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2025湘教版数学必修第一册
2.1.3　基本不等式的应用
A级 必备知识基础练
1.设实数x满足x>0,则2+3x+的最小值为(　　)
A.4-1 B.4+2
C.4+1 D.6
2.已知a<0,b<0,a+b=-2,则的最大值为(　　)
A.-1 B.-
C.-4 D.-2
3.(多选题)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则(　　)
A.a+b≤ B.a+b≤
C.a+b> D.≥4
4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　 h.
5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为　　　　　.
6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.
B级 关键能力提升练
7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值等于(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
8.已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值是(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
9.如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是(　　)
A. B.
C.1 D.2
10.(多选题)[2024甘肃天水高三校联考阶段练习]设正实数x,y满足x+y=2,则下列说法正确的有(　　)
A.的最小值为2
B.xy的最小值为1
C.的最大值为4
D.x2+y2的最小值为2
11.已知函数y=x2+ax+1.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则实数a的最小值为　　　　　.
12.已知代数式x+(a>0).
(1)若a=1,求当x>0时,x+的最小值为　　　　　;
(2)当x>2时,x+存在最小值,则满足条件的一个a的值为　　　　　.
13.对任意m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为　 .
答案：
1.A　∵x>0,∴x+1>0,∴2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2-1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1>0时等号成立,∴2+3x+的最小值为4-1.故选A.
2.D　∵a<0,b<0,a+b=-2,∴=-)(a+b)=-(2+)≤-(2+2)=-2,当且仅当a=b=-1时等号成立,故的最大值为-2,故选D.
3.AD　因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2,
又a>0,b>0,则a+b≤,故A正确;
=1++1≥2+2=2+2=4,当且仅当,即a=b=时等号成立,故D正确.故选AD.
4.10　当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶 h,最后一辆车驶完全程共需要 h,所以一共需要()h,由基本不等式,得≥2=10,当且仅当v=80时等式成立,故最少需要10 h.
5.3　a,b都是正数,满足2a+b=3,
则(2a+b()=(5+)≥(5+4)=3,当且仅当且2a+b=3,即a=b=1时取得最小值3.
6.解x+y=(x+y)=a++b=10+.
因为x,y>0,a,b>0,
所以x+y≥10+2=18,即=4.
当且仅当时等号成立.
又a+b=10,所以
7.B　=()(2a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=b=时等号成立.
所以的最小值为9.又因为≥m恒成立,所以m≤9,即m的最大值为9.
8.C　因为正数a,b满足a+b=1,
则≥2=4,
当且仅当,即b=2a=时等号成立.
故的最小值是4,
故选C.
9.B　由题意可知,x>0,y>0,且x+y=1,
由基本不等式可得x2+y2≥2xy,
所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,
所以x2+y2≥,当且仅当x=y=时等号成立,因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为.故选B.
10.AD　对于A,因为x+y=2,x>0,y>0,
所以(x+y)()=(2+)≥(2+2)=2,
当且仅当x=y=1时等号成立,
所以的最小值为2,故A正确;
对于B,xy≤=1,当且仅当x=y=1时等号成立,所以xy的最大值为1,故B错误;
对于C,()2=x+y+2=2+2≤4,当且仅当x=y=1时等号成立,
所以≤2,即的最大值为2,故C错误;
对于D,x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,
所以x2+y2的最小值为2,故D正确.
故选AD.
11.-2　不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,即为-a≤x+对一切x∈(0,1]恒成立.又x+≥2(当且仅当x=1时等号成立),所以-a≤2,即a≥-2,所以a的最小值为-2.
12.(1)2　(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)　(1)当a=1时,由基本不等式得x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,故最小值为2.
(2)由基本不等式得x+≥2=2,当且仅当x=,x=时等号成立,故>2,即a>4.填a>4的任意一个a都符合题意.
13.2　∵m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0,
∴m2+2n2≥amn,即a≤恒成立.
∵≥2=2,当且仅当m=n时等号成立,
∴a≤2,即最大值为2.
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