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2024-2025学年河南省信阳高级中学北湖校区高二下学期 5月测试（一）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 1 22 < 2 ≤ 2 ， = ∈ Z 1 ≤ 0 ，则 ∪ =( )
A. 1 B. 1 ≤ ≤ 1
C. 1 < ≤ 1 D. 1,0,1
2.已知曲线 = 3在点(1,1)处的切线与 + + 1 = 0 直线垂直，则 的值是
A. 1 B. 1 C. 1 13 D. 3
3.已知向量 = ( , + 1)， = (2, 1)，且 · = 2，则 3 + 2 =( )
A. (1, 2) B. (1, 4) C. (2,1) D. (4,1)
4.有男 女教师各 1 人，男 女学生各 2 人，从中选派 3 人参加一项活动，要求其中至少有 1 名女性，并且
至少有 1 名教师，则不同的选派方案有( )
A. 10 种 B. 12 种 C. 15 种 D. 20 种
5.经过圆锥的轴的截面是面积为 2 的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是( )
A. 4 2 B. 4 C. 2 2 D. 2
6.设 ， 为随机变量，且 ( ) = 2, 2 = 6, = 2 1，则 ( ) =( )
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
7.下列说法不正确的是( )
A.在回归直线方程 = 0.85 + 2.3 中， 与 具有负线性相关关系
B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝．对．值．就越大
C.随机变量 服从正态分布 (4,1)，若 ( ≥ 5) = 0.2，则 (3 < < 5) = 0.6
D.已知随机变量 服从二项分布 ( , )，若 ( ) = 30， ( ) = 20，则 = 23
2 2
8 .已知 1, 2是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点， 是坐标原点，过 1作直线与 交于 ， 两点，
若 2 = | |，且
3 2
2的面积为 6 ，则椭圆 的离心率为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 312 6 3 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列 的公比为 ，前 ∈
1
项和为 ，若 1 = 8 , 6 = 9 3，则下列结论正确的是( )
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A. = 12 B. = 2 C. = 2
1
8 ∈
D. +1 = 2 +
1
2 ∈

10.某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有 3 位男士、2 位女士，乙队有 2 位男士、3 位女士．现
从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件 1和 2表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以
事件 表示从乙队(甲队已经抽取一人派往乙队)中随机抽取一人抽到的是男士，则( )
A. 11 2 = 0 B. 1 = 2 C. ( ) =
13 D. = 930 2 16
11.下列说法中正确的是( )
A.将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 10 种放法
B. 502019 + 1 被 7 除后的余数为 5
C.若( 2)5 + (2 + 1)4 = + 20 1 + 2 + 3 3 + 4 4 + 55 ，则 0 + 2 + 4 = 81
D.抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点 的横坐标，另一个的点数为点 的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子
7
三次，点 在圆 2 + 2 = 16 内的次数 的均值为12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( 1. )84 的展开式中的有理项共有 项．2
13.已知圆 2 + 2 = 1 和圆( + 3)2 + ( )2 = 16 相切，则 =
14.数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下
性质：C = C ，C0 + C1 + C2 3 + C + + C = 2 .应用上述知识，计算
C1 + 2C2 3 + 3C + + C = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的准线方程为 = 1．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 (1,0)的直线与抛物线 交于 、 两点，若| | = 4，求| |的值．
16.(本小题 15 分)
如图，圆柱 1的轴截面 1 1是一个边长为 2 的正方形，点 为棱 1的中点， 1为弧 1 1上一点，且
∠ 1 1 1 = 3
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(1)求三棱锥 1 1的体积；
(2)求二面角 1 1的余弦值．
17.(本小题 15 分)
1 1
已知数列 满足 1 = 2 ,

