到食品＂的经验概率；
（3）若随机变量表示＂至第2分钟末，已取到食品的顾客人数＂，求的分布及数学期望；
【答案】（1）2.65分钟 （2）0.2375． （3），．
【解析】设表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得的分布如下：
（1）所需的平均等待时间为（分钟）．
（2）设表示事件＂恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品＂，则事件对应三种情形：①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；
②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟．
所以
，
即估计＂恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品＂的概率为0.2375．
（3）所有可能的取值为．
对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟，所以；
对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以；
对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以；
对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，
所以；
所以的分布为：，．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆与双曲线的一条渐近线交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆的圆心在椭圆上，半径为．当过原点且与圆相切的两条直线的斜率均存在时，求证：这两条切线的斜率乘积为定值；
（3）设双曲线的左右焦点分别为和，是否在轴上方存在两点和同时满足如下三个条件：
①和分别在双曲线＇的左右两支上：②与平行：③？若存在，请求出所在直线方程：若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，
【解析】（1）椭圆的方程为．
（2）设，满足．设圆的切线方程为，则，化简得，（＊）
由于原点在圆外，故有两条切线，且这两条切线的斜率和是方程（＊）的两解，即为定值．
（3）双曲线，左右焦点分别为．
若存在，由题可知，直线的斜率必存在，因此设．
延长交双曲线于点，由双曲线的对称性，可知，故．
设．
同理，可得．
由，得，故，
所以，
即，化简得，解得．
由题可知，，故．
所以，存在这样的两点和，且直线的方程为．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的表达式为．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上不存在驻点，求正实数的取值范围；
（3）设，若函数的极值点从小到大排列构成数列，且，求实数的值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1），所以．
由于，故曲线在处的切线方程为．
（2），化简得．
在区间上不存在零点．
由于，故．
所以，即解得．
（3），则有．
令，由于当时，方程不成立，故等价于．
令，有，
由于函数与的函数性质，函数在区间上是严格增函数，且在区间上的值域为．
由零点存在定理可知，在区间上，存在唯一零点．
当时，，即．由在上恒成立，列出下表：
所以，为函数的极值点，即．同理，可证是极值点．
所以，即．
由于，故，
化简得．
由于，故，即．
所以．
由于和均在区间内，所以或，
当时，由于故，此时无解；
当时，由于
故，此时，
综上所述，华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷2
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若集合，则 ．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 ．
3．的展开式中的系数为 ．
4．若各项均为正数的等比数列中，，则 ．
5．已知空间向量共面，则实数 ．
6．若函数对任意实数都有，则 ．
7．已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ．
8．已知随机变量服从二项分布，且，则
．
9．已知，函数的图像与函数的图像交于点，点在轴上的垂足为，直线交于点，则 ．
10．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
11．雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小.为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为的矩形＂纸片人＂；
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄长为60cm，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转；
假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段．
如图，在矩形＂纸片人＂上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；
12．已知数列是等差数列，若
，则数列的项数的最大值是 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．运用列联表进行独立性检验时，统计量的意义是（ ）.
A． B．
C． D．
14．设，则是的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
15．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
16．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论：①＂－严格增函数＂一定在上严格增；
②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且）
③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数）
④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数）
其中，正确的结论个数有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四边形是圆柱的轴载面，，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥，C、分别在上，．
（1）求这个几何体的表面积和体积；
（2）求二面角的余弦值．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数的值及函数的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往＂赶烤＂.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数（单位：份）的关系如下：
与可用回归方程（其中为常数）进行模拟.
