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2025湘教版数学必修第一册
2.2　从函数观点看一元二次方程
A级 必备知识基础练
1.下列一元二次方程没有实数根的是(　　)
A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0
C.x2-1=0 D.x2-2x-1=0
2.[2024甘肃庆阳高一校考阶段练习]若x1,x2是方程2x2+6x+3=0的两个实数根,则=(　　)
A.- B.2
C.4 D.8
3.若α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,则(　　)
A.|α|≥3且|β|>3 B.|α+β|<4
C.|α|>2且|β|>2 D.|α+β|>4
4.若α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,则 α2-3β的值是(　　)
A.3 B.15
C.-3 D.-15
5.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,则m的值为　　　　.
6.若x1,x2是二次函数y=x2+x-2的两个零点,则x1+x2+x1x2=　　　　.
7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是方程的两个根,且(x1-x2)2=12,求k的值.
B级 关键能力提升练
8.已知关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足=3,则k的值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
9.关于x的方程(m-2)x2-4x+1=0有实数根,则m满足的条件是(　　)
A.m≤6 B.m<6
C.m≤6且m≠2 D.m<6且m≠2
10.已知x1,x2是函数y=x2-ax-2(a∈R)的两个零点,下列结论一定正确的是(　　)
A.x1+x2>0 B.x1x2>0
C.x1<0,x2<0 D.x1≠x2
11.(多选题)函数y=(x2-4)的零点可以是(　　)
A.x=-2 B.x=-
C.x= D.x=2
12.已知关于x的方程ax2+x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a的取值集合为　　　　　　　.
13.已知m,n是二次函数y=x2-2x-7的两个零点,则m2+mn+2n=　　　　.
14.已知二次函数y=x2+4x-1的两个零点分别是x1,x2,利用根与系数的关系求下列式子的值:
(1)(x1-x2)2;
(2).
答案：
1.B　对于A,因为Δ=22-4×1×1=0,所以方程有两个相等的实数根,A不合题意;对于B,因为Δ=12-4×1×2<0,所以方程没有实数根,故B符合题意;对于C,方程有两个不相等的实数根x=±1,故C不符合题意;对于D,因为Δ=(-2)2-4×1×(-1)>0,所以方程有两个不相等的实数根,故D不合题意.故选B.
2.C　因为x1,x2是方程2x2+6x+3=0的两个实数根,
所以由根与系数之间的关系,得x1+x2=-3,x1x2=,
故=4.
故选C.
3.D　∵α,β是二次函数y=x2-kx+8的两个零点,
∴Δ=k2-32>0,解得k>4或k<-4.
∵α+β=k,αβ=8,∴|α+β|>4.故选D.
4.B　∵α,β是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,
∴α2+3α-6=0,即α2=6-3α.
由根与系数的关系可知α+β=-3,
∴α2-3β=6-3α-3β=6-3(α+β)=6-3×(-3)=15.
故选B.
5.-1　∵关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,
∴Δ=b2-4ac=0,即22-4(-m)=0,解得m=-1.
6.-3　由根与系数的关系可知,x1+x2=-1,x1x2=-2,∴x1+x2+x1x2=-3.
7.解(1)由题意可得Δ=22-4(2k-4)=-8k+20>0,
解得k<,∴k的取值范围为{k∣k<}.
(2)∵x1,x2是方程的两个根,
∴x1+x2=-2,x1x2=2k-4.
∵(x1-x2)2=12,∴(x1+x2)2-4x1x2=12,
∴4-4(2k-4)=12,解得k=1.
8.B　因为关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,故x1+x2=6,x1x2=k.故=3,解得k=2.故选B.
9.A　①当m-2=0,即m=2时,方程化为-4x+1=0,只有一个实根,符合题意;②当m-2≠0,即m≠2时,方程有实数根的充要条件是Δ=(-4)2-4(m-2)≥0,解得m≤6,即m≤6且m≠2.综合①②得m≤6.故选A.
10.D　由根与系数的关系可得x1+x2=a,x1x2=-2,故可排除B,但因为无法得知a的正负,故A,C不正确;又Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,所以方程有两个不相等的实数根,故选D.
11.CD　由题意,方程(x2-4)=0,则x2-4=0或2x-1=0,解得x=±2或x=.又由2x-1≥0,解得x≥.所以函数y=(x2-4)的零点为x=2或x=.故选CD.
12.{-1,0,1}　若a=0,则x=1;
若a≠0,则原方程化为(x-1)[a(x+1)+1]=0,
则x-1=0或a(x+1)+1=0.
①当x-1=0时,x=1是方程的一个整数解.
②当a(x+1)+1=0时,x+1=-,且x是整数,a是整数,知a=±1.综上,a的取值集合为{-1,0,1}.
13.4　由题意知m,n是方程x2-2x-7=0的两个实数根,
∴m+n=2,mn=-7.
∴m2+mn+2n=m(m+n)+2n=2m+2n=4.
14.解由题意知一元二次方程x2+4x-1=0的两根分别是x1,x2,则
(1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16+4=20.
(2)=18.
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