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2024-2025学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二下学期 4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∣ 1 ≤ < 2}, = { ∣ ≥ 1}，则 ∩ =( )
A. { ∣ 1 ≤ ≤ 1} B. { ∣ ≥ 1} C. { ∣ > 2} D. { ∣1 ≤ < 2}
2.已知 i 2i为虚数单位，若 = 1+i，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i
3.用 0，1，2，3，4，5 可组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. 98 B. 99 C. 100 D. 101
4.若 ， ∈ R， > 0 且 + = 2 1+ 1，则 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.函数 = 4 2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知 , 是夹角为 120°的两个单位向量，若向量 + 在向量 上的投影向量为 2 ，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 33 D.
2 3
3
6
7 1.在二项式 2 + 展开式中，下列说法不正确的是( )
A.第三项的二项式系数为 15 B.所有项的二项式系数之和为 64
C.有理项共有 3 项 D.常数项为第五项
8.函数 ( ) = 1 33 +
2 + 3 + (其中 ∈ R)的单调增区间是( )
A. ( ∞, 1), (3, + ∞) B. ( 1,3) C. ( 3,1) D. R
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某种产品的加工需要经过 5 道工序，则下列说法正确的是( )
A.若其中某道工序不能放在最后，有 96 种加工顺序
B.若其中某 2 道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有 72 种加工顺序
C.若其中某 2 道工序必须相邻，有 48 种加工顺序
D.若其中某 2 道工序不能相邻，有 36 种加工顺序
10.下列说法中正确的有( )
A.若 2 = + ，则 , , 成等差数列
B.若 2 = ，则 , , 成等比数列
C. 1若三角形的三个内角 成等差数列，则 cos = 2
D. 3若直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是5
11.已知 ( ) = (2 )8 = 2 80 + 1 + 2 + + 8 ，则下列描述正确的是( )
A.偶数项的二项式系数和为 128 B. ( 1)除以 5 所得的余数是 1
C. 1 + 2 + 3 + + 88 = 3 D. 2 2 + 3 3 + + 8 8 = 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在 3 名女生和 2 名男生中任选 2 人参加一项交流活动，其中至少有 1 名男生的概率为 ．
13.若函数 ( ) = sin( + ) > 0, | | < π 2π2 的最小正周期为π，其图象关于点 3 , 0 中心对称，则
= ．
14.(1 + 3 )(1 2 )5的展开式中 3的系数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
坛子里放着 5 个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有 3 个是绿皮的，2 个是白皮的．如果不放回地依次
拿出 2 个鸭蛋，求：
(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列 与正项等比数列 满足 1 = 1, 5 = 9, 1 = 2，且 2是 1 + 1和 3 3的等差中项．
(1)求数列 和 的通项公式；
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(2) 1求数列 的前 项和 ； +1
(3) 1设 = 2 + 1 ，记 的前 项和 ，求 ．
17.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ⊥ , = , 为 的中点，二面角
为直二面角．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
18.(本小题 17 分)
已知动点 ( , )(其中 ≥ 0)到定点 (1,0)的距离比点 到 轴的距离大 1．
(1)求点 的轨迹 的方程；
2
(2) : +
2
过椭圆 1 16 12 = 1 的右顶点作直线交曲线 于 两点，其中 为坐标原点
①求证： ⊥ ；
②设 分别与椭圆相交于点 ，证明：原点到直线 的距离为定值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 2 2 + 1．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.7/ 710
13. π3
14.40
15.解：设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件 ，第 2 次拿到绿皮鸭蛋为事件 ，
则第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋为事件 ，
(1)从 5 个鸭蛋不放回地依次拿出 2 个鸭蛋基本事件数为 ( ) = 25 = 20，
( ) = 1 1 = 12 ( ) = ( ) = 12 = 33 4 ， ( ) 20 5 .
(2)因为 ( ) = 23 = 6，
( ) = ( ) 6 3所以 ( ) = 20 = 10，
(3)由(1)(2)可得，在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下，
3
( ) 1
第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为 ( | ) = = 10 ( ) 3 = 2．
5
16.解：(1)设等差数列 的公差 ，等比数列 的公比为 ( > 0)，
由 1 = 1, 5 = 9 可知：4 = 8 = 2，所以 = 1 + 2( 1) = 2 1， 2 = 3， 3 = 5，
又因为 2是 1 + 1与 3 3的等差中项，
所以 2 2 = 1 + 1 + 3 3，即 6 = 1 + 2 + 2 2 5 = 2，
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所以 = 2 ．
(2) 1 1 1 1 1因为 = +1 (2 1)(2 +1)
= 2 2 1 2 +1 ，
= 1所以 2 1
1 1 1 1 1 1 1
3 + 3 5 + + 2 1 2 +1 = 2 1 2 +1 = 2 +1．
(3) =
1
2 2 2
= 2 ，
= 1 21 + 2 22 + + ( 1)2 1 + 2 ①，
2 = 1 22 + 2 23 + + ( 1) 2 + 2 +1②，