+1 = 2 , ∈ ．
(1) 1证明：数列 1 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 = ( 1) 1 ，求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学
校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来 7 个星期(用 = 1
表示第 1 个星期，用 = 2 表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数 (人)的统计数据．
1 2 3 4 5 6 7
6 14 20 37 74 108 203
(1)根据表中数据可以判断 与 大致满足回归模型 = ，试建立 与 的回归方程(精确到 0.01)；
(2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生 30
人，其身高的平均数和方差分别为 171.5 和 13.0；抽取了女生 20 人，其身高的平均数和方差分别为 161.5
和 27.0，试求全体学生身高的平均数和方差．
参考数据： = 66, ≈ 1.57,7 =1 = 2681,
7
=1 = 50.95，其中 = lg
1 7
, = 7 =1 ；
参考公式：对于一组数据 1, 1 , 2, 2 , , , ，其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计
=

=1 公式分别为
2 2
， = ．
=1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + e2 ．
(1)讨论函数 ( )的单调性;
(2)若函数 ( )有两个零点 1, 2，求证： 1 2 < 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.0 或 4 或 4
14. ·2 1
15.【详解】(1)抛物线 的准线方程为 = 2，所以 2 = 1，即 = 2，
因此，抛物线 的标准方程为 2 = 4 ．
(2)设点 1, 1 、 2, 2 ，由对称性，不妨设点 在第一象限，
由抛物线的定义可得| | = 1 + 1 = 4，可得 = 3，则 21 1 = 4 × 3 = 12，可得 1 = 2 3，
所以点 3,2 3 ，易知点 (1,0)，
所以直线 的斜率为 = =
2 3
3 1 = 3，则直线 的方程为 = 3( 1)，
= 3( 1)
联立 可得 3 2 10 + 3 = 0 1，解得 = 3， = ，
2 = 4 1 2 3
4
所以| | = 2 + 1 = 3．
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16.【详解】(1)过 1作 1 ⊥ 1 1交 1 1于点

，因为 1 1 = 1 1 = 1，∠ 1 1 1 = 3，
所以 1 1 1为正三角形，所以 为 1 1中点，即 1 =
3
2 ，
又因为平面 1 1 ⊥平面 1 1 1，面 1 1 ∩面 1 1 1 = 1 1， 1 ⊥ 1 1， 1 面 1 1 1，所以 1 ⊥
面 1 1 ，即 1 ⊥面 1 ，
因为 为 1的中点，所以 1 = = 2，又 1 = 2，
即 1 2 + 2 = 21 ，即∠ 1 =

