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2025湘教版数学必修第一册
2.1.2　基本不等式
A级 必备知识基础练
1.已知0A. B.
C. D.
2.(多选题)下列不等式一定成立的是(　　)
A.x2+>x(x>0)
B.x+≥2(x>0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
3.已知t>0,则的最小值为　　　　.
4.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,求实数k的最小值.
5.已知a,b,c为正数,求证:≥3.
B级 关键能力提升练
6.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
7.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)
A.9 B.12
C.16 D.10
8.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　.
9.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.
答案：
1.B　∵00.∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时等号成立.
2.BC　A中,当x=时,x2+=x,所以A不一定成立;
B中,当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,所以B一定成立;
C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;
D中,因为x2+1≥1,所以0<≤1,所以D不成立.
3.-1　=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时等号成立.
4.解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-()(a+b),所以k≥-()-2.因为≥2,当且仅当a=b=1时等号成立.所以-()-2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.
5.证明左边=-1+-1+-1=-3.
∵a,b,c为正数,
∴≥2(当且仅当a=b时等号成立);
≥2(当且仅当a=c时等号成立);
≥2(当且仅当b=c时等号成立).
从而≥6(当且仅当a=b=c时等号成立).
∴-3≥3,
即≥3.
6.C　因为a>0,b>0,则m≤(2a+b),
所以(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当,即b=2a时等号成立,要使不等式恒成立,则m≤8.即实数m的最大值为8.故选C.
7.C　由已知a>0,b>0,不等式恒成立,所以m≤(a+4b)恒成立,转化成求y=(a+4b)的最小值,y=(a+4b)=8+≥8+2=16,当且仅当a=4b时等号成立,所以m≤16.故选C.
8.　∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴.
当且仅当b=时等号成立.
9.解∵(x+y)=1+a+,
又x>0,y>0,a>0,
∴≥2=2,
∴1+a+≥1+a+2,
当且仅当y=x时等号成立.∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.
∴(+1)2≥9,即+1≥3,
∴a≥4,故a的最小值为4.
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