参考数据与公式：设，则
线性回归直线中，．
（1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元．
（利润售价－成本，结果精确到1元）
（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增．4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的上焦点为，左顶点为是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点．
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（2）设．直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值；
（3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个＂美好区间＂．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知．分别判断区间和区间是否为函数的＂美好区间＂，并说明理由；
（2）已知且，若区间是函数的一个＂美好区间＂，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在＂美好区间＂，且存在，使得不属于函数的任意一个＂美好区间＂．
华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷2
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若集合，则 ．
【答案】
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 ．
【答案】
3．的展开式中的系数为 ．
【答案】84
4．若各项均为正数的等比数列中，，则 ．
【答案】
【解析】由已知得，因为各项均为正数，所以，
又因为，所以，所以等比数列的首项，公比的等比数列，
所以．
5．已知空间向量共面，则实数 ．
【答案】3【解析】设，即，故，解得．
6．若函数对任意实数都有，则 ．
【答案】3
【解析】由题意，函数对任意实数都有，可得是函数的一条对称轴，根据三角函数的图象与性质，可得．
7．已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ．
【答案】
8．已知随机变量服从二项分布，且，则
．
【答案】9
【解析】因为，所以，，又，即，解得，
所以．
9．已知，函数的图像与函数的图像交于点，点在轴上的垂足为，直线交于点，则 ．
【答案】
【解析】作出图像，如图所示：则即为的值，因为，即，所以，解得或（舍），所以．
10．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
【答案】
11．雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小.为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为的矩形＂纸片人＂；
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄长为60cm，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转；
假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段．
如图，在矩形＂纸片人＂上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；
【答案】
【解析】解得
，
12．已知数列是等差数列，若
，则数列的项数的最大值是 ．
【答案】45
【解析】设等差数列的公差为，构造函数，
则的图像与直线至少有5个公共点，
横坐标分别为，根据绝对值函数的性质知：
当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值，
此时最多有2个交点，不满足题意，
当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有5个交点，
故，
且，故，即，
，故，故．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．运用列联表进行独立性检验时，统计量的意义是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
14．设，则是的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
15．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意易知，，均是集合A中的元素，
又集合A恰有8个子集，故集合A只有三个元素，
有，则结合诱导公式易知，可取的值是4或5．
16．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论：①＂－严格增函数＂一定在上严格增；
②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且）
③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数）
④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数）
其中，正确的结论个数有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①，函数，定义域为R，存在，对于任意，都有，但在R上不单调递增，所以①错误．
②，是＂严格增函数＂，则存在，使得对任意，都有，
因为，所以，故，即存在实数，使得对任意，都有，所以是＂严格增函数＂，②正确．
③，，定义域为，当时，对任意的，都有，
即，所以函数严格增函数＂，③正确．
④，对于函数，，所以是周期为1的周期函数，，
若，则，不符合题意．
当且时，若，则，
即，其中，若，则总存在，使得，
当时，若是正整数，则不成立，
若不是正整数，不恒成立，
所以函数不是＂严格增函数＂，④正确．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四边形是圆柱的轴载面，，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥，C、分别在上，．
（1）求这个几何体的表面积和体积；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为，
因为为圆锥的高，且，所以，圆锥的母线长为，
又，因此，该几何体的表面积为．
该几何体的体积为；
（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，
所以，平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数的值及函数的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的值为3，值域为 （2）
【解析】（1）由是R上的奇函数，知，解得．
此时，故对于任意的，有，
即是R上的奇函数；因此实数的值为3．
令，则，解得，即函数的值域为．
（2）解法1：由（1）知，于是不等式
可化为．
令（因），则不等式在上恒成立.
设，则在上恒成立，等价于.
即.
因此，实数的取值范围为．
解法2：由（1）知，当时，．于是不等式可化为．
（因），则由函数在上递增知，．
故由恒成立知，实数的取值范围为．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往＂赶烤＂.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数（单位：份）的关系如下：
与可用回归方程（其中为常数）进行模拟.
参考数据与公式：设，则
线性回归直线中，．
（1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元．
（利润售价－成本，结果精确到1元）
（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增．4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议.
【答案】（1） （2）建议购买3辆车.
【解析】（1）由表格及公式通过计算器可计算得，补全填空如下：
根据题意，，所以，
所以，又，所以，
所以时，（千元），
即卖出100份的成本为11764元，故利润（元）.
