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2025湘教版数学必修第一册
1.1.2　子集和补集
A级 必备知识基础练
1.下列关系正确的是(　　)
A.0∈
B. {0}
C.{0,1} {(0,1)}
D.{(a,b)}={(b,a)}
2.已知集合A={(x,y)|y=x},M={(x,y)|2x-y=1且x+4y=5},则下列结论正确的是(　　)
A.M=A B.M A
C.(1,1) A D.M∈A
3.已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},则 UA=(　　)
A.{1,2,3,4,5} B.{1,5}
C.{2,3,4} D.以上都不对
4.(多选题)设集合A={x∈Z|x<-1},则下列说法正确的是(　　)
A. A B.∈A
C.0∈A D.{-2} A
5.[2024甘肃武威高一校考阶段练习]已知集合A={x|-7≤2x-3≤3},B={x|3m-2A.
B.
C.{m|m≥0}
D.{m|m>0}
6.设集合M=,集合N={x∣ x=,k∈Z},则(　　)
A.M=N
B.M N
C.N M
D.M不是N的子集,N也不是M的子集
7.已知集合A=(-∞,3),集合B=(-∞,m)且A B,则实数m的取值范围是　　　　　.
8.已知A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},那么集合A与B的关系为　　　　.
9.A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A B,求实数a的值;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
10.已知集合A={a∈N∣∈N},B={3,4},集合C满足B C A,则所有满足条件的集合C的个数为(　　)
A.8 B.16
C.15 D.32
11.集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=4k±1,k∈Z},则(　　)
A.A=B B.A B
C.B A D.A∈B
12.(多选题)若集合A={x|ax2-2x-1=0}恰有两个子集,则a的值可能是(　　)
A.0 B.-1
C.1 D.0或1
13.已知集合P={x|x2=9},集合Q={x|ax=3},若Q P,那么-3　　　　　P(用适当的符号填空),a的值组成的集合为　　　　　.
14.设S为实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列结论:
①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S T R的任意集合T也是封闭集.其中正确的是　　　　　.(写出所有正确结论的序号)
15.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.
16.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1(1)若A=B,求y的值;
(2)若A C,求a的取值范围.
17.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3}.
(1)求 UA;
(2)若集合B={x|2x-a>0},且B ( UA),求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
18.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.
(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A B 若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由.
(2)若A B成立,求出相应的实数对(a,b).
答案：
1.B
2.B　因为M={(x,y)|2x-y=1且x+4y=5}={(1,1)},所以M A.
3.B　因为U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},所以 UA={1,5}.
4.AD　B中 A,C中0 A.
5.C　A={x|-7≤2x-3≤3}={x|-2≤x≤3}.
若B= ,则3m-2≥m+1,解得m≥,符合题意;
若B≠ ,则解得0≤m<.
综上,实数m的取值范围是{m|m≥0}.
故选C.
6.B　集合M中的元素x=(k∈Z),集合N中的元素x=(k∈Z),当k∈Z时,2k+1代表奇数,k+2代表所有整数,故有M N.
7.[3,+∞)　将集合A在数轴上表示出来,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边,故m≥3.
8.B A　对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,ymin==-7,所以A={y|y≥-7}.
又B={x|x>3},由图知B A.
9.解(1)A={x|x2+4x=0}={-4,0},
因为A B,所以-4和0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,
所以解得a=1,
所以实数a的值是1.
(2)A={x|x2+4x=0}={-4,0},
因为B A,所以当B= 时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1,符合题意;
当B={-4}时,解得a=1,符合题意;
当B={0}时,解得a=-1,符合题意;
当B={-4,0}时,
解得a=1,
综上,实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.
10.B　∵a∈N,∈N,∴a-2=1或a-2=2或a-2=3或a-2=4或a-2=6或a-2=12,
即a=3或a=4或a=5或a=6或a=8或a=14,
∴A={3,4,5,6,8,14}.
又B={3,4}且集合C满足B C A,
∴集合C中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合C的个数为24=16.
11.A　∵A={x|x=2k-1,k∈Z},
∴当k=2n,n∈Z时,x=4n-1,n∈Z;
当k=2n+1,n∈Z时,x=2(2n+1)-1=4n+1,n∈Z.
∴A={x|x=2k-1,k∈Z}={x|x=4n±1,n∈Z}.
∵B={x|x=4k±1,k∈Z},
∴A=B.
12.AB　集合A恰有两个子集,则A中只有一个元素,当a=0时,A=,满足题意;当a≠0时,Δ=4+4a=0,即a=-1,A={-1},满足题意.
13.∈　{1,-1,0}　P={x|x2=9}={x|x=3或x=-3},所以-3∈P.
Q={x|ax=3},若Q P,则a=0时,Q= ,满足题意;当a≠0时,Q={x|ax=3}={x∣x=},则=3或=-3,解得a=1或a=-1.
14.①②　对于整数a1,b1,a2,b2,有a1+b1+a2+b2=(a1+a2)+(b1+b2)∈S,a1+b1-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)∈S,(a1+b1)(a2+b2)=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)∈S,所以①正确.易知②正确.当S={0}时,S为封闭集,所以③错误.取S={0},T={0,1,2,3}时,显然2×3=6 T,所以④错误.
15.解①若消去b,得a+ac2-2ac=0,
即a(c2-2c+1)=0,
当a=0时,集合B中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a≠0,∴c2-2c+1=0,即c=1.
当c=1时,集合B中的三个元素也相同,不满足集合中元素的互异性,∴c=1舍去,即此时无解.
②若消去b,得2ac2-ac-a=0,
即a(2c2-c-1)=0,
∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0.
又c≠1,∴c=-.
经检验,c=-符合题意.
综上,c=-.
16.解(1)若a=2,则A={1,2},所以y=1.若a-1=2,
则a=3,A={2,3},所以y=3.综上,y的值为1或3.
(2)由条件,A为非空集合.
因为C={x|2所以解得317.解(1)∵全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},
∴ UA={x|x<-1或x>3}.
(2)集合B={x|2x-a>0}={x∣x>},且B ( UA),∴≥3,解得a≥6.
∴实数a的取值范围是[6,+∞).
18.解(1)不存在.理由如下:
若对任意的实数b都有A B,
则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.
因为A={a-4,a+4},所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.
(2)由(1)易知,当且仅当时A B.
解得所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).
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