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2024-2025 学年山东省淄博第五中学高一下学期期中阶段检测考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+ .设复数 满足2 i = i(i 为虚数单位)，则 =( )
A. 2i B. 2i C. 2 + 2i D. 2 2i
→ → → → → →
2 .已知 = 1， = 2， 与 的夹角为3，那么 4 ( )
A. 2 B. 6 C. 2 3 D. 12
3.设 , 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 // , ，则 // B.若 // , , ，则 //
C.若 // , // ，则 // D.若 // , ∩ = ，则 //
4.把函数 = 2sin(2 6 )图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移

6个单位长度，得到函数 = ( )的图像，则 ( ) =( )
A. 2sin B. 2sin 6 C. 2sin +

3 D. 2cos
5. 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2 cos , cos + cos = 3 ，则 的形状
是( )
A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6 .若底面半径为 ，母线长为 的圆锥的表面积与直径为 的球的表面积相等，则 =( )
A. 3 1 B. 3 1 C. 5 1 D. 5 12 2
7.如图所示，棱柱

1 1 1的侧面 1 1是矩形， 是 1 1上的动点，若 1 /\ !/平面 1 ，则
1
1 1
的值为( )
A. 1 B. 13 2 C.
2
3 D. 1
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8.2025 年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，
位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某
同学为测量雷峰塔的高度 (塔底视为点 ，塔顶视为点 )，在山脚下选取了两点 ， (其中 ， ， ，
四点在同一个铅垂平面内)，在点 处测得点 的仰角为 30°，在点 处测得点 ， 的仰角分别为 60°，15°，
测得 = 36( 3 + 1)m，则按此法测得的雷峰塔塔高为( )
A. 68 B. 70 C. 72 D. 74
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若 1, 2互为共轭复数，则 1 2为实数
B.对于复数 1, 2，若 1 = 2 22 ，则 1 = 2
C.若 1 + i 是关于 的二次方程 2 + + 2 = 0( , ∈ )的根，则 1 i 也是该方程的根
D.复数 满足| 1| = 1，则| i|的最大值为 2 + 1
10.下列结论正确的是( )
A.由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B.棱台各侧棱的延长线交于一点
C.圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线
D.各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
11.在长方体 1 1 1 1中，已知 = 2 3， = 1 = 2， ， 分别为 1 1， 1 1的中点，则( )
A. 1 ⊥平面
B.若 为对角线 上的动点(包含端点)，则三棱锥 的体积为定值
C. 8 2棱锥 1 的外接球的体积为 3 π
D.若点 为长方形 内一点(包含边界)，且 1 //平面 ，则 1 的最小值为 2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 cos π.已知 12 =
1 2π
3，则 sin 3 2 = ．
13.如图， ′ ′ ′为水平放置的 的直观图，其中 ′ ′ = 2, ′ ′ = ′ ′ = 5，则 的面
积为 ．
14.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 2 1 = 2， 为 1 1的中点， 为线段 1上的点.则| | +
| |的最小值为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2cos2 + 2 3sin cos ．
(1) 求 3 的值；
(2) 11 若 2 = 5， 0, 3 ，求 cos 的值．
16.(本小题 15 分)
在 中， = 2 ， 为边 上一点， 与 相交于点 ，
(1)若 = + 1 15
，求实数 的值；
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(2)若 = ，| | = 2，| | = 6 π，∠ = 3求∠ 的余弦值．
17.(本小题 15 分)
如图所示，在四边形 中，∠ = 90 , ∠ = 135 ， = 5, = 2 2, = 2，
(1)求四边形 绕 旋转一周所成几何体的表面积；
(2)求四边形 绕 旋转一周所成几何体的体积．
18.(本小题 17 分)
sin sin 在 中，设 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 sin = + ．
(1)求角 的值；
(2)若 : = tan : tan ，判断 的形状；
(3)若 为锐角三角形，且 = 2，求 的面积 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 , = = 6, = 2 = 6, // , ⊥ , 为 的中
点， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ．
(2)证明： ⊥平面 ．
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 79
13.4 2
14. 10
15.解：(1)因为 ( ) = 2cos2 + 2 3sin cos ，
= 1 + cos2 + 3sin2 ，
= 1 + 2sin 2 + 6 ，
所以 3 = 1 + 2sin
2 + 3 6 = 1 + 2sin
5
6 = 1 + 1 = 2．
(2) = 11 ∈ 0, sin + = 3 cos + 4由 2 5， 3 得 6 5， 6 = 5，
所以 cos = cos + 6 6 ，
= cos + cos 4 3+36 6 + sin + 6 sin 6 = 10 ．
16.解：(1)因为 = 2 ，故 = + = + 1 3
又因为 与 共线，设 = ，则 = + 1 = + 1 3 3
，
=
由题意知 = + 115
1 1，故 1
3 =
1，所以 = = 5，实数 的值为5．
15
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(2)解法 1：因为 = ， = 2 1 2，所以 = 2 (
+ )， = = 3 ，
1 2 1 2 2 2所以 = 2 ( + ) 3 = 2 3
1
3
= 1 22 3 × 6
2 22 13 × 2 × 6 cos
π
3 = 9，
|
2 2
| = 1 + + 2 4
= 1 624 + 2
2 + 2 × 6 × 2 × 12 = 13，
2
| | = 4 +
2
9
4 = 4 2 2 4 13 9 × 6 + 2 3 × 2 × 6 × 2 = 2 3，
cos∠ =
9 3 39
所以
|
= =
| | | 13 2 3 26
；
解法 2：以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
因为∠ = π 3，| | = 2，|
| = 6， = 2 ，
所以 (0,0)， (6,0)， (4,0)， (1, 3)，
而 = 7 3，即 为 的中点，故 2 , 2 ，
= 7 , 32 2 ，
= (3, 3)，
= 7 32 × 3 2 × 3 = 9，
7 2 3 2
故| | = + = 13，| 22 2 | = 3 + ( 3)
2 = 2 3，