（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：
设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元，
则的可能取值为，其分布列为：
故，
的可能取值为，其分布列为：
故，
即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的上焦点为，左顶点为是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点．
（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
（2）设．直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值；
（3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值．
【答案】（1） （2） （3）的所有可能值为2．
【解析】（1）由题意，，故的方程为．
（2）当时，．故椭圆的方程为．
求导得函数图像在点处的切线方程为，即直线的方程为．
联立直线与椭圆的方程得．
从而线段的中点（若存在）横坐标为．
由题意，．故．
经检验，此时，方程（＊）有两个相异实根．故为所求最小值．
（3）此时的纵坐标为．同（2）得直线的方程为．
故．代入椭圆的方程，得．
又因为直线与椭圆相切，联立二者方程并令判别式为0，解得．
代入，得．故，
解得或0．因，故不合要求．从而，相应地，．
综上，的所有可能值为2．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个＂美好区间＂．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知．分别判断区间和区间是否为函数的＂美好区间＂，并说明理由；
（2）已知且，若区间是函数的一个＂美好区间＂，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在＂美好区间＂，且存在，使得不属于函数的任意一个＂美好区间＂．
【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）区间是，区间不是函数＂美好区间＂，理由如下：
由，
当时，，所以区间是函数的＂美好区间＂
当时，，不是的子集，
所以区间不是函数的＂美好区间＂
（2）记
若区间是函数的一个＂美好区间＂，则或
由，可得，
所以当或时，，则的单调递增区间为：；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，
得到在的大致图像如下：
（i）当时，在区间上单调递减，
且，所以，则，
即对于任意，都有，满足性质②，
故当时，区间是函数的一个＂美好区间＂；
（ii）当在区间上单调递减，在上单调递增，
此时，所以，
则当时，区间不是函数的一个＂美好区间＂；
（iii）当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时,所以，
则当时，区间不是函数的一个＂美好区间＂；
（iv）当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时，因为，
则要使区间是函数的一个＂美好区间＂，则，即，
构造函数，
则，
由于，所以恒成立，则在区间上单调递增，
所以，则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个＂美好区间＂，
综上，实数的取值范围是
（3）对于任意区间，记，因为对于任意，
都有，所以在区间上单调递减，故，
因为，即S的长度大于的长度，故不满足性质①，
所以若为的＂美好区间＂必满足性质②，即，
即只需要或，由显然不恒成立，所以存在常数使得，
如果，取，则区间满足性质②；
如果，取，则区间满足性质②；
综上，函数一定存在＂美好区间＂；
记，则的图象连续不断，下证明有零点，
由于在R上单调递减，则在R上是减函数，记
若，则是的零点；
若，则，记，
由零点存在定理，可知存在，使得；
若，则，记，
由零点存在定理，可知存在，使得；
综上，有零点，即，
因为所有＂美好区间＂都满足性质②，故，否则与性质②矛盾；即存在，使得不属于函数的任意一个＂美好区间＂，证毕．华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷3
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设全集，集合，则 .
2．的展开式中，含项的系数为 .
3．已知两个正数的几何平均值为1，则的最小值为 .
4．已知在中，所对边分别为，且．若，则的面积等于 .
5．不等式的解集为 .
6．若向量在向量上的投影向量为，则等于 .
7．若无穷等比数列的前项和为，则首项的取值范围是 .
8．已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是 .
9．已知甲、乙两个盒子中各有10个球，其中甲盒内有1个黑球和9个白球，乙盒内有1个白球和9个黑球.现从两个盒子中随机挑选一盒，并从该盒中依次无放回地摸出两个球.则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为 .
10．已知，满足，且，其中i是虚数单位.若，则的取值范围为 .
11．如图所示，地在地的正东方向，相距地在地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远2km，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物.经测算，从到两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01）.
12．对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．从中随机取一个数，这个数比大的概率为，若为上述数据中的第百分位数，则的取值可能为（ ）.
A．50 B．60 C．70 D．80
14．已知是空间的直线或平面，要使命题＂若，则＂是真命题，可以是（ ）.
A．是三个不同的平面 B．是两条不同的直线，是平面
C．是三条不同的直线 D．是两条不同的直线，是平面
15．已知，函数及其导函数的定义域均为。则下列命题中真命题的个数为（ ）.
