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2024-2025 学年天津市静海区第四中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 16 小题，每小题 5 分，共 80 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。

1.若 为虚数单位，图中复平面内点 表示复数 ，则表示复数1+ 的点是
A. B. C. D.
2.已知 ， ∈ R，则“ = 0”是“复数 + i 是实数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.水平放置的 的直观图如图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ = 3，那么原 是一个( )2
A.等边三角形 B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
4 1 i
2
.已知复数 = 1+i ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
5.在 中，若 = 2 cos ，则 是( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.已知棱长为 2 的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为( )
A. B. 2 C. 4 D. 12
7.在△ 中， = 45°， = 4， = 2，那么 cos =( )
A. 3 10 B. 3 10 5 510 10 C. 5 D. 5
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8.已知不共线向量 ， ， = ∈ R ， = 2 + 3 ，若 ， ， 三点共线，则实数 =( )
A. 1 2 3 33 B. 3 C. 2 D. 2
9.若△ 的内角 ， ， 所对的边 ， ， 满足( + )2 2 = 4，且 = 60°，则 的值为( )
A. 43 B. 8 4 3 C. 1 D.
2
3
10.已知向量 = ( 1,2)， = (1,1)，则 在 上的投影向量为( )
A. 22 B. ( 1,2) C.
2 , 2 D. 1 , 12 2 2 2
11.已知向量 ， ，满足 + 2 = 2 7， = 2， = 3，则向量 与 的夹角为( )
A. π π 2π 5π6 B. 3 C. 3 D. 6
12.在梯形 中，∠ = 90°， // ， = 2 = 2 = 2.将梯形 绕 所在直线旋转一周而
形成的曲面所围成的几何体的体积为
A. 2 B. 4 C. 5 3 3 3 D. 2
13.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1)， = (1, )， = (2, 4)且 ⊥ ， // ，则 + 与 夹角的余弦值为( )
A. 5 2 55 B. 5 C.
5
5 D.
2 5
5
14.设 的三个内角 , , ，向量 = ( 3sin , sin )， = (cos , 3cos )，若 = 1 + cos( + )，
则 =( )
A. B. 2 5 6 3 C. 3 D. 6
15.小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为 8cm 的半球，火腿肠可以看作
是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为( )
A. 256π 128π 128π 256π3 ，63π B. 3 ，63π C. 3 ，36π D. 3 ，36π
16 1 2.已知 ，点 在线段 上(不包括端点)，向量 = + ，则 + 的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 + 2 C. 2 3 + 2 D. 2 2 + 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
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17.已知 ， ∈ ，i 是虚数单位．若 + i 1 + i = i，则 + = ．
18.已知点 (2,3)， (6, 3)，若 1中点为 ， = 3
，则点 与 两点间的距离为 ．
19.小明同学在吃完早餐以后，又在冷食店购买了某型号冰淇淋，其上半部分是面积为 18π cm3 的半球形
塑料盖，下半部分是高为 9 cm 圆锥形脆皮蛋卷桶，则下部脆皮蛋卷桶的面积为 cm2 ．
20.已知在 中， = , = , < 0, = 15 4 , = 3,
= 5，则∠ = ．
21.在 中，∠ = 90°， = 1， = 2，设点 , 满足 = ， = (1 ) ， ∈ ，若 = 2，
则 = ．
22 4 .在 中，∠ ，∠ ，∠ 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为 ，且 2tan = cos + cos ， + = 2，