② ①得： = 2 22 + 2 + 2 +1 =
2 1 2 +1 +1
1 2 + 2 = 2 2 + 2
+1 = (
1)2 +1 + 2．
17.解：(1)因为 = ， 为 的中点，
所以 ⊥ ．
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
因为 = 2， ⊥ ， = ，所以 = 1．
取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，如图建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， ( 1,0,0)， ( 1,2,0)， (0,0,1)， (1,2,0)．
= ( 1,2, 1)， = (1,0, 1)，
因为 = 1+ 0 + 1 = 0，
所以 ⊥ ．
(2)设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则 = 0 2 + = 0，即 ,
= 0 2 = 0
解得 = 0，令 = 1，则 = 2，则 = (0,1,2)．
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设直线 与平面 所成的角为 ，
又 = ( 1,0, 1)，

sin = cos , = = (0,1,2) ( 1,0, 1) | 2| 10则
1+4× 1+1
= 5 2 = 5 ，
10
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 5 ．
18.解：(1)设 ( , )( ≥ 0)由题意， ( 1)2 + 2 = + 1( ≥ 0)
两边平方，整理得： 2 = 4
所以所求点 的轨迹方程为 : 2 = 4 ．
(2)①设过椭圆的右顶点(4,0)的直线 的方程为 = + 4．
代入抛物线方程 2 = 4 ，得 2 4 16 = 0．
+ = 4 ,
设 1, 1 21 2, 2 ，则 1 2 = 16.
∴ 1 2 + 1 2 = 1 + 4 2 + 4 + 1 2 = 1+ 2 1 2 + 4 1 + 2 + 16 = 0．
∴ ⊥ ．
②设 3, 3 4, 4 ，直线 的方程为 = + ，
2 2
代入 + = 1，得 3 2 + 4 216 12 + 6 + 3
2 48 = 0．
+ = 6
2
= 3 48于是 3 4 3 2+4， 3 4 3 2+4 ．
2 2
从而 3 4 = 3 + 4 + =
4 48
3 2+4
∵ ⊥ ，∴ 3 4 + 3 4 = 0．
代入，整理得 7 2 = 48 2 + 1 ．
∴ | | 4 21原点到直线 的距离 = = 7 为定值．1+ 2
19.解：(1)当 = 2 时， ( ) = 3 2 2 4 + 1，则 ′( ) = 3 2 4 4，
从而 (1) = 4， ′(1) = 5，
故所求切线方程为 + 4 = 5( 1)，即 = 5 + 1(或 5 + 1 = 0).
(2)由题意可得 ′( ) = 3 2 2 2 = (3 + )( )．
当 3 > ，即 < 0 时，由
′( ) > 0，得 < 或 > 3，由
′( ) < 0，得 < < 3，
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则 ( )在( ∞, )和 3 , + ∞ 上单调递增，在 , 3 上单调递减；
当 3 = ，即 = 0 时，
′( ) ≥ 0 恒成立，则 ( )在 R 上单调递增；

当 3 < ，即 > 0 时，由
′( ) > 0 ，得 < 3或 > ，由
′( ) < 0 ，得 3 < < ，则 ( )在 ∞, 3

和( , + ∞)上单调递增，在 3 , 上单调递减．

综上，当 < 0 时， ( )在( ∞, )和 3 , + ∞ 上单调递增，在 ,

3 上单调递减；
当 = 0 时， ( )在 R 上单调递增；
当 > 0 时， ( )在 ∞, 3 和( , + ∞)

上单调递增，在 3 , 上单调递减．
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