①若曲线关于直线对称，则曲线关于点对称；
②若曲线关于点对称，则曲线关于直线对称；
③若曲线关于直线对称，则曲线关于点对称；
④若曲线关于点对称，则曲线关于直线对称．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）.
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥中，平面平面为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设，已知。
（1）设，求函数的值域；
（2）设且，根据的不同取值，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某公司生产的糖果每包标识＂净含量500g＂，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的实际净含量服从正态分布.
（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；
（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为.求的分布和期望（精确到0.001）.
参考数据：，其中为标准正态分布函数．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，已知椭圆为的上顶点，是上异于上、下顶点的动点，为轴正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求点的坐标；
（2）设点，且为顶点的三角形为为直角三角形，求的横坐标；
（3）若，直线与交于另一点，且，求直线的方程.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若定义在R上的函数和分别存在导函数和。且对任意均有，则称函数是函数的＂导控函数＂．我们将满足方程的称为＂导控点＂．
（1）试问函数是否为函数的＂导控函数＂？
（2）若函数是函数的＂导控函数＂，且函数是函数的＂导控函数＂，求出所有的＂导控点＂；
（3）若，函数为偶函数，函数是函数的＂导控函数＂，求证：＂＂的充要条件是＂存在常数使得恒成立＂．
华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷3
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设全集，集合，则 .
【答案】
【解析】由题知，
又，则．
2．的展开式中，含项的系数为 .
【答案】80
【解析】的展开式通项为，
令，得，因此，的展开式中，含项的系数为．
3．已知两个正数的几何平均值为1，则的最小值为 .
【答案】2
【解析】由题得，即，故，当且仅当时，等号成立
4．已知在中，所对边分别为，且．若，则的面积等于 .
【答案】
5．不等式的解集为 .
【答案】
6．若向量在向量上的投影向量为，则等于 .
【答案】-2
【解析】向量在向量上的投影向量为，
所以．
7．若无穷等比数列的前项和为，则首项的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则，因为，
当时，，所以，即，
当时，，当时，，
所以的取值范围是．
8．已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，点和在直线的同侧，
可得，即，解得，
设直线倾斜角为且，可得，解得，
即直线倾斜角的取值范围是．
9．已知甲、乙两个盒子中各有10个球，其中甲盒内有1个黑球和9个白球，乙盒内有1个白球和9个黑球.现从两个盒子中随机挑选一盒，并从该盒中依次无放回地摸出两个球.则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为 .
【答案】
10．已知，满足，且，其中i是虚数单位.若，则的取值范围为 .
【答案】
11．如图所示，地在地的正东方向，相距地在地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远2km，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物.经测算，从到两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01）.
【答案】85.53
【解析】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示：，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．故，故轨迹方程为：．
由题意修建的三条公路总费用
,
由图形可知，当三点共线，即在点处时，有最小值，
由题意，所以，所以
12．对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 .
【答案】643
【解析】，
当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值0，
当时，该函数取得极小值，图象如图：观察图象知，
当与图像有一个公共点时，相应有1种取法；
当与图像有两个公共点时，相应的有种取法；
当与图像有三个公共点时，相应的有种取法，
直线与函数图象的交点个数可能的取值如下：,
对应的函数个数为，.
所以集合中元素之和为643.
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．从中随机取一个数，这个数比大的概率为，若为上述数据中的第百分位数，则的取值可能为（ ）.
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【解析】从中随机取一个数，这个数比大的概率为，则，
为数据的第6个数，为上述数据中的第百分位数，，则的取值可能为70．
14．已知是空间的直线或平面，要使命题＂若，则＂是真命题，可以是（ ）.
A．是三个不同的平面 B．是两条不同的直线，是平面
C．是三条不同的直线 D．是两条不同的直线，是平面
【答案】D
【解析】对于A：若是空间中三个不同的平面，且，则平面和平面的位置不确定，故A错误；
对于B：是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，则直线和平面的关系为直线平面或直线平面，故B错误；
对于C：若是空间中三条不同的直线，且，则直线和直线的位置不确定，故C错误；
对于D：是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，则，故D正确．
15．已知，函数及其导函数的定义域均为。则下列命题中真命题的个数为（ ）.
