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2024-2025学年天津市第一百中学、咸水沽第一中学高一下学期5月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，那么的周长为( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知的三个内角所对应的边分别为，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
6.设为三个平面，为两条直线，且下述四个命题：
若，则或 若，则或
若且，则 且，则
其中所有真命题的编号是( )
A. B. C. D.
7.已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知边长为的正方形，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若为的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面为矩形若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，化简的结果为 ．
11.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则该圆锥的体积为 ．
12.已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 ．
13.在中，分别为的中点，与相交于点若，则 ．
14.已知正三棱台由正三棱锥截得的棱台的高为，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
15.在中，点为的中点，点为上一点，且满足，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角所对的边分别为，
求角的值
若的面积，且，求；
求的值．
17.本小题分
如图，四棱柱中，平面底面是平行四边形，侧棱，分别是和的中点．
求证：平面
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为向量且满足
求角的值
角的平分线交边与点，求的最小值．
19.本小题分
已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且
求证：平面
求点到平面的距离．
求平面与平面所成锐二面角的正弦值．
20.本小题分
在锐角中，点为的外心．
若求的值；
若求的值；
若求的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：由，
结合正弦定理边化角可得：，
由两角和的正弦展开化简可得：，
又为三角形内角，，
所以，又为三角形内角，
所以，
由，，
，
所以，
，
所以
由，可得，
所以，
由，
所以

17.解：取中点为，连接，
在中，为中点，为的中点，
所以且，
在四棱柱中，，为的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，
因为
所以由余弦定理得，
此时有，所以，
又因为平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面，
如图建系，由，
可知：，
则
可得，
由于平面的法向量可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
设，则，
所以
故直线与平面所成角的正切值为．

18.解：由可得，，
，
由余弦定理得，
由等面积法得：，
代入得，
所以
，
因为，所以，
当且仅当时取等号．
故的最小值为
19.解：由平面，平面，所以，
又由底面是矩形，则，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又由为的中点，所以，
又因为平面，所以平面；
连接，由平面，平面，所以，
又因为，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以
又因为是中点，所以，
则，，
由等体积法可得点到平面的距离满足：
；
延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，
即，又由于，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是，
因为，分别是的中点，
所以，即，
所以，
平面与平面所成锐二面角的正弦值为．

20.解：
作根据圆的性质可得分别为的中点，
则，
由正弦定理可知，设外接圆半径为，则有，
所以，根据圆心角性质又可知，
则有．
设三角形中角所对的边为，
则由可得
化简得：，
还可得：，
化简得：，
联立解得：，，
所以，当且仅当时，等号成立，
此时的最大值为．

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