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2024-2025 学年天津市百华实验中学高一下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图， ′ ′ ′是一平面图形 的直观图，直角边 ′ ’ = 1，则 的面积是( )
A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 4 2
2.在 中， 为 边上的中线， 为 的中点.则 =( )
A. 3 1 B. 3 3 C. 3 + 1 D. 3 + 3 4 4 4 4 4 4 4 4
3.在 中，已知 = 120°， = 19， = 2，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 3
4.下列命题中，正确的是( )
A.四棱柱是平行六面体 B.直平行六面体是长方体
C.六个面都是矩形的六面体是长方体 D.底面是矩形的四棱柱是长方体
→ → → → →
5.已知非零向量 ， 满足 = 2 ， ⊥ ，则 与 的夹角为( )
A. π2 B.
π C. π π3 4 D. 6
6.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )．
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
7.在 中，若sin2 +sin2 < sin2 ，则 的形状是
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
8.已知直三棱柱 1 1 1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1 和 3，此三棱柱的高为 2 3，
则该三棱柱的外接球的体积为( )
A. 32π 16π3 B. 3 C. 36π D. 16π
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9.在△ 中，若 · = 7, = 6，则△ 面积的最大值为( )
A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.若复数 满足(1 i) = 6i，则 的虚部为 ．
11.在 中， , , 是 的三边且满足 2 = 2 + 2 + ，则角 的大小为 ．
12.直角边为 6 和 8 的直角三角形绕边长为 6 的直角边旋转形成圆锥，该圆锥的母线长等于 ，该圆锥
的体积等于 ．
13.已知 ( 1,2)、 (2,0)、 ( , 3)，且 、 、 三点共线，则 = ．
14.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 4，除面 外，该正方体其余器面的中心分别为点 ， ， ，
， (如图)，则四棱锥 的体积为 ．
15.如图，在 中， = ， = ， ， 分别为 ， 的中点， 为 与 的交点，且 = 2 .
π
若 = + ，则 + = ；若 = 3， = 4，∠ = 3，则 · = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知复数 = 2 + 2 4 + 3 i， ∈ R．
(1)若 = 4，求| |；
(2)若 为实数，求 的值；
(3)若复数 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
17.在锐角 中，角 , , 的对边分别为 ， ， ，且 2 sin = 3 ．
(1)求角 的大小；
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(2)若 = 4， + = 8，求 的面积．
18.已知向量 = 1,3 , = 3, ．
(1)若 // ，求∣ ∣的值；
(2)若 ⊥ + 2 ，求实数 的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
19.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 垂直于底面， 、 分别是 、 的中点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求证： //平面 ；
(3)设 与 交于 点，求证：平面 //平面
20.如图，在三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直底面，各棱长均为 2， 为 的中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求异面直线 1与 1 所成角的余弦值；
(3)求证：平面 1 ⊥平面 1 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.3
11.2π3
12.10；128π
13. 52
14.16 13 /5 3
15. 1 43 ； 3
16.解：(1)当 = 4 时， = 2 + 3i，所以| | = 22 + 32 = 13；
(2)因为 = 2+ 2 4 + 3 i， ∈ R 为实数，
所以 2 4 + 3 = 0，解得 = 1 或 = 3．
(3)复数 = 2+ 2 4 + 3 i， ∈ R 在复平面内对应的点为 2, 2 4 + 3 ，
2 > 0
依题意可得 2 4 + 3 < 0，解得 2 < < 3，即实数 的取值范围为(2,3)．
17.解：(1)因为 2 sin = 3 ，由正弦定理得 2sin sin = 3sin ，
因为 ∈ 0, π2 ，所以 sin > 0，
所以 2sin = 3 3，即 sin = 2 ，
π π
因为 ∈ 0, 2 ，所以 = 3；
(2)由(1)知： = π3，又因为 = 4， + = 8，
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由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，即 16 = 2 + 2 = ( + )2 3 = 82 3 ，
解得 = 16，
1 1 3所以 面积为2 sin = 2 × 16 × 2 = 4 3．
18. →
→
解：(1)因为向量 = (1,3), = ( 3, )，且 /\ !/ ，
所以 1 × 3 × ( 3) = 0，解得 = 9，即 = ( 3, 9)，
所以 = ( 3)2 + ( 9)2 = 3 10．
(2)因为 + 2 = ( 5,3 + 2 )，且 ⊥ + 2 ，
所以 1 × ( 5) + 3 × (3 + 2 ) = 0，解得 = 23．
(3)因为 与 的夹角是钝角，则 < 0 且 与 不共线，
可得 1 × ( 3) + 3 × < 0 且 ≠ 9，解得 < 1 且 ≠ 9，
所以实数 的取值范围为( ∞, 9) ∪ ( 9,1)．
19.解：(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又底面 是矩形，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)取 的中点 ，连接 ， ，因为 、 分别是 、 的中点，
所以 // 且 = 12 ，又 // 且 =
1
2 ，
所以 // 且 = ，
则四边形 为平行四边形，
所以 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(3)因为 为矩形， 与 交于 点，
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所以 为 的中点，且为 的中点，
又 、 分别是 、 的中点，
所以 // ， // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以平面 //平面 ．
20.解：(1)设 1 ∩ 1 = ，连接 ，可知 为 1, 1 的中点，
因为 为 的中点，则 // 1，
且 平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 1//平面 1 ．
(2)因为 // 1，则异面直线 1与 1 所成角为∠ (或其补角)，
在 中，由题意可知： = 3, = 2, = 12 1 = 2，
cos∠ =
2+ 2 2
则 2 =
2+2 3 1
2× 2× 2 = 4，
1
所以异面直线 1与 1 所成角的余弦值为4．
(3)因为 = ，且 为 的中点，则 ⊥ ，
又因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ 1，
且 ∩ 1 = ， , 1 平面 1 1，则 ⊥平面 1 1，
由 平面 1 ，可知平面 1 ⊥平面 1 1．
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