= 3，则 = ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题 10 分)
复数 = 2 1 + i 5 + 3i + 6，当实数 取什么值时
(1) 为实数；
(2) 为纯虚数；
(3)复数 在复平面内对应点在第四象限．
24.(本小题 10 分)
已知向量 2π， ，满足 = 2， = 3， 与 的夹角为 3 ．
(1)求 2 + 的值；
(2)若 2 + ⊥ ，求实数 的值；
(3)若 2 + // ，求实数 的值．
25.(本小题 10 分)
在 中，∠ ，∠ ，∠ 所对的边分别为 ， ， ，已知 sin : sin : sin = 2: 1: 2， = 2．
(1)求 的值；
(2)求 sin 的值；
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(3)求 sin 2 + π6 的值．
26.(本小题 10 分)

在 中，∠ ，∠ ，∠ 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 3，向量 = 3 , ， = sin , cos ，且
// ．
(1)求∠ 的值；
(2)求 周长的最大值；
(3)若∠ 的平分线 与边 相交于点 ， = 2，求 的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.3
18. 13 13 /3 13
19.9 10π
20.150°/5 6
21.3
22. 312
23.【详解】(1) = 2 1 + i 5 + 3i + 6 = 2 5 + 6 + 2 3 i，
由 为实数，则 2 3 = 0，解得 = 0 或 3．
2
(2)由 为纯虚数，则 5 + 6 = 0，解得 = 2．
2 3 ≠ 0
(3)由复数 在复平面上的对应点为 2 5 + 6, 2 3 ，该点在第四象限，
则
2 5 + 6 > 0 ( 2)( 3) > 0
2
，分解因式可得 ( 3) < 0，解得 0 < < 2． 3 < 0
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24.【详解】(1)由已知可得， = cos , = 2 × 3 × 12 = 3，
2 2
所以 2 + = 4 2 + 4 + = 4 × 22 + 4 × ( 3) + 32 = 13，
→ → 2
所以， 2 + = 2 + = 13．
(2) 2 + = 2 2
2
易知， + ( 2) = 8 3( 2) 9 = 5 3．
因为 2 + ⊥ ，
所以， 2 + = 0，
即 5 3 = 0 3，解得 = 5．
(3)因为 2 + // ，
所以， ∈ R，使得 = 2 + ，
整理可得( 2 ) ( + 1) = 0．
由 , 2 = 0的任意性可知， ( + 1) = 0 ,
= 1
解得 = 2．
25.【详解】(1)由已知结合正弦定理角化边可得 : : = 2: 1: 2，
又 = 2，所以 = 2 2， = 2．
2 2 2
(2)由(1) + 8+2 4 3结合余弦定理可得，cos = 2 = 2×2 2× 2 = 4．
又 < ，
所以 为锐角，
2
所以，sin = 1 cos2 = 1 34 =
7
4 ．
(3)由(2) 7 3知，sin = 4 ，cos = 4，
所以 sin2 = 2sin cos = 2 × 7 3 3 74 × 4 = 8 ，
2 2
cos2 = cos2 sin2 = 3 7 14 4 = 8，
sin 2 + π π所以， 6 = sin2 cos 6 + cos2 sin
π = 3 7 × 3 + 1 1 3 21+16 8 2 8 × 2 = 16 ．
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26.【详解】(1) ∵ // ，∴ sin 3 cos = 0，
由正弦定理，得 sin sin 3sin cos = 0．
又 sin ≠ 0，∴ tan = 3，
0 < < π ∴ = π由于 ， 3．
(2) ∵ = 3， = π3，
3
由正弦定理sin = sin = sin = 3 = 2 3，得 = 2 3sin ， = 2 3sin ．
2
2π
+ = 2 3(sin + sin ) = 2 3 sin 3 + sin
= 2 3 32 cos +
3
2 sin = 6sin +
π
6 ．
∵ = π3，∴ ∈ 0,
2π 5
3 ，则 + 6 ∈ 6 , 6 ．
∴当 = 3，sin + 6 = 1 时，∴ ( + )max = 6，则( + + )max = 9．
故 周长的最大值为 9．
(3) 1根据余弦定理 9 = 2 + 2 2 × 2 = ( + )
2 3 ，
∠ 的平分线 与边 相交于点 ， = 2，
所以 = + ，
1 × 3 1所以 的面积为2 2 = 2 × ×
1 + 12 2 × ×
1
2，
3
所以 3 = 2( + )，所以 9 = ( )24 3 ，所以( )
2 4 12 = 0，
所以 = 6 或 = 2 舍，
1 3 3 3
所以 的面积为2 × 2 = 2 ．
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