资源简介

2024-2025 学年天津市第二南开学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 +3i.若复数1+2i (i 是虚数单位)是纯虚数，则实数 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 6 D. 6
2.已知向量 = (2,3), = (4, )且 // ，则实数 的值为( )
A. 6 B. 6 C. 83 D.
8
3
3.在 中， 是 边上一点.若 = 2 , = 1 3
+ ，则 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 1 23 3 3 D. 3
4. , 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，下列描述中正确的是( )
A.若 // , // ，则 // B.若 // , // ，则 //
C.若 // , ，则 // D.若 // , // , ，则 //
5.在 cos 中，若cos = ，则 的形状是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
6.对于平面向量 , , 给出下列命题：
→ → → → → → → → → → → → → → → →
①若 ≠ 0, · = · ，则 = ； ②若 · = · ，则当且仅当 = 0时， ≠ 成立；
→ → → → → → → → → → → 2
③ · = · 对于任意的向量 , , 都成立； ④对于任意的向量 ，都有 2 = ；
其中真命题有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
7.若非零向量 ， 满足| | = | |，则( )
A. |2 | > | 2 | B. |2 | < | 2 |
C. |2 | > | 2 | D. |2 | < | 2 |
8.已知 是边长为 2 的等边三角形，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 并延长到点 ，使得 =
2 ，则 的值为( )
A. 5 1 112 B. 2 C. 1 D. 2
第 1页，共 7页
9 = 1 = 2.在三棱锥 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 3 ， 3 ，则三棱锥 和三
棱锥 的体积之比为( )
A. 19 B.
2
9 C.
1 D. 43 9
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.已知 , ∈ R，i 是虚数单位，若 1 + i 1 i = ，则 + i 等于 ．
11. 中， = 6, = 45 , = 2，则角 等于 ．
12.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1， 2，过直线 1 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正
方形，则该圆柱的表面积为 ．
13.一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．
2 2
14.设向量 = ( ,1), = (1,2)，且 + = 2 + ，则 = ．
15.在边长为 1 的正方形 1中，点 为线段 的三等分点， = , 2 =
+ ，则 + = ；
为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
3
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2，cos = 5．
(1)若 = 4，求 sin 的值；
(2)若 的面积 = 4，求 ， 的值．
17.(本小题 15 分)
已知| | = 1，| | = 2．
(1)若向量 与向量 的夹角为 135°，求| + |及 在 方向上的投影；
(2)若向量 与向量 垂直，求向量 与 的夹角．
18.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， , 分别是 , 的中点．
第 2页，共 7页
(1)求证： //平面 ；
(2)在 上取一点 (不与 , 重合)，设过点 和 的平面交平面 于 ，求证： // ．
19.(本小题 15 分)
在 中，角 、 、 所对的边分别为 ， ， .已知 = 6, = 2 , cos = 14．
(1)求 的值；
(2)求 sin 的值；
(3)求 sin(2 )的值．
20.(本小题 15 分)
已知点 是锐角 的外心， , , 分别为角 , , 的对边， 2 = 2 + 2 ，
(1)求角 ；
(2)若 = 4，求 面积的最大值；
(3) cos 若 cos sin + sin = ，求 的取值范围．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 5
11.75 或15
12.12
13.3π
14. 2
15.4 53 ； 18
16. 3 4【详解】(1)因为 cos = 25，所以 sin = 1 cos = 5，
= 在 中，由正弦定理得sin sin ，
4
2 4 2×
即 5sin = 4，所以 sin = 4 =
2
5；
5
(2)由(1) 4得 sin = 5，
因为 1 = 2 sin = 4
1
，即2 × 2
4
5 = 4，解得 = 5，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 25 2 × 2 × 5 × 35 = 17，所以 = 17，
综上， = 17, = 5．
2 2
17.【详解】解：(1)由已知得 + = ( + )2 = 2 + 2 + = 1 + 2 × 1 × 2 × ( 22 ) + 2 = 1，
∴ + = 1；
在 2方向上的投影为| |cos135 = 2 ( 2 ) = 1
第 4页，共 7页


(2)由已知得 = 0，即 2 = 0 ∴ = 1 ∴ cos < , > = = 1， 1× 2 =
2
2 , ∵ < , >

∈ [0, ]，
∴向量 与 的夹角为 45°．
【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题．
18.【详解】(1)取 的中点 ，连接 , ，如图所示．
因为 , 分别是 , 的中点，
所以 中， // 1，且 = 2 ．
因为 为四棱锥，所以 // ，且 = ．
所以 // 且 =
所以四边形 为平行四边形，所以 //
又 在平面 内， 在平面 外，
所以 //平面 ．
(2)连接 交 于点 ，连接 ，如图所示．
因为四边形 是平行四边形，所以 是 的中点．
又因为 是 的中点，在 中，根据三角形中位线定理可得 // ．
因为 平面 ， 在平面 外，
根据线面平行的判定定理，得知 //平面 ．
第 5页，共 7页
因为过点 和 的平面交平面 于 ，且 //平面 ，
根据线面平行的性质定理可得， // ．
19.【详解】(1)因为 2 = 2 + 2 2 cos 1，即 6 = 2 + 2 + 2 ，而 = 2 ，代入得 6 = 4
2 + 2 + 2，
解得： = 1．
(2) (1) = 2 0 < < π sin = 1 cos2 = 15 = sin 由 可求出 ，而 ，所以 4 ，又sin sin ，所以 sin = =
2× 154
6 =
10
4 ．
(3) 1 π π 15因为 cos = 4，所以2 < < π，故 0 < < 2，又 sin = 1 cos
2 = 4 ，所以 sin2 = 2sin cos =
2 × 14 ×
15
4 =
15 2
8 ，cos2 = 2cos 1 = 2 ×
1
16 1 =
7 sin = 108，而 4 ，所以 cos = 1 sin
2 =
6
4 ，
故 sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = 15 6 7 10 108 × 4 + 8 × 4 = 8 ．
20.【详解】(1)因为 2 = 2 + 2 ，则 2 + 2 2 = ，
2cos = +
2 2
由余弦定理可得 2 =
1
2，
因为 ∈ 0, π π，所以 = 3；
(2)因为 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，则 ≤ 2 = 16，
当且仅当 = = 4 时，等号成立，
1
所以 = 2 sin ≤
1
2 × 16 × sin
π
3 = 4 3，
所以 面积的最大值为 4 3．
(3)分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
可得 = ( + ) = = 1 2 =
1 2
2 | | ，
1
同理可得 = | 2 |
2，
第 6页，共 7页
cos
由 + cos = cos 得，
2
sin sin sin
+ cos sin = ，
1
2
cos 所以 1
2
cos =
2
2 sin 2 sin ，

即 cos | |+ cos |
2
sin
|
sin = 2
，

在 | | | |中，由正弦定理得：sin = sin = 2 ，( 为 的外接圆的半径)
代入上式得 cos | | 2 + cos | | 2 = 2 2，
则 cos | | + cos | | = ，
由正弦定理得，| | = 2 sin , | | = 2 sin ，
代入上式得，2 sin cos + 2 cos sin = ；所以 2sin( + ) = ，
所以 2sin = ，即 = 2sin ，
因为 = π 2 π π3，且 为锐角三角形，0 < 3 < 2 , 0 < < 2，所以6 < < 2，
1
所以2 < sin < 1，所以 2 < 2sin < 1，
即 的取值范围( 2, 1)．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