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2025湘教版数学必修第一册
1.1　集合
1.1.1　集合
第1课时　集合与元素
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列每组对象,能构成集合的是(　　)
A.中国各地最美的乡村
B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C.一切很大的数
D.清华大学2023年入学的全体学生
2.下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)
A.0∈N B.π∈Q
C.∈Q D.-1 Z
3.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数解为元素构成集合M,则M中元素的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m为(　　)
A.2 B.3
C.0或3 D.0或2或3
5.有下列说法:
①N中最小的数为1;②若-a∈N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.
其中正确的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
6.一个书架上有九个不同种类的书各5本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有　　　　　个元素.
7.有下列说法:
①N与N+是同一个集合;
②N中的元素都是Z中的元素;
③Q中的元素都是Z中的元素;
④Q中的元素都是R中的元素,其中正确的有　　　　　.(填序号)
8.设x∈R,A表示由3,x,x2-2x构成的集合.
(1)求元素x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
B级 关键能力提升练
9.已知x∈R,由x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含有元素的个数是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
10.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a可能为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
11.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.
C级 学科素养创新练
12.已知集合S满足:若a∈S,则∈S.请解答下列问题:
(1)若2∈S,则S中必有另外两个元素,求出这两个元素.
(2)证明:若a∈S,则1-∈S.
(3)在集合S中,元素能否只有一个 若能,把它求出来;若不能,请说明理由.
答案：
1.BD　中国各地最美的乡村,无法确定集合中的元素,故A不正确;
一切很大的数,无法确定集合中的元素,故C不正确;根据集合中元素的确定性可知,B,D都能构成集合.故选BD.
2.A　0是自然数,π,是无理数,不是有理数,-1是整数,根据元素和集合的关系可知,只有A正确.
3.C　由集合元素的互异性可知两个相同的对象算作集合中的一个元素.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为x=-1或x=2.所以M中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C.
4.B　由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.
5.A　N中最小的数为0,所以①错误;由-(-2)∈N,而-2 N可知②错误;若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以③错误;“小的正数”没有明确的标准,所以④错误.故选A.
6.9
7.②④　因为N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.
8.解 (1)由集合中元素的互异性,可得x≠3,x2-2x≠x,且x2-2x≠3,解得x≠-1,x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无实数解,所以x=-2.
经检验知,当x=-2时三个元素符合互异性.
故x=-2.
9.A　因为x,-x,|x|,=|x|,-=-x中,至多有2个不同的实数,所以组成的集合最多含有元素的个数是2.
10.AB　集合A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2;
当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4;
当a=6∈A时,6-a=0 A.综上所述,故a=2或4.
11.解当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;
当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;
当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.
由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.
12.(1)解因为2∈S,所以=-1∈S,
所以∈S,所以=2∈S.
所以集合S中另外的两个元素为-1和.
(2)证明由题意,可知a≠1且a≠0,
由∈S,得∈S,
即=1-∈S.
所以若a∈S,则1-∈S.
(3)解集合S中的元素不可能只有一个.
理由如下:令a=,
即a2-a+1=0.
因为Δ=(-1)2-4<0,所以此方程无实数解,
所以a≠.
因此集合S中不可能只有一个元素.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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