2，则 1 的面积为 1，
1 1 3 3
1 1 = 1 1 = 3 1 1 = 3 × 1 × 2 = 6
(2)因为在圆柱 1中，轴截面 1 1是正方形，取弧 的中点 ，
所以 , , 1两两垂直，以 ， ， 1为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意知 (0,0,0)， (0,1,1)， 3 11(0, 1,2)， 1 2 , 2 , 2 ，
= (0,1,1)， 3 11 = 2 , 2 , 2 ，
设平面 1 的法向量 1 = , , ，
1 1 = 0 32 +
1
2 + 2 = 0则
1
，即 ,
= 0 + = 0
取 = 1，则 = 1， = 3，则 1 = ( 3, 1, 1)，
平面 1的法向量可取 2 = 1,0,0
cos < , > = 1 2 = 3 15所以 1 2 1 2 5×1
= 5 ，
设二面角 1 1为 ，则 为锐角，
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15
所以 cos = cos 1, 2 = 5 ，
所以二面角 1
15
1的余弦值为 5 ．
17.【详解】(1) 1 1 1 1因为 +1 = 1 2 = ，且 1 2 1 = 2 ≠ 0，
1 = 2 所以 1 1 = 1 +
1 1 1
，即 = 1，
+1 1 1 +1 1
1 1
又1 = 2，所以数列 1 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，1
1
所以1 = + 1，所以 = +1；
(2)由(1) = +1 1知 +1，所以 = ( 1)
= ( 1) +1 +1 +
1
+1 ，
所以 = 1 + 2 + +
= 1 + 1 1+ 1 + 1+ 1
+1
2 2 3 3 4 + ( 1)
+1 1 1 ( 1)
+ +1 = 1 + +1 ，
= 1 + ( 1)
+1
故 +1 ．
18.【详解】(1)已知 = ，两边取常用对数可得 lg = lg( ) = lg + lg ，
设 = lg ， = lg ， = lg ，则回归方程变为 = + ．
先计算，7 2 =1 = 1
2 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140， = 7， =
1+2+3+4+5+6+7
7 = 4．
7
= =1 7 根据参考公式， 7 2 ，将
7 = 50.95， ≈ 1.57，7 2
7 2 =1 =1
= 140， = 4 代入可得：
=1
= 50.95 7×4×1.57 50.95 43.96 6.99140 7×42 = 140 112 = 28 ≈ 0.25．
= ≈ 1.57 0.25 × 4 = 1.57 1 = 0.57．
则 = 0.25 + 0.57，
因为 = lg ， = lg ，所以 lg ≈ 0.57，则 ≈ 100.57；lg ≈ 0.25，则 ≈ 100.25．
所以 与 的回归方程为 = 100.57 100.25 ．
即 = 100.25 +0.57.
(2) 30×171.5+20×161.5 5145+3230 8375全体学生身高的平均数 = 30+20 = 50 = 50 = 167.5．
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2 2 2
2 = 1[ 1+( 1 ) ]+ 2[ 2+(
2
根据方差公式 2
) ]
+ (其中 1, 2为各层人数，
2, 2为各层方差， 1, 2为各层平
1 2 1 2
均数， 为总平均数)．
将 1 = 30， 21 = 13.0， 1 = 171.5， 2 = 20， 22 = 27.0， 2 = 161.5， = 167.5 代入可得：
2 30 × [13.0 + (171.5 167.5)
2] + 20 × [27.0+ (161.5 167.5)2] 2130
= 30+ 20 = 50 = 42.6
则全体学生身高的平均数为 167.5，方差为 42.6．
2
19.【详解】(1)解：函数定义域为 R， ′( ) = 2 2 2 e e2 = e2 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，函数 ( )在 上单调递增；
当 > 0 时， ∈ ∞, ln ′ ln 2 时， ( ) < 0, ∈ 2 , + ∞ 时，
′( ) > 0，
所以函数 ( ) ln ln 在 ∞, 2 上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增．
综上，当 ≤ 0 时，函数 ( )在 上单调递增；
> 0 ln ln 当 时，函数 ( )在 ∞, 2 上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增．
(2)解：由(1)知，若函数 ( )有两个零点 1, 2，
> 0 ln 1则 ，且 2 = ln + 1 < 0，即 0 < < e时， ( )有两个零点，
不妨设 1, 2是函数 ( )的两个零点，
= 2 , 则 1 = 2 2，两式相除得e2 2 12 2 =
1，
e 1 e 2 2
不妨设 1 < 2，设 = 2 1 > 0，
2 2 2
所以e2 = 2 = 1 , =
e e
2
2 2 1 e2
, 1 = 1 e2 = 1 e2 , 1 2 = 2，1 e2
2e2
所以，要证 < 1，只需证 < 1，即证：e4 2e2 2e2 1 2 + 1 > 0, > 0，
1 e2
2
设 ( ) = e4 2e2 2e2 + 1，
则 ′( ) = 4e4 4e2 2 + 2 e2 = 4e2 e2 1 12 +
2 ，
令 = e 1, > 0，则 ′ = e 1，
所以，当 ∈ (0, + ∞)时， ′ = e 1 > 0， = e 1 单调递增，
所以 = e 1 > 0，在(0, + ∞)恒成立，即e > + 1, > 0，
令 ( ) = e2 1 12 +
2 ，
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则 ′( ) = 2e2 12 (1 + 2 ) > 2(2 + 1)
1
2 (1 + 2 ) = 3 +
3
2 > 0，
所以， ( )在 ∈ (0, + ∞)上单调递增，
所以， ( ) > (0) = 0，
所以 ′( ) > 0 在 ∈ (0, + ∞)上成立，即 ( )在 ∈ (0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 0，即e4 2e2 2e2 + 1 > 0, > 0．
所以， 1 2 < 1．
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