故 cos∠ = 9 3 39
|
= =
| | | 13 2 3 26
．
17.解：(1)由题意可知，四边形 绕 旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体，
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过点 作 ⊥ , ⊥ ，垂足分别为 , ，如下图所示：
易知∠ = 180 ∠ = 45 ，所以 = = sin45 = 2，
又 = 2，所以 = 4, = 2，可得 = 3, = 5；
故圆台的上底面半径为 ′ = 2，下底面半径为 = 5，高为 = = 4，
母线长 = = 5；高 ′ = 2，母线长 ′ = = 2 2，
所以圆台的侧面积为 1 = + ′ π = (5 × 5 + 2 × 5)π = 35π，
圆锥的侧面积为 2 = π ′ ′ = 4 2π，圆台的下底面面积为 23 = π = 25π，
所以几何体的表面积为 = 1 + 2 + 3 = 60 + 4 2 π．
(2)易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积，
2 2
即 = 1 ′3 +
′ + 2 π 13π
′ ′ = 13 (4 + 2 × 5 + 25) × 4π
1
3 × 4 × 2π =
148
3 π，
148
所以几何体的体积为 3 π．
18.解：(1) ∵ sin sin sin =

+ ，
∴ 由正弦定理得 = + ，
即( )( + ) = ( )，
即 2 2 = 2，
即 2 + 2 2 = ，
2
cos = +
2 2
由余弦定理得 2 =
1
2，
∵ 0° < < 180°，
∴ = 60°；
(2) ∵ : = tan : tan
∴ sin sin cos sin = cos sin ，
∴ cos = cos ，
∴ = ，
∴ 为等边三角形．
(3)因为 + = 120 , = 2，
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= 1 = 020 )由正弦定理，得 5= 5 =
3csc+sin∈
5 =
3
+ 1
= 1所以 2 sin = sin60 =
3 ( 32 + 1)
因为 为锐角三角形，则30 < < 90 ，
从而 ∈ ( 33 . + ∞)
，
3
所以 ∈ 2 , 2 3 ．
19.解：(1)如图，连接 , ，设 与 交于点 ，连接 ，
由题意可得 // , = ，所以四边形 为平行四边形，所以 为 的中点．
又因为 为 的中点，所以 为 的中位线，则 // ．
因为 平面 , 平面 ，所以 //平面 ．
(2)因为 /\ !/ , ⊥ ，所以 ⊥ ．
因为 ⊥平面 , 平面 ，所以 ⊥ ．
∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
平面 ，所以 ⊥ ．
因为 = , 为 的中点，所以 ⊥ ．
∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(3)由(2)得 ⊥平面 ，所以∠ 即为直线 与平面 所成的角．
易得 = 3 2, = 9 + 36 = 3 5，
所以 sin∠ = 3 2 10 10 = 3 5 = 5 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 5 ．
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