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2025湘教版数学必修第一册
1.2.2　充分条件和必要条件
A级 必备知识基础练
1.已知x是实数,则使x2<4成立的一个必要而不充分条件是(　　)
A.x<-2 B.x<2
C.|x|<2 D.-12.集合M={x|-1A.[-2,0) B.(0,2]
C.(-3,-1) D.(-2,2)
3.(多选题)下列不等式:
①x<1;②0A.① B.②
C.③ D.④
4.(多选题)对任意实数a,b,c,下列命题是真命题的是(　　)
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
D.“a<5”是“a<3”的必要条件
5.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是　　　　,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是　　　　　.
6.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=　　　　　.
7.设p:x>a,q:x>3.
(1)若p是q的必要而不充分条件,求a的取值范围;
(2)若p是q的充分而不必要条件,求a的取值范围;
(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.
B级 关键能力提升练
8.(多选题)[2024甘肃张掖第一中学高一校考阶段练习]在下列选项中,p是q的必要而不充分条件的有(　　)
A.p:a≤1,q:a<1
B.p:A∩B=A,q:A∪B=B
C.p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等
D.p:x2+y2=1,q:x=1,y=0
9.(多选题)已知a,b均为实数,则“a>b”成立的必要条件可以是(　　)
A.|a|>b B.-a<1-b
C.a3>b3 D.
10.方程x2-2x+a=0有实根的充要条件是　　　　,方程x2-2x+a=0有实根的一个充分而不必要条件可以是　　　　　.
11.已知条件p:2k-1≤x≤1-k,q:-3≤x<3,且p是q的必要条件,则实数k的取值范围为　　　　　　　.
答案：
1.B　由x2<4得-2求使x2<4成立的一个必要而不充分条件,则x<2满足条件.
故选B.
2.D　因为a=1,所以P={x|b-13.BCD　由于-14.BD　A中“a=b” “ac=bc”为真命题,但当c=0时,“ac=bc” “a=b”为假命题,故“a=b”是“ac=bc”的充分而不必要条件,故A为假命题;
B中“a+5是无理数” “a是无理数”为真命题,“a是无理数” “a+5是无理数”也为真命题,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故B为真命题;
C中“a>b” “a2>b2”为假命题,“a2>b2” “a>b”也为假命题,故“a>b”是“a2>b2”的既不充分又不必要条件,故C为假命题;
D中{a|a<3}是{a|a<5}的真子集,故“a<5”是“a<3”的必要条件,故D为真命题.
5.(-∞,0]　[0,+∞)　因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.
6.3或4　一元二次方程x2-4x+n=0有实数根 (-4)2-4n≥0 n≤4.
又n∈N+,则当n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;
当n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;
当n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;
当n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.
所以n=3或n=4.
7.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.
(1)若p是q的必要而不充分条件,
则有B A,所以a<3,a的取值范围为(-∞,3).
(2)若p是q的充分而不必要条件,
则有A B,所以a>3,a的取值范围为(3,+∞).
(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.
8.AD　对于A,∵a<1成立,则必有a≤1,而当a≤1时,不一定有a<1,
∴p是q的必要而不充分条件,故A正确;
对于B,∵p:A∩B=A,∴A B,∵q:A∪B=B,∴A B,
∴p是q的充要条件,故B错误;
对于C,∵两个三角形全等,则两个三角形面积相等,但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等,
∴p是q的充分而不必要条件,故C错误;
对于D,当x=1,y=0时,x2+y2=1,
反之,当x2+y2=1时,x=1,y=0不一定成立,
∴p是q的必要而不充分条件,故D正确.
故选AD.
9.ABC　因为a>b,所以|a|≥a>b,故A正确;
因为a>b,则b-a<0,则b-a<1,所以-a<1-b,故B正确;
a>b可推出a3>b3,故C正确;若a=2,b=-3,此时,故D不正确.故选BC.
10.a≤1　a=1(答案不唯一)　因为方程x2-2x+a=0有实根,所以Δ≥0,即(-2)2-4a≥0,解得a≤1.
反之,当a≤1时,Δ≥0,则方程x2-2x+a=0有实根,所以a≤1是方程x2-2x+a=0有实根的充要条件.
当a=1时,方程x2-2x+1=0有实根x=1,而当方程x2-2x+a=0有实根时不一定是a=1,所以a=1是方程 x2-2x+a=0有实根的一个充分而不必要条件.
11.(-∞,-2]　∵条件p:2k-1≤x≤1-k,q:-3≤x<3,且p是q的必要条件,
∴解得k≤-2.
则实数k的取值范围是(-∞,-2].
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