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2025湘教版数学必修第一册
1.2.3　全称量词和存在量词
第1课时　含有量词的命题
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列命题为假命题的是(　　)
A. x∈R,x2+1<0
B. x∈Z,3x+1是整数
C. x∈R,|x|>3
D. x∈Q,x2∈Z
2.下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
3.(多选题)下列命题是全称量词命题的有(　　)
A.至少有一个x,使x2+2x+1=0成立
B.对任意的x,都有x2+2x+1=0成立
C.对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立
D.存在x,使x2+2x+1=0成立
4.命题“ x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”为真命题,则实数m的最大值为　　　　.
5.用符号“ ”或“ ”表示含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0,符号表示为　　　　;
(2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立,符号表示为　　　　　.
6.若“ x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　.
7.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°.
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解.
(3)存在实数x,使得=2.
B级 关键能力提升练
8.下列命题是假命题的是(　　)
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的整数是偶数
D.有的有理数没有倒数
9.(多选题)下列命题是真命题的有(　　)
A. x∈R,2x2-3x+4>0
B. x∈{1,-1,0},2x+1>0
C. x∈N,使≤x
D. x∈N+,使x为29的约数
10.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为　　　　　　　　　　　　.
C级 学科素养创新练
11.(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围.
(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,求实数m的取值范围.
答案：
1.ACD
2.B　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是假命题;B中当x=0时,x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任何一个负数x,都有<0,所以D是假命题.
3.BC　选项B和C含有全称量词“任意”.
4.-1　命题“ x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”为真命题,
等价于“ x∈(0,+∞),m≤x2-2x”恒成立,
设y=x2-2x,x∈(0,+∞),
所以ymin=-1,所以m≤-1,即实数m的最大值为-1.
5.(1) x∈R,x2≥0
(2) x,y∈R,2x+3y+3>0
6.(-1,+∞)　若“ x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,
则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.
则实数a的取值范围为(-1,+∞).
7.解(1)是存在量词命题,是假命题.
(2)是全称量词命题,是假命题.
(3)是存在量词命题,是假命题.
8.B　对于任意的x∈R,x2+x+1=(x+)2+>0恒成立,所以存在x∈R,使x2+x+1=0是假命题.
9.ACD　对于A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题;
对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;
对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有≤x成立,故C为真命题;
对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,所以D为真命题.
10.[3,8)　若p(1)是假命题,当x=1时,12+2×1-m≤0,解得m≥3;若p(2)是真命题,当x=2时,22+2×2-m>0,解得m<8.求交集后实数m的取值范围为[3,8).
11.解 (1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.实数m的取值范围为[3,+∞).
(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,故只需m大于或等于x的最小值,即m≥1.实数m的取值范围为[1,+∞).
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