①若曲线关于直线对称，则曲线关于点对称；
②若曲线关于点对称，则曲线关于直线对称；
③若曲线关于直线对称，则曲线关于点对称；
④若曲线关于点对称，则曲线关于直线对称．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）.
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
【答案】C
【解析】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列，则，但不存在，使得，所以不为内和数列，故AB错误；
对于选项C：因为，对任意，可知存在，
使得，
则，即，且内和数列为递增数列，
可知，所以其伴随数列为递增数列，故C正确；
对于选项D：例如，显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，
且的伴随数列为递增数列，但不是递增数列，故D错误.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥中，平面平面为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明略 （2）
【解析】（1）因为是中点，所以，
因为平面，平面平面，且平面平面，
所以平面．因为平面，所以．
（2）作出二面角的平面角．如图所示，作，垂足为点．
作，垂足为点，连结，则.
因为平面，所以平面，为二面角的平面角．
因为，所以.
由已知得，故．
又，所以．
因为，．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设，已知.
（1）设，求函数的值域；
（2）设且，根据的不同取值，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由已知，
函数分
因为，所以，因此，
分别当时取最小值和最大值，所以函数的值域为．．．6分
（2）原函数可化简为：．．．．．．7分
情况一：当时，，可解得在区间上存在3个解．．．．．．9分
情况二：当时，令，令，
可解得：，显然随着的增大而增大且，
根据韦达定理：同样随着的增大而增大．．．．．．12分
此时又因为在区间［］
各存在2个零点；因此当时，在区间上存在4个解．．．．．．．14分
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某公司生产的糖果每包标识＂净含量500g＂，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的实际净含量服从正态分布.
（1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）；
（2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为.求的分布和期望（精确到0.001）.参考数据：，其中为标准正态分布函数．
【答案】（1）0.046 （2）分布为，．
【解析】（1）用表示每包糖果的净含量.
由题意，．而的概率等于．
令，则．因此，．
故净含量误差超过5g的概率约为0.046.
（2）的可能取值为.
同（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为.
故服从二项分布．从而的分布为，
因此．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，已知椭圆为的上顶点，是上异于上、下顶点的动点，为轴正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求点的坐标；
（2）设点，且为顶点的三角形为为直角三角形，求的横坐标；
（3）若，直线与交于另一点，且，求直线的方程.
【答案】（1） （2）； （3）
【解析】（1）设，由，得；
（2）设，当时，，得，
当时，，得，或，所以的横坐标为；
（3）设，由得，
由得，由，得，
又点椭圆，
解得，所以直线为．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若定义在R上的函数和分别存在导函数和。且对任意均有，则称函数是函数的＂导控函数＂．我们将满足方程的称为＂导控点＂．
（1）试问函数是否为函数的＂导控函数＂？
（2）若函数是函数的＂导控函数＂，且函数是函数的＂导控函数＂，求出所有的＂导控点＂；
（3）若，函数为偶函数，函数是函数的＂导控函数＂，求证：＂＂的充要条件是＂存在常数使得恒成立＂．
【答案】（1）是 （2）＂导控点＂为2； （3）证明见解析
【解析】（1）由，得，由，得，
因为，所以函数是函数的＂导控函数＂；
（2）由，得，由，得，
由，得，由题意可得恒成立，
令，解得，故，从而有，所以，
又恒成立，即恒成立，
所以，所以，故且＂导控点＂为2；
（3）充分性：
若存在常数使得恒成立，则为偶函数，
因为函数为偶函数，所以，
则，即，所以恒成立，所以；
必要性：
若，则，所以函数为偶函数，
函数是函数的＂导控函数＂，因此,
又，因此函数是函数的＂导控函数＂，
所以，即恒成立，用代换有，
综上可知，记，则，
因此存在常数使得恒成立，
综上可得，＂＂的充要条件是＂存在常数使得恒成立